Formule du pH d'un acide fort mais relativement dilué

[boumghar]

Bonjour à tous,
Dans mon cour sur les pH des solution et plus precisement pour un acide fort mais relativement dilué j'ai un petit probleme avec la formule du pH.
Tous d'abord voilà la reaction :
HA +H2O -------> (A^—)+(H3O^+)

Apres écriture des 2 équations de conservation de la matiere et des charges on aurra : C=[A^—]=[H3O^+]—[HO^—]
avec C : concentration du (HA) à t=0

Et puisque la solution est tres diluée on ne peut pas négliger [HO^—] devant [H3O^+] donc on obtien :
C=[A^—]=[H3O^+]—(K/[H3O^+])
Et K = [H3O^+] x [HO^—]

Après calcule on trouvrera que le pH est :
pH = log(2)— log[C+(C^2+4K)^(1/2)]

C'est après que sa devient compliquer :
[H3O^+]=1/2[C+{C^2+4K}^(1/2)]
[H3O^+]=1/2[C+{ C^2 [ 1+(4K/C^2) ] }^(1/2) ]
[H3O^+]=1/2[C+ C { [ 1+(4K/C^2) ] }^(1/2) ]
Pour simplifier & = 4K/C^2
[H3O^+]=1/2[C+ C { [ 1+ & ] }^(1/2) ]
[H3O^+]=1/2[C+ C { 1+ (1/2) & } ]
Deja ici je n'ai pas compris comment il a fait entre la racine ???!
[H3O^+]=1/2[C+ C+ C(1/2) & ]
[H3O^+]=1/2[C+ C+ C(1/2) (4K/C^2) ]
[H3O^+]=1/2[C+ C+ (2K/C) ]
[H3O^+]=1/2[ 2C+ (2K/C) ]
[H3O^+]=C+ (K/C)
Ensuit il a récrit une comparaison :
(K/C)[1+(K/C^2)]<< (K/C^2) < 0,01

(C^2/K) >100
C^2 > 0,0001 * 100 (avec k=0,0001 ????)
C^2 > 0,01
C > 10^-6 ???????????!!!!!!!!!!!!!

Je sais que dans certains calcules et resultats je suis à côte de la plaque, j'ai beau cherche sur internet mais je n'ai pas trouver cette demonstration
Votre aide serait la bienvenu et merci d'avance
-----

[moco]

Il n'y a pas besoin de faire tous ces longs développements.
Pour simplifier j'écrirai H⁺ à la place de H₃O⁺. Et je vais appeler x la concentration en ion H⁺ et OH^- dus à l'autoprotolyse de l'eau. Ces deux ions sont produits en quantités égales.

On pose le produit ionique de l'eau, qui vaut :
([H⁺] + x )·x = 10^-14
Cela forme l'équation du 2ème degré : x² + cx - 10^-14 = 0
La solution est : x = (1/2)(-c ± √(c² - 4·10^-14
On voit tout de suite que si c² >> 10^-12, x tend vers zéro.

Les cas limites sont ceux où c > 10^-6 ou voisin de 10^{-7 M}.

c = 10^-6 M ; tout calculs fait, on trouve : x = 10^-8 M. Donc [H+] = 10^-6 + 10^-8 = 1.01 10^-6 pH = 5.99. Si on néglige l'autoprotolyse de l'eau, on ne commet pas une erreur significative.

c = 10^-7 M ; tout calculs faits, on trouve : x = 0.62 10^-7. Donc [H+] = 10^-7 + 0.62 10^-7 = 1.63 10-7 ; pH = 6.79

c = 10^-8 M ; tout calculs faits, on trouve : x = 0.95 10^-7. Donc [H+] = 10^-8 + 0.95·10^-7 = 1.05 10^-7 ; pH = 6.98. Si on néglige l'apport en acide extérieur HCl, on commet une erreur négligeable.

[Chalco]

On peut aussi appliquer la condition d'électroneutralité de la solution :

|H⁺| = |Cl^-| + |OH^-|

et le produit ionique de l'eau :

|H⁺|. |OH^-| = K_i

et arriver à la même conclusion.

[boumghar]

Salut à vous et merci pour votre réponse,
À propos de la réponse de moco quand vous avez écrit le produit ionique de l'eau est : ([H+] + x )·x = 10^-14 ??? je croix que c'est pas juste, vous devez écrire :
(x - [H+] )·x = 10^-14
Pour avoir cette équation
x2 - cx - 10^-14 = 0
Et les solutions seront
x = (1/2)(c + √(c2 +4·10-14)) et
x = (1/2)(c - √(c2 + 4·10-14)) mais la deixieme est refusée car elle nous donnera une valeur négative si on remplace

Je vous dit ca car j'ai remplacé les valeur de c dans vos equation et les resultat sont negative

Et une derniere question pourquoi vous avez écrit
Les cas limites sont ceux où c > 10-6 ou voisin de 10-7 M.
??????????????

Merci d'avance ☺☺

[A voir en vidéo sur Futura]

[moco]

Boumghar n'a probablement pas compris le sens des paramètres que j'ai utilisés !
J'appelle x la concentration en H⁺ ( et en OH^-) produits par l'autoprotolyse de l'eau.
J'appelle [H⁺] la concentration de H⁺ apportés par l'acide qu'on dissout dans l'eau. J'aurais peut-être dû l'appeler c.
La concentration totale en ion H⁺ dans une solution très diluée est la somme des ions produits par l'autoprotolyse et par l'acide ajouté. C'est : [H⁺]_HCl + x. Avec la convention d'écriture en c, on obtient : [H+]_tot = c + x
Il faut donc écrire :
(x + c)·x = 10^-14
x² + cx - 10^-14 = 0
x = (1/2)(-c + √(c² + 4 10^-14)
Et on retrouve les valeurs numériques de ma précédente communication .

[boumghar]

J'ai remplacé la valeur de c dans
x = (1/2)(-c + √(c2 + 4 10-14)
et les resultats sont
Pour c=10^6 on a x=9,90 * 10^-9 et donc ph=8,00( ça correspond au pH d'une base !!!!??? )
Pour c=10^7 on a x=6,18 * 10^-8 et donc ph=7,21( même chose)
Pour c=10^8 on a x=9,51* 10^-8 et donc ph=7,02( presque une solution neutre)
Pourquoi ces résultats ?????

[moco]

Dans notre équation du 2ème degré, on a : a = 1, b = 10^-6, et c = - 10^-14
Pour une concentration de c = 10^-6 (attention à la confusion des paramètres c), on résout l'équation du 2ème degré en posant :
-> c² = 10^-12
-> 4ac = - 4 10^-14
-> b² - 4ac = c² + 4 10^-14 = 10^-12 + 4 10^-14 = 1.04 10^-12
-> √(b2-4ac) = √1.04 10^-12 = 1.02 10^-6
-> x = (1/2)(-b + √(b²-4ac) = (1/2)(- 1·10^-6 + 1.02·10^-6) = (1/2)(0.02·10^-6) = 0.01·10^-6

Donc [H+] = c + x = 1 10^-6 + 0.01 10^-6 = 1.01 10^-6.
pH = - log [H+] = 5.99

[Chalco]

Bonjour moco,
J'avais l'habitude de résoudre (et de faire résoudre) ces problèmes de chimie des solutions en utilisant trois types d'équations : la conservation de la matière (les bilans), l'électro-neutralité de la solution et les relations d'action de masse. De cette manière, aucune approximation n'est faite a priori et on peut calculer (ou faire calculer par un programme) n'importe quel cas particulier, courbe de titrage, diagramme etc.
Pourquoi ne pas l'appliquer dans ce cas ? N'est-ce pas plus pédagogique ? Si on fait les calculs "à la main" on peut voir, quand on débute, où sont les approximations et ainsi apprendre à les faire quand on a un peu plus d'expérience.

[boumghar]

les résultats étaient faux car j'ai oublié d'ajouter la concentration de (H+) à (x) après avoir calculer cette dernière et quand j'ai ressayé les résultats sont identiques
une autre chose, j'ai découvert pourquoi l’équation de seconde degré que vos aviez donné n'est pas la même avec celle de notre prof car :

- Méthode du prof : il a utilisé trois types d'équations : la conservation de la matière - l'électro-neutralité de la solution et le produit ionique et il procède de cette façon :
bilan de matier :
[H⁺]_AH = [A^-] = C
bilan de charge :
[H⁺]_AH + [H⁺]_H2O = [A^-] + [HO^-]_H2O
[H⁺]_total = [A^-] + [HO^-]_H2O...........1
le produit ionique :
K_e =[H⁺]_total . [HO^-]_totalaaaaa([HO^-]_total=[HO^-]_H2O car le [HO^-] ne peut etre produit que par l'autoprotolyse de l'eau)
K_e =[H⁺]_total . [HO^-]_H2O
[HO^-]_H2O = K_e / [H⁺]_total........2
on remplace 2 dans 1 :
[H⁺]_total = [A^-] + K_e / [H⁺]_total
***pour simplifier : [H⁺]_total = x et [A^-] = C
et donc
x= C + K_e/x
x²=C.x+K_e
x²-C.x-K_e=0
D(delta)=C²+4.K_e
x=(1/2)[C+√(C²+4.K_e)=[H⁺]_totale
pH = -log [x]
***on remarque que le (x) dans cette méthode représente la concentration des ions H⁺ produit par l'acide et par l'eau

---

- Votre méthode : :
[H⁺]_total =[H⁺]_AH+[H⁺]_H2O
***pour simplifier : [H⁺]_AH = C et [H⁺]_H2O = [HO^-]_H2O = x
[H⁺]_total = C + x
K_e =[H⁺]_total . [HO^-]_total = [H⁺]_total . [HO^-]_H2O
K_e = (C + x) . x
x²+C.x-K_e=0
D(delta)=C²+4.K_e
x=(1/2)[-C+√(C²+4.K_e)=[H⁺]_H2O
pH =- log [x +C]
***à l'inverse de la première méthode le (x) représente la concertation des ions H⁺ produit par l'eau seulement .

[boumghar]

une dernière question
j'ai remarqué quand C = 10^-6 on pouvait calculer directement le pH, car la valeur obtenue avec un acide concentre ou bien dilue était la même
solution acide concentre :
pH =-log [H⁺]=-log 10^-6 = 6
solution acide dilué:
on a [H⁺] = c + x = 10^-6 + 10^-8 = 1,01 10^-6
pH =-log [H⁺]=-log [ 1,01 10^-6] = 5,99
pourquoi cette égalité ????????

[Chalco]

@boumghar
Dans sa méthode, "le prof" utilise le bilan de matière :

[H⁺]_AH = [A^-] = C [1]

Je suppose que le terme [H⁺]_AH signifie concentration des ions [H⁺] provenant de la dissociation de l'acide fort. C'est une distinction qui n'a pas son utilité parce que, dans la solution que l'on étudie, il n'est pas possible d'établir une distinction entre les ions provenant de l'acide fort et ceux provenant de la dissociation de l'eau. En d'autres termes, on étudie la solution une fois l'équilibre entre l'eau pure et l'acide ajouté est réalisé. [H⁺]_AH ne doit donc pas entrer dans les calculs relatifs à l'équilibre final. Ce que le prof fait, d'ailleurs en écrivant ce qu'il appelle le bilan de charge et ce que j'appelle l'électro-neutralité de la solution. La seconde équation des expressions [1] est bien le bilan des chlorures. Je suis donc d'accord avec l'équation rouge "du prof" en regrettant qu'il ait utilisé ce [H⁺]_AH qui complique un peu la compréhension mais qui vient peut-être de son souci de faire comprendre aux étudiants que les ions [H⁺] à considérer proviennent de l'acide ajouté et de l'eau.
En résumé : les bilans, l'électro-neutralité et les relations d'action de masse, toutes expressions calculées avec les concentrations des espèces existant lorsque l'équilibre final est atteint.

[boumghar]

Peut être qu'il voulait nous faire comprendre que les H⁺ sont produit par l'acide et l'eau
En tous cas je savais bien que l'étude de la solution se faisait quand l'equilibre est atteint.
Et pour teminer, esque vous avez une idée à propos de la dernière question ??

[Chalco]

Vous pouvez répéter la question ?

[jeanne08]

Une solution d'acide fort à concentration 10^-6 mol/L a un pH de 6 et c'est normal . On va raisonner avec une solution 10^-6 mol/L de HCl
Il y a une raison à cela :
- première explication : les H+ presents dans la solution proviennent de la dissociation totale l'acide HCl ( qui donne 10^-6 mol/l de H+) et de la dissociation de l'eau qui donne autant de H+ que de OH-, cette réaction se fait mal donc elle donne peu de H+ et OH- et à priori on peut la négliger. Donc on trouve un pH = 6 et à ce pH la concentration en OH- est 10^-8 mol/L ( produit ionique de l'eau =10^-14) . Comme les OH- ne proviennent que de la dissociation de l'eau, la dissociation de l'eau fournit 10^-8 mol/L de OH- et 10^-8 mol/l de H+ qui sont bien négligeables devant les 10^-6 de HCl
- autre façon de raisonner : tu ecris que (H+)+x = 10^-6 +10^8 et 10^-8 est bien négligeable devant 10^-6

morale : il y a plusieurs façons pour résoudre un tel exercice
1) on écrit toutes les équations de la solution ( constantes d'équilibre, conservation , neutralité électrique... ) et on résout. Il y a un jeu de concentrations physiquement acceptable. C'est ce que font les logiciels de résolution de ce genre d'exercices
2) on ecrit toutes les équations et on essaye de voir si certaines concentrations seront négligeables à priori ... ce qui allège les calculs
3) méthode du chimiste : on ne tient compte que d'une réaction dite prépondérante , on néglige les autres et on vérifie, après coup, que ces réactions négligées sont bien négligeables : si oui on a fini , si non on refait tout autrement !

Ici : on a une solution a c mol/L de HCl . A priori on ne tient compte que des ions H+ apportés par HCl donc pH = -log c
On a négligé l'action de l'eau sur l'eau qui fabrique autant de H+ que de OH- donc on a raison si c >> 10^-14/c ...

[Chalco]

Avant d'être chimiste je fus apprenti chimiste et je me souviens de la question qui me (qui nous, apprentis chimistes, nous) poursuivait : d'où sort-il ces approximations ? C'est pourquoi je pense qu'un petit passage par le calcul complet n'est pas inutile, surtout dans le cas présent, à coup sûr tout à fait sans utilité pratique et posé uniquement pour discuter de ces problèmes d'approximations.

[jeanne08]

Pour Chalco : je pense qu'avec la méthode de la réaction prépondérante la comprehension des approximations faites est immédiate donc elles ne sortent pas du chapeau du prof prestidigitateur ... J'ai subi aussi ces approximations dont on ne voyait pas bien d'où elles sortaient et que l'on utilisaient finalement en posant toutes les équations et en barrant certains termes.

[Chalco]

Jeanne : OK, nous sommes d'accord.

[boumghar]

Désolé pour le retard, j'ai pas pu me connecter
Et pour la question que je veut posser :
Esque un acide avec une concentration C=10^-6 est un acide concentre ?
Si oui donc le pH est calculé avec cette formule : pH=-log[C]
Alors que j'ai trouvé la même valeur si c'etait un acide dilué avec la formule correspondante :
log[2] - log[C+√(C²+4K_e)]
Pour quoi ??????????????????

[jeanne08]

Une solution à 10^-6 mol/L est une solution diluée. On peut lui appliquer la formule pH = - logC . Pourquoi la formule s'applique ? parce que cette formule n'est valable que si on peut négliger les H+ provenant de l'autoprotolyse de l'eau devant ceux apportés par l'acide fort et c'est le cas si la concentration est 10^-6
Voir le post n°14

[boumghar]

Donc si C>10^-6 L'acide est concentré et si C=<10^-6 l'acide est dilué ?

[jeanne08]

Les notions de "concentré" et "dilué" ne sont pas absolues . Je ne dirai pas qu'une solution de C = 10^-6 mol/L est concentrée. pour moi une solution concentrée est à une concentration de l'ordre de 0.1 à 10 mol/L ...mais c'est un point de vue ...

[boumghar]

Le but de ma question est de savoir si dans exercice on me demande de calculer le pH d'un acide avec une concentration C, comment je peux savoir si je vais le considere comme etant un acide concentré ou dilué ? (de meme pour les bases)

[jeanne08]

Je suppose que tu as eu un cours sur les acides et bases et que le calcul du pH n'est pas réduit à une formule ...parachutée sans comprendre
1) d'abord on parle d'acide fort ( intégralement transformé en H3O+) ou de base forte ( intégralement transformée en OH-). Avec les acides faibles et bases faibles les raisonnements sont très différents
2) on a une solution d'acide fort de concentration C. A priori , si on néglige les H3O+ provenant de l'eau alors (H3O+) = C et pH = - log C . Les H3O+ provenant de l'eau sont en même concentration que les OH- soit 10^-14/C donc la formule est valable si 10^-14 /C << C ... ce qui est le cas le plus fréquent !
3) on a une solution de base forte OH- de concentration C alors (OH-) = C si les OH- provenant de la dissociation de l'eau sont négligeables alors (H3O+) = 10^-14/C ... d'où le pH ... Les OH- provenant de la dissociation de l'eau sont en même quantité que les H3O+ soit 10^-14/C donc la formule est valable si 10^-14/C <<C
morale : A priori les formules usuelles simples sont très souvent valables , encore faut il savoir d'où elles sortent pour s'y retrouver ! Se méfier des concentrations de l'ordre de 10^-6, 10^-7 mol/L ...

[boumghar]

Merci beaucoup à tous ce qui m'ont aidé à voir plus claire @moco @chalco @jeanne08