L'infini.

[Nathaelle.]

J'ai une question. Elle va surement vous paraître idiote ou même infantile mais voila, j'aimerais si possible des avis.

Prenons un exemple bête: La lièvre et la tortue (Comme dans la fable )

Si la tortue à parcourut une certaine distance, disons 10 m, et que le lièvre la rattrape, pendant qu'il parcours ces 10 m, la tortue, elle, aura tout de même continuer d'avancer et donc, aura parcourut une autre distance, peut être de 1 m. Donc, le lièvre parcourt ce mètre restant MAIS la tortue continue d'avancer ! Même d'un centimètre, et lorsque le lièvre aura parcourut cette distance, elle en aura elle aussi parcourut une autre, toujours plus petite et ainsi de suite... Mais viendras un moment où le lièvre dépassera la tortue.

Je ne sais pas si vous voyez...

Un autre exemple:

On sait tous qu'entre 0 et 1, il y a une infinité de nombres comme o,1 ou 0,157 ou encore 0,000548. Mais entre 0 et 2 ou 0 et 1 000 000, cette infinité est-elle plus grande ?

Ma question est donc: Existe t-il des infinis plus grands que d'autres ?
Et si oui, comment savoir ?

C'est surement mal formulé mais j’espère que cela reste un minimum compréhensible.
(Excusez moi pour les éventuels fautes.)

Merci,
Nathaëlle.
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[Médiat]

Bonjour,

J'ai une question. Elle va surement vous paraître idiote ou même infantile

Non, rassurez-vous il n'y a pas de question idiote (question scientifique, j'entends)

Prenons un exemple bête: La lièvre et la tortue (Comme dans la fable ).

Par contre il y a une fonction "recherche" sur ce site et en cherchant "Zénon" vous trouverez plusieurs discussions sur ce sujet.

On sait tous qu'entre 0 et 1, il y a une infinité de nombres comme o,1 ou 0,157 ou encore 0,000548. Mais entre 0 et 2 ou 0 et 1 000 000, cette infinité est-elle plus grande ?

Non, c'est le même infini.

Ma question est donc: Existe t-il des infinis plus grands que d'autres ?

Oui, il faut regarder du côté de la théorie des ensembles et de Cantor.

Et si oui, comment savoir ?

Je ne comprends pas la question

[toothpick-charlie]

il y a en effet des infinis plus grands que d'autres, mais entre 0 et 1 ou entre 0 et 2 c'est pareil. Si tu connais un peu la théorie des ensembles, tu as peut-être entendu parler de l'ensemble des parties d'un ensemble donné E. Cet ensemble qu'on note P(E) est toujours plus "grand" (a plus d'éléments) que E. Partant de E, on peut considérer P(E), puis P(P(E)), etc. C'est une façon de construire des ensembles de plus en plus grands et si on part d'un ensemble E infini, des infinis de plus en plus grands.

[wacounda]

Salut,
ton énoncé correspond à un des paradoxes cité par Zénon: http://fr.wikipedia.org/wiki/Paradox...t_de_la_tortue, la page wkipedia présente une résolution de ce paradoxe.
En espérant t'avoir aidé,
Wac

[A voir en vidéo sur Futura]

[toothpick-charlie]

Au fait, pour montrer qu'entre 0 et 1 ou bien entre 0 et 2 il y a autant de nombres, il suffit de considérer la correspondance x -> 2x. Si x et y sont deux nombres distincts de l'intervalle [0,1], alors 2x et 2y sont deux nombres distincts de l'intervalle [0,2], et si y est un nombre de [0,2] alors y/2 est un nombre de [0,1] si bien qu'à chaque nombre dans [0,1] correspond un unique nombre de [0,2] et à chaque nombre de [0,2] correspond un unique nombre de [0,1].

[Nathaelle.]

Merci beaucoup pour vos réponses

[karlp]

Bonjour à tous, bonjour Nathaelle

Ma question est donc: Existe t-il des infinis plus grands que d'autres ?
Et si oui, comment savoir ?

Pour le "savoir" , il faut le démontrer.
On peut le démontrer en montrant qu'il n'y a pas de bijection entre deux ensembles infinis.

Si vous avez 15 ans, il est fort problable que vous n'ayiez pas encore étudié la notion de bijection.
En simplifiant à l'extrême, on peut dire qu'il y a bijection entre deux ensembles si on peut associer chaque élement de l'ensemble de départ à un seul élément de l' ensemble d'arrivée, et s'il ne reste aucun élement de l'ensemble d'arrivée qui se retrouve "seul".
Par exemple, si vous dressez la table pour une quantité trop importante d'invités, et pour éviter que l'un se retrouve avec une fourchette mais pas de couteau, vous allez distribuer un couteau pour chaque fourchette : il y aura bijection entre l'ensemble des couteaux et l'ensemble des fourchettes.

Pour démontrer qu'un infini est plus grand qu'un autre, on peut procéder à l'aide d'un raisonnement par l'absurde: on va supposer qu'il y a bijection entre les deux ensembles, puis montrer qu'il reste au moins un élement de l'ensemble d'arrivée qui n'est pas associé à un élement de l'ensemble de départ: le deuxième ensemble est alors "strictement" plus grand.


Que les vénérables et respectables logiciens et mathématiciens me pardonnent le manque total de rigueur dans mon propos qui n'a pas d'autre ambition que d'essayer de donner à une très jeune demoiselle ( Nathaelle) une vague intuition de la façon dont on peut procéder

(J'espère que Cantor me pardonnera )

[PlaneteF]

Bonjour,

En complément des messages précédents :

Deux ensembles, finis ou pas, ont le même nombre d'éléments (ou même cardinal) ssi il existe une bijection entre ces 2 ensembles. On dit aussi que ces 2 ensembles sont équipotents.

Un exemple classique : L'ensemble des entiers naturels et l'ensemble des nombres pairs, contrairement à ce que l'intuition pourrait suggérer en première approche, ont le même cardinal, parce que par exemple la fonction du 1er ensemble vers le 2e, définie par est une bijection (on rejoint d'une certaine manière l'exemple précédent de toothpick-charlie). Dans ce cas ce cardinal est noté (aleph 0).

Très instructif aussi --> Voir le paradoxe de l'Hôtel de Hilbert.

Cordialement

[Médiat]

Bonjour,

Deux ensembles, finis ou pas, ont le même nombre d'éléments (ou même cardinal)

J'ajoute juste que j'ai toujours été persuadé que les interrogations, légitimes, de Nathaelle, et la surprise que peut provoquer la réponse vient de l'expression en langage courant "nombre d'éléments" qui n'a de sens précis que dans le cas fini (c'est après avoir défini la notion de cardinal, qui elle est purement mathématique que l'on peut donner un sens à cette expression, en disant que c'est un synonyme de cardinal, et non l'inverse).

Pour la surprise due à la réponse :
"Je le vois mais je n'y crois pas" écrit Cantor lui-même à Dedekind après avoir démontré que le cardinal d'un segment est le même que celui du plan.

J'ajoute que les tentatives de création d'une autre définition de "nombre d'éléments" se heurtent toujours à des écueils quand on veut que cette notion présente les mêmes propriétés que cette notion pour les ensembles finis :

1) Le "nombre d'éléments" ne dépend que de l’ensemble E et pas d’éventuelles structures définies sur E.
2) Principe d’Aristote (PA) : Le tout est plus grand que la partie.
3) Principe d’Aristote Fort (PAF) : le tout est strictement plus grand que la partie stricte.
4) Principe de Cantor (PC) : deux ensembles ont le même nombre d’éléments si et seulement si il existe une bijection entre ces deux ensembles.
5) Principe de Cantor Faible (PCF) : Si deux ensembles ont le même nombre d’éléments, alors il existe une bijection entre les deux.
6) Principe du Singleton (PS) : Le nombre d’élément(s) d’un singleton est égal à 1.
7) Principe de l’Union (PU) : le nombre d’éléments de l’union de deux ensembles disjoints est égal à la somme du nombre d’éléments de ces ensembles (ce principe couvre le cas de l’union d’un nombre fini d’ensembles finis, deux à deux disjoints).
8) Principe du Produit Cartésien (PPC) : le nombre d’éléments du produit cartésien de deux ensembles finis est égal au produit du nombre d’éléments de ces ensembles.

[PlaneteF]

J'ajoute juste que j'ai toujours été persuadé que les interrogations, légitimes, de Nathaelle, et la surprise que peut provoquer la réponse vient de l'expression en langage courant "nombre d'éléments" qui n'a de sens précis que dans le cas fini (c'est après avoir défini la notion de cardinal, qui elle est purement mathématique que l'on peut donner un sens à cette expression, en disant que c'est un synonyme de cardinal, et non l'inverse).

Sur ce point complétement d'accord, ... d'ailleurs en 2e instance j'aurais préféré écrire "Deux ensembles, finis ou pas, ont le même cardinal ..." en mentionnant en remarque l'idée de "nombre d'éléments" dans le cas fini, ceci pour exactement la même raison que tu évoques.

Cdt