La difficile question du sens mathématique.

[invite02232301]

Bonjour,
Cette interogation m'a été evoquée par la récente discussion là.
Comment juge t on de la portée et du sens d'un enoncé mathématiques.
Je veux dire il serait facile en laissant tourner un ordi par exemple, d'etablir a partir d'un liste d'axiomes et en appliquant de manière alétoire des inferences de produire des tas de theoremes, peut etre bien plus qu'un seul mathématicien en toute une vie. Bien sur l'interet et le "sens" de ces theoremes serait a peu pres nul.
Du coup à quoi juge t on l'interet d'une theorie ou d'enoncés mathématiques (vous personellement, ou en general).
Il y a plusieurs réponses assez naturelles.
1/ A sa difficulté. Ca ne me semble pas un argument tres serieux, il est possible encore une fois que les enoncés produit par l'ordi en question, apres 1 milliards d'inferences logiques soient d'une complexité effroyable, et qu'aucun humain ne soit veritablement capable de les prouver. Pourtant ca n'en fait pas des enoncés profonds. A l'inverse, certains resultats triviaux, sont veritablement plein de sens, et d'une grande portée.
2/ A sa fécondité. C'est un argument qui me semble plus serieux, mais plus subjectif deja, et surtout dangereux. On peut affirmer sans etre ridicule que les travaux de Florentin Smarandache ont été tres feconds au sens où ils ont generé une veritable ecole de maths tres productive (en terme de kgs de papier). Pourtant il n'y a pas une once de mathématique sensée ou profonde la dedans.

Pourtant il n'y a aucun doute qu'un matheux mis devant un enoncé pourra dire avec presque certitude s'il a du sens ou pas. S'il est profond pour pas.

D'autres pistes?
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[Médiat]

Bonjour,

J'avoue ne pas voir de critère objectif, mais un subjectif qui me plait bien (il est vrai que je suis un Cantor-Fan) :
Quand on voit un théorème et que l'on peut écrire à son propos :

Je le vois, mais je ne le crois pas

Bien sûr, le sous-entendu platonicien (croire ?) ne me convient pas, mais je pense que l'idée est néanmoins perceptible.

[minushabens]

On peut aussi citer Hardy : "The mathematician’s patterns, like the painter’s or the poet’s must be beautiful; the ideas like the colours or the words, must fit together in a harmonious way. Beauty is the first test: there is no permanent place in the world for ugly mathematics."

sinon, il me semble que Douglas Hofstadter s'est posé cette question dans ses livres. Je ne suis pas certain qu'il ait une réponse satisfaisante (laquelle n'existe probablement pas, ou bien est propre à chacun comme le suggère Hardy).

[Amanuensis]

La question est générale, mais on pourrait s'intéresser à des cas particuliers, juste pour comprendre.

Par exemple:

Je suppose que les problèmes du millénaire "ont un sens". Quel est celui de la conjecture de Birch et Swinnerton-Dyer ? (Est-ce explicable à un néophyte? Est-ce qu'elle a un sens pour tout "matheux"?)

Dans un autre ordre d'idée:

Quelle est la fécondité directe (je ne parle pas de ce qui a été développé pour le démontrer(1)) du théorème de Fermat-Wiles?

Même question pour les théorèmes d'incomplétude de Gödel?

(1) À moins que la "fécondité" inclue les "gains collatéraux" de la vaste entreprise qu'a été la démonstration de la conjecture?

Quelle serait la fécondité de P=PN

[A voir en vidéo sur Futura]

[Matmat]

Sans doute qu'essayer d'expliquer les raisons qui vous font penser "qu'il n'y a pas une once de mathématique sensée ou profonde dans les travaux de Florentin Smarandache" va nous donner des pistes de réflexions .

[Amanuensis]

Pourquoi a-t-il une entrée dans le Wiki francophone et non dans le Wiki en anglais?

[0577]

Bonjour,

je ne comprends absolument pas ce qui est sous-entendu par "faire sens" dans la question. Pour moi, un énoncé mathématique "fait sens" s'il est "syntaxiquement correct". Si le programme produisant des théorèmes à partir d'axiomes est correctement écrit, alors tout théorème produit "fait sens".

Dire des travaux d'un individu X qu'ils ne contiennent pas "une once de mathématique sensée ou profonde" ne m'intéresse pas car je ne sais pas ce que cette phrase signifie. Ce qui m'intéresse avant tout est de savoir si ces travaux contiennent des énoncés vrais et des preuves correctes (i.e., pour reprendre l'analogie de l'ordinateur, ce qui devrait être le cas si le programme ne contient pas de "bug").

Une fois que l'on est sûr de la véracité d'un énoncé, je ne vois pas pourquoi il serait nécessaire d'aller plus loin et d'essayer de "juger" cet énoncé en lui accolant des adjectifs: "intéressant", "difficile", "profond", "fécond"... La nécessité de "juger" des énoncés ne me semble être explicite que dans le cadre politique du système académique (ou ce qu'on cherche à "juger" ne sont en fait pas les énoncés mais leurs auteurs puisqu'il s'agit alors de questions de recrutement, avancement, financement...), cadre qui me semble totalement extra mathématique.

Bien sûr, quelqu'un faisant des mathématiques a besoin pour des raisons psychologiques d'un intérêt pour les questions auxquelles il s'intéresse mais les sources de cet intérêt peuvent être extrêmement diverses (recherche d'une vérité, d'une beauté, problèmes "pratiques", connexions/applications à d'autres domaines, travail alimentaire...) et sont extrêmement subjectives. Je ne connais rien qui soit "intéressant", "beau", "fécond", "utile" dans "l'absolu".

Je ne sais pas ce qu'est un énoncé "trivial","difficile". Un raisonnement mathématique n'étant qu'une suite d'évidences, tout raisonnement mathématique est une trivialité. On pourrait en déduire qu'il n'y a pas d'énoncé "profond". Un des problèmes essentiel de ce point de vue est que la manière dont un être humain raisonne la plupart du temps et dont fonctionne le langage et l'écriture, est unidimensionnelle: on raisonne et on parle au cours du temps et les écritures standard reprennent cette structure linéaire, alors qu'il semble que le graphe de sommets les énoncés mathématiques et de liens les preuves ou implications ait une topologie extrêmement compliquée. L'étude de cette topologie est peut-être un premier pas à faire pour rendre précis l'impression subjective de "profondeur" de certains résultats.

[Médiat]

Bonsoir,

Jugeriez-vous de même intérêt (sans arguties) les deux théorèmes suivants de la théorie PA (ma réponse précédente pointait le caractère subjectif du jugement, tenter d'appliquer un critère objectif à cette question me semble effectivement vain, mais cela ne veut pas dire que la question est vide) :

1+1 = 2
Théorème de Wiles-Fermat (et ce n'est sans doute pas l'exemple le plus parlant)

[gatsu]

Bonjour,
Cette interogation m'a été evoquée par la récente discussion là.
Comment juge t on de la portée et du sens d'un enoncé mathématiques.
Je veux dire il serait facile en laissant tourner un ordi par exemple, d'etablir a partir d'un liste d'axiomes et en appliquant de manière alétoire des inferences de produire des tas de theoremes, peut etre bien plus qu'un seul mathématicien en toute une vie. Bien sur l'interet et le "sens" de ces theoremes serait a peu pres nul.
Du coup à quoi juge t on l'interet d'une theorie ou d'enoncés mathématiques (vous personellement, ou en general).
Il y a plusieurs réponses assez naturelles.
1/ A sa difficulté. Ca ne me semble pas un argument tres serieux, il est possible encore une fois que les enoncés produit par l'ordi en question, apres 1 milliards d'inferences logiques soient d'une complexité effroyable, et qu'aucun humain ne soit veritablement capable de les prouver. Pourtant ca n'en fait pas des enoncés profonds. A l'inverse, certains resultats triviaux, sont veritablement plein de sens, et d'une grande portée.
2/ A sa fécondité. C'est un argument qui me semble plus serieux, mais plus subjectif deja, et surtout dangereux. On peut affirmer sans etre ridicule que les travaux de Florentin Smarandache ont été tres feconds au sens où ils ont generé une veritable ecole de maths tres productive (en terme de kgs de papier). Pourtant il n'y a pas une once de mathématique sensée ou profonde la dedans.

Pourtant il n'y a aucun doute qu'un matheux mis devant un enoncé pourra dire avec presque certitude s'il a du sens ou pas. S'il est profond pour pas.

D'autres pistes?

Salut,

Il y a aussi la "portee" du théorème i.e. les consequences que le dit théorème va avoir sur le reste des mathématiques. Les théorèmes d'incomplétude (et de completude) de Goedel deja mentionnes par amanuensis, bien que peu utilises dans les maths en pratiques sont pourtant importants car ils portent sur les fondements des mathématiques. Cela reste un critère subjectif évidemment mais qui me semble être distinct des deux autres deja mentionnes.

[azizovsky]

Salut, ta question m'a fait penser à l'opérateur de Dirac pour 'la portée', plus de 20 après sa découverte, il été redécouvert par Atiyah et Singer (théorème de indice), mais le sens mathématique :

les spineurs de Pauli et de Dirac n'étaient en fait chacun qu'une forme désarticulée et tronqué respectivement du quaternion d'Hamilton et du
biquaternion élément de Cl+(1; 3).

(http://aflb.ensmp.fr/AFLB-26j/aflb26jp095.pdf).

[Médiat]

Bonjour,

J'ajouterais un critère, presque "objectif" de l'intérêt de certains travaux : la fécondité des outils mis au point, par exemple, la méthode du forcing, que Cohen a développée pour démontrer que HC n'est pas un théorème de ZFC ; par la suite cette méthode a été utilisée de très nombreuses fois pour des théorèmes du même type (mais ces théorèmes ont-ils un quelconque intérêt ? On retombe dans le subjectif).

[minushabens]

Dire des travaux d'un individu X qu'ils ne contiennent pas "une once de mathématique sensée ou profonde" ne m'intéresse pas car je ne sais pas ce que cette phrase signifie. Ce qui m'intéresse avant tout est de savoir si ces travaux contiennent des énoncés vrais et des preuves correctes (i.e., pour reprendre l'analogie de l'ordinateur, ce qui devrait être le cas si le programme ne contient pas de "bug").

et quid des conjectures? Elles ne sont pas des vérités au moment où elles sont énoncées, et n'ont pas de démonstration, mais jouent tout de même un rôle dans les mathématiques.

Une fois que l'on est sûr de la véracité d'un énoncé, je ne vois pas pourquoi il serait nécessaire d'aller plus loin et d'essayer de "juger" cet énoncé en lui accolant des adjectifs: "intéressant", "difficile", "profond", "fécond"... La nécessité de "juger" des énoncés ne me semble être explicite que dans le cadre politique du système académique (ou ce qu'on cherche à "juger" ne sont en fait pas les énoncés mais leurs auteurs puisqu'il s'agit alors de questions de recrutement, avancement, financement...), cadre qui me semble totalement extra mathématique.

je crois que tu oublies l'enseignement. Quand on décide d'enseigner une matière, il faut bien hiérarchiser les résultats.

Un raisonnement mathématique n'étant qu'une suite d'évidences, tout raisonnement mathématique est une trivialité.

ha ha, c'est vrai et en même temps on ne peut plus faux. Tout le monde sait qu'il y a des mathématiques difficiles.

[JPL]

Tout le monde sait qu'il y a des mathématiques difficiles.

Oui, c'est trivial

[Amanuensis]

Le terme "subjectif" me pose problème. Normalement, dans le contexte, cela signifie quelque chose comme "qui dépend du sujet émettant le jugement, qui n'a de valeur que pour lui".

Or, quand MiPaMa écrit "Pourtant il n'y a aucun doute qu'un matheux mis devant un enoncé pourra dire avec presque certitude s'il a du sens ou pas. S'il est profond pour pas.", c'est autre chose qu'une subjectivité "individuelle" qui est décrit.

Une inter-subjectivité au sein de la communauté des matheux?

Il me semble que les questions sont alors a) s'il y a bien consensus sur l'existence d'une telle inter-subjectivité, b) si oui, si on peut l'analyser en tant que telle, en l'observant "de l'extérieur", au mieux si on pourrait écrire une recette applicable aveuglément (par un "non-matheux" par exemple) qui permettrait de prédire l'opinion inter-subjective des matheux.

[Paradigm]

Bonjour MiPaMa, bonjour à tous,

Je veux dire il serait facile en laissant tourner un ordi par exemple, d'etablir a partir d'un liste d'axiomes et en appliquant de manière alétoire des inferences de produire des tas de theoremes, peut etre bien plus qu'un seul mathématicien en toute une vie.
Pourtant il n'y a aucun doute qu'un matheux mis devant un enoncé pourra dire avec presque certitude s'il a du sens ou pas.

Sans toutefois savoir le formaliser ? La profondeur d'une idée, dans le domaine axiomatique, ne serait pas inscrite dans le langage mathématique utilisé (car purement syntaxique), mais dépendrait des usages applicatif/ modèles qui pouraient en découler ?

Pour Wittgenstein il semble qu'il n'y ait acune différentiation entre syntaxe et sémantique dans le domaine des mathématiques, d'ou la difficulté de faire apparaître du sens ?

http://plato.stanford.edu/entries/wi...n-mathematics/

For Wittgenstein, there simply is no distinction between syntax and semantics in mathematics: everything is syntax. If we wish to demarcate between “mathematical propositions” versus “mathematical pseudo-propositions,” as we do, then the only way to ensure that there is no such thing as a meaningful, but undecidable (e.g., independent), proposition of a given calculus is to stipulate that an expression is only a meaningful proposition in a given calculus (PR §153) if either it has been decided or we know of an applicable decision procedure. In this manner, Wittgenstein defines both a mathematical calculus and a mathematical proposition in epistemic terms. A calculus is defined in terms of stipulations [(PR §202), (PG 369)], known rules of operation, and known decision procedures, and an expression is only a mathematical proposition in a given calculus (PR §155), and only if that calculus contains (PG 379) a known (and applicable) decision procedure, for “you cannot have a logical plan of search for a sense you don't know” (PR §148).

Cordialement,

[Amanuensis]

Pour Wittgenstein il semble qu'il n'y ait acune différentiation entre syntaxe et sémantique dans le domaine des mathématiques, d'ou la difficulté de faire apparaître du sens ?

Il va plus loin, non? il écrit que les maths ne sont que syntaxe.

[Médiat]

Bonjour,

dépendrait des usages applicatif/ modèles qui pouraient en découler ?

Est-ce que votre formulation sous-entend l'identité (forte ou faible) entre "usage applicatif" et "modèle" ?

[Paradigm]

Il va plus loin, non? il écrit que les maths ne sont que syntaxe.

C'est fort probable, il faudrait, en ce qui me concerne, que je me plonge plus en détail dans ses analyses.

Cordialement,

[Médiat]

C'est fort probable, il faudrait, en ce qui me concerne, que je me plonge plus en détail dans ses analyses.

Regardez la première phrase de votre citation

[Paradigm]

Est-ce que votre formulation sous-entend l'identité (forte ou faible) entre "usage applicatif" et "modèle" ?

Regardez la première phrase de votre citation

Le texte n'est pas de Wittgenstein, mais effectivement la première phrase n'est pas ambigu.

Usage applicatif/modèle ciblait plutôt les domaines qui font usage des mathématiques comme la physique. La notion de modèle s'identifiant plutôt à ce qui est défini dans cet article (I.2 Théorie et modéles) : https://cel.archives-ouvertes.fr/cel-00092934/document.

Maintenant la théorie mathématique des modèles, elle serait aussi purement syntaxique ?

Cordialement

[Médiat]

Usage applicatif/modèle ciblait plutôt les domaines qui font usage des mathématiques comme la physique.

Ok, dans un fil sur les mathématiques la confusion était possible, d'où ma demande d'éclaircissement

Maintenant la théorie mathématique des modèles, elle serait aussi purement syntaxique ?

C'est une question de perspective (interne ou externe) : Les notions de formule, d'axiomes, de théories etc. sont syntaxiques et la notion de modèle (sens théorie des modèles) est sémantique dans le cadre des mathématiques (point de vue interne), autrement dit, si vous considérez que les mathématiques sont purement syntaxiques, comme Wittgenstein, d'un point de vue externe, même la théorie des modèles est syntaxique.

J'imagine que pour un platonicien pur et dur, il doit y avoir un peu de sémantique quelque part (seule la formulation étant syntaxique)...

[invite02232301]

Pour apporter des precisions sur ce dont je parlais dans le premier message.

Il est vrai que je n'ai pas bien séparé deux aspects, qui sont pour moi disjoints, et interessants tous les deux. Le premier est celui du sens d'un enoncé mathématique, le second est celui de sa profondeur.

Je voulais surtout initalement discuter du sens. Et en donner une définition precise n'est pas facile puisque c'est un peu le but de ce fil en fait.

Disons qu'independament de la veracité ou non d'un resultat mathématique (ou de la correction de sa preuve), il me semble qu'il y a qqch de fondamental qui sépare par exemple les deux enoncés suivants.

Si on se donne k applications de k ensembles E_1,..., E_k dans un ensemble T (notées f_i), de sorte à ce que card(E_i)=2^i.i! et que les images de f_i et f_j ne peuvent avoir plus de 3^|i-j| elements en commun, alors il existe une constante C, telle que si card(T)>C, on puisse trouver un element de T qui soit dans un unique f_i(E_i). (Enoncé inventé et probablement faux d'ailleurs, mais c'est pour donner un exemple).

On peut trouver une injection de E dans F ssi on peut trouver une surjection de F dans E.

Il me semble que le second a un sens et pas le premier. Au motif que le second est une question "naturelle", ou "centrale".
On peut bien sur arguer que c'est totalement subjectif et sociologique. Il se degage un consensus sur ce qu'est le sens mathématique (et apres tout il ne peut pas vraiment en etre autrement quand on parle de sens) ce concensus étant acté par les mathématiciens. Dans l'absolu le premier enoncé ne vaut pas plus, pas moins que le second.

Je parle aussi de la profondeur. En disant que le style qui consiste à empiler des definitions "sorties d'on ne sait ou", pour finalement montrer des "trivialités" (désolé) à leur sujet, ca n'est pas faire des mathématiques profondes. Les objets mathématiques ne viennent pas sur le tapis par hasard. On peut bien sur decider de s'interesser à des ensembles munis de 5 lois internes possedant entre elles des propriétés farfelues, mais a moins de demontrer qqch de réellement interessant dessus qui fait un lien avec qqch d'autre qui siege deja dans les maths "mainstream", ca n'est ni profond, ni meme ne genere du sens.

Pour peut etre mieux illustrer ce que je veux dire je vais me permettre de citer Zagier.

L'un des taches les plus importantes et difficiles des mathématiques est de choisir les "bons" problemes parmi l'infinité de questions possibles

Pour moi la question du sens se rattache à ce que sont ces "bons" problemes.

Ensuite il y a aussi la fécondite qui est liée a la profondeur bien sur. Mais qui est encore autre chose. Le theoreme de Fermat a été extrement fecond, mais (du moins pour moi) l'enoncé en tant que tel n'est ni profond ni n'a beaucoup de "sens". Les mathématiques qui ont été developpées pour le tordre (à la fois la theorie algébrique des nombres, et plus tard les travaux de Wiles en lien avec la géométrie algébrique) elles le sont (plein de sens et de profondeur).
La encore la question de Fermat n'est pas une question qui "brule les levres", au fond tout le monde s'en fout de savoir si l'equation de Fermat a ou pas une solution. Mais ca n'etait pas du tout le cas des questions qui ont emergé pour répondre à la question initiale, qui n'etait finalement qu'un puzzle.

Ca n'est pas le cas des problemes du millénaire à mon avis.

Encore une fois, on peut regler la question en disant que ceci est purement subjectif. Il faut quand meme remarquer qu'une partie du boulot de mathématicien consiste à evaluer la portée et la profondeur des idées des autres (je pense au reviewing ou aux comités de selections pour les postes). Dans ce contexte il me semble interessant d'analyser les mechanismes qui amènent a considerer qu'un enoncé a du sens ou non, de la profondeur ou non.

Si tous les enoncés se vallent, alors laissons la mathématique aux ordinateurs, ils en produiront bien bien plus.

[Médiat]

Bonjour Miss

Que dire d'un théorème comme celui de Löwenheim-Skolem qui est plein de sens (et qui n'est même pas compliqué à démontrer, mais, qui est bien une question qui "brule les lèvres") pour les logiciens et totalement vide pour les mathématiciens non logiciens qui d'ailleurs n'en ont jamais entendu parler (pour 99.9% d'entre eux), et je ne parle pas des travaux de Shelah.

Je me répète donc c'est subjectif mais ce n'est pas, pour autant, une question vide de sens

[invite06459106]

Bonjour,

Pour moi la question du sens se rattache à ce que sont ces "bons" problemes.

A rattacher au FAPP (For All Practical Purposes)? (donc subjectif?)
Cordialement,

[azizovsky]

Bonsoir, j'ai aimé les avis d'Alain Connes: https://www.youtube.com/watch?v=78-4UWgG78k
ou celui de Vladimir Arnold: http://www.irem.univ-paris-diderot.f...experimentale/

[Amanuensis]

Encore une fois, on peut regler la question en disant que ceci est purement subjectif.

Cela ne la règle en rien. C'est juste une manière d'évacuer (ou nier) la question.

Il faut quand meme remarquer qu'une partie du boulot de mathématicien consiste à evaluer la portée et la profondeur des idées des autres (je pense au reviewing ou aux comités de selections pour les postes). Dans ce contexte il me semble interessant d'analyser les mechanismes qui amènent a considerer qu'un enoncé a du sens ou non, de la profondeur ou non.

Bien d'accord.

[karlp]

Bonjour très cher Médiat !

C'est une question de perspective (interne ou externe) : Les notions de formule, d'axiomes, de théories etc. sont syntaxiques et la notion de modèle (sens théorie des modèles) est sémantique dans le cadre des mathématiques (point de vue interne), autrement dit, si vous considérez que les mathématiques sont purement syntaxiques, comme Wittgenstein, d'un point de vue externe, même la théorie des modèles est syntaxique.

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Je surmonte mon inquiétude de poser une question que je crains idiote (après tout la réponse m'en délivrera ): Est-ce que cette affirmation selon laquelle même la théorie des modèles est syntaxique (ce qui est parfaitement conforme à mes préjugés; la distinction que vous faites entre point de vue interne et externe signifie pour moi que la notion de "sémantique" est très différente selon le cadre- mathématique ou non mathématique- dans lequel elle est employée ) peut être une conclusion du théorème de complétude ?

[Médiat]

Très cher karlp,

Surmontez, surmontez

Est-ce que cette affirmation selon laquelle même la théorie des modèles est syntaxique peut être une conclusion du théorème de complétude ?

Je ne suis pas certain de comprendre ce que vous voulez dire par "conclusion", mais cela me parait inadéquat, dans la mesure où les mathématiques du 2nd ordre ne sont pas moins "syntaxiques" que celles du premier ordre, alors que le théorème de complétude n'est pas valide hors du 1er ordre (les champs d'application sont donc différents).

(la distinction que vous faites entre point de vue interne et externe signifie pour moi que la notion de "sémantique" est très différente selon le cadre- mathématique ou non mathématique- dans lequel elle est employée )

Oui, cette distinction dépend du contexte, le mot "sémantique" à l'intérieur des mathématiques, pour qualifier la théorie des modèles, contredirait l'aphorisme de Bertrand Russell, si on lui donnait la même signification qu'hors des mathématiques :

Les mathématiques, cette science dans laquelle on ne sait jamais de quoi on parle, et où l'on ne sait jamais si ce que l'on dit est vrai

[karlp]

Très cher karlp,

Surmontez, surmontez


Je ne suis pas certain de comprendre ce que vous voulez dire par "conclusion", mais cela me parait inadéquat, dans la mesure où les mathématiques du 2nd ordre ne sont pas moins "syntaxiques" que celles du premier ordre, alors que le théorème de complétude n'est pas valide hors du 1er ordre (les champs d'application sont donc différents).
:

Merci pour vos explications : je craignais en effet de me laisser aller à quelque abus métaphorique et c'était bien le cas.
Mon erreur se fondait sur l'idée naïve selon laquelle le théorème de complétude permettait d'affirmer qu'une proposition n'est vraie que si elle est déductible et que par conséquent toute approche sémantique pouvait être ramenée à une approche syntaxique.

Je vais plutôt essayer de déterminer comment je peux distinguer le sens de "sémantique" en logique du sens qu'on lui donne en linguistique

[Médiat]

Mon erreur se fondait sur l'idée naïve selon laquelle le théorème de complétude permettait d'affirmer qu'une proposition n'est vraie que si elle est déductible et que par conséquent toute approche sémantique pouvait être ramenée à une approche syntaxique.

C'est bien le cas, mais avec les acceptions "internes aux mathématiques" de "syntaxique" et de "sémantique" .

Pour éviter tout confusion, la formulation mathématique, me semble la meilleure (logique du 1er ordre) :
La formule est déductible de (syntaxique) si et seulement si tout modèle de est aussi modèle de (sémantique).