Le poids de l'infini ?

[sunyata]

+1-1 = 0
+1-1+1-1 = 0

Mais à quoi est égal ?

+1-1+1-1+.... à l'infini ?

Posons S = +1-1+1-1+....

On a alors S= +1-1(+1-1+1-1+...)
S= +1-S

Donc 2S= +1

Donc S = +1/2

Incroyable non ? Comment expliquer ce résultat ?
-----

[Médiat]

Bonjour,

Comment définissez vous l'addition d'une infinité de termes ? A ma connaissance l'addition est une opération binaire, seule les additions de 2 termes sont valides, même si certaines de ses propriétés autorisent certains abus de langage pour l'addition d'un nombre fini de termes (disons entiers pour ne pas s'égarer).

[mach3]

marronnier...

voir ici par exemple pour des éléments de réponses : http://forums.futura-sciences.com/ma...1-1-1-1-a.html

m@ch3

[invite36041331]

Bonjour,

Tu poses la question que vaut la somme :1-1+1-1+1-1+1...
Et pour faire ton calcule tu utilises des propriétés vrai pour des additions finis et que tu prolonges pour les addition infinis.

La question est, peut-on faire cela ?

Prend par exemple les ensembles finis, pour ces ensembles le tout est strictement plus grand qu'une partie stricte (au sens de l'équipotence).
Et prend maintenant l'ensemble infini des entiers naturels, {0,1,2,3,...} et bien c'est ensemble peut-être mis en bijection avec une partie strictement plus petite que les entiers naturels à savoir, les entiers naturels privé de 0.
La bijection est alors la fonction qui à un entier n associe son susceur n+1.
Ainsi dans le cas des ensembles infinis ont peu avoir le tout aussi grand qu'une partie stricte.

Bilan : 1/une propriété vrai dans le cas fini, ne peu pas forcément être prolongé dans le cas infini.
2/Ce qui ne veut pas dire que l'on ne puisse pas trouver une théorie ou le calcul que tu proposes soit possible, mais cette théorie resterait à préciser.

Cordialement.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Aglid]

+1-1 = 0
+1-1+1-1 = 0

Mais à quoi est égal ?

+1-1+1-1+.... à l'infini ?

Posons S = +1-1+1-1+....

On a alors S= +1-1(+1-1+1-1+...)
S= +1-S

Donc 2S= +1

Donc S = +1/2

Incroyable non ? Comment expliquer ce résultat ?

Salut,
Non...

S= +1-1 + (1-1+1-1+...)
S= +1-1+S
=> S = S

Tu transformes une addition en multiplication en plaçant ainsi ta parenthèse +1-1(+1-1+1-1+...), et tu l'appliques ensuite en faisant -1(S)=-S. Tu désobéis à une règle basique, pas étonnant que tu obtiennes un résultat du genre l'infini = 1/2

[mach3]

Salut,
Non...

S= +1-1 + (1-1+1-1+...)
S= +1-1+S
=> S = S

Tu transformes une addition en multiplication en plaçant ainsi ta parenthèse +1-1(+1-1+1-1+...), et tu l'appliques ensuite en faisant -1(S)=-S. Tu désobéis à une règle basique, pas étonnant que tu obtiennes un résultat du genre l'infini = 1/2

non non c'est pas ça le problème. Il aurait le droit de le faire si c'était une suite finie.

m@ch3

[Cotissois31]

Comme vous avez identifié, c'est le passage
"
On a alors S= +1-1(+1-1+1-1+...)
S= +1-S
"
qui pose problème.


mais pour n'importe quelle valeur de x

La convergence est la même mais il n'y a pas égalité.

La réponse est que S ne converge pas à l'infini. Ce sera alternativement 0 ou 1 ou -1 à chaque itération nouvelle.
Un moyen de vérifier est d'itérer 10, 11, 12, 100, 101, 102, 1000, 1001, 1002 fois (avec un petit programme informatique). Pas de convergence visible, toujours la même alternance 0/1/-1.

[Cotissois31]

Je veux dire 0 ou 1, pas -1.

Notez que c'est une question type lycée et pas un débat scientifique.

[Cotissois31]

De plus, la convergence vers l'infini n'est pas vraiment une convergence mais c'était pour vulgariser.

[Aglid]

non non c'est pas ça le problème. Il aurait le droit de le faire si c'était une suite finie.

m@ch3

Je ne comprend pas ton raisonnement, je ne vois pas ce qui peut lui donner le droit de multiplier S par (-1)

[ansset]

c'est une factorisation des termes à partir du second, mais appliquée à une suite infinie. !!! et c'est le souci.

[Cotissois31]

On a le même problème avec le lien de mach3 :
"Je pense que le problème vient du fait que A = A + 1 n'est vrai qu'au voisinage de l'infini"

A n'est jamais égal à A+1. Les deux termes ont la même limite à l'infini, ce n'est pas pareil.
J'ai toujours appris sur ces exemples à écrire "tend vers" sous chaque terme pour bien dire que je ne fais que comparer les limites et pas que je rentre dans une arithmétique de l'infini qui aboutirait à la catastrophe.

[Schrodies-cat]

On pourrait aussi bien faire:
1-1+1-1+1-1+1-1... = (1-1)+(1-1)+(1-1)+(1-1) ... =0+0+0+0+0 ... = 0

Si on ne se donne pas un cadre rigoureux, on peut parvenir à n'importe quoi.

[Aglid]

On pourrait aussi bien faire:
1-1+1-1+1-1+1-1... = (1-1)+(1-1)+(1-1)+(1-1) ... =0+0+0+0+0 ... = 0

Si on ne se donne pas un cadre rigoureux, on peut parvenir à n'importe quoi.

Dans le cadre d'une suite infinie de +1-1, il n'y a pas de résultat définitif. Tu peux juste affirmer que si tu t'arrêtes dans la suite à un moment donné, le résultat sera soit 1, soit 0.

non non c'est pas ça le problème. Il aurait le droit de le faire si c'était une suite finie.

m@ch3

Je reviens là dessus ^^

Suite finie de +1-1... = 0
Donc, dans ce cas, S=0
Maintenant... +1-1(+1-1+1-1+...)
=> S = 1 - 0
=> S = 1
Je vois le même problème que pour la suite infinie.
Alors, au final, il y a peut-être d'autres soucis dans le raisonnement qui mène à S=1/2... mais le coup des parenthèses en est un fameux.

[ansset]

Je vois le même problème que pour la suite infinie.
.

non, dans le cadre d'une suite finie, elle s'arrête à un certain rang N.
écrire et interpréter une suite fini avec des...... ne fait pas sens.

[Cotissois31]

Dans le cadre d'une suite infinie de +1-1, il n'y a pas de résultat définitif.

Dans le cadre d'une somme infinie où chaque somme +1 est suivie d'une somme -1 et inversement.

L'erreur des parenthèses de factorisation n'est pas une erreur supplémentaire. C'est équivalent à parler d'un problème de validité d'arithmétique dans le cas précis où la somme infinie n'a pas d'autre simplification possible.

On ne peut pas simplifier +1-1+1-1+...
On peut simplifier (+1-1)+(+1-1)+...

Les parenthèses dans le dernier cas ne montrent pas de priorité calculatoire mais explicitent quelle est l'itération répétée à l'infini. Quand quelque chose est répété à l'infini, il n'y a pas de calcul. C'est uniquement en prouvant qu'il y a une limite finie que l'on peut rentrer à nouveau dans le calcul.

Au final, il fallait directement prouver que la somme donne une suite infinie de 1,0,1,0,... et ne jamais rentrer dans cette arithmétique.

[Aglid]

non, dans le cadre d'une suite finie, elle s'arrête à un certain rang N.
écrire et interpréter une suite fini avec des...... ne fait pas sens.

Les ... je les ai laissé car peu importe la valeur de N, du moment qu'on sait que la suite +1-1 est finie, le résultat est égal à 0.
C'était mal inspiré au niveau du langage, désolé.

Elle s'arrête à un certain rang N... et ça fait 0. Par conséquent, je ne comprend pas en quoi ce que tu dis prouve que la position mal inspirée de la parenthèse n'est pas un problème si la suite est finie.

[Aglid]

Dans le cadre d'une somme infinie où chaque somme +1 est suivie d'une somme -1 et inversement.

L'erreur des parenthèses de factorisation n'est pas une erreur supplémentaire. C'est équivalent à parler d'un problème de validité d'arithmétique dans le cas précis où la somme infinie n'a pas d'autre simplification possible.

On ne peut pas simplifier +1-1+1-1+...
On peut simplifier (+1-1)+(+1-1)+...

Les parenthèses dans le dernier cas ne montrent pas de priorité calculatoire mais explicitent quelle est l'itération répétée à l'infini. Quand quelque chose est répété à l'infini, il n'y a pas de calcul. C'est uniquement en prouvant qu'il y a une limite finie que l'on peut rentrer à nouveau dans le calcul.

Au final, il fallait directement prouver que la somme donne une suite infinie de 1,0,1,0,... et ne jamais rentrer dans cette arithmétique.

Tu dis qu'on peut:
+1-1+1-1...
=> +1-1 + (+1-1+1-1...)
Il fait:
+1-1(+1-1+1-1...)
=> +1 - (+1-1+1-1...)
C'est pas une erreur supplémentaire ça?

Je vous fait confiance, il y certainement quelque chose que j'ignore qui me ferait rejoindre votre avis, mais je ne vois pas du tout ce que ça peut être. Je ne m'étais encore jamais autant pris la tête sur une série de 1.

[Aglid]

Je voulais edit, mais c'était trop tard.

Je crois que je commence à comprendre, je t'avais mal interprété.

Mais l'idée du post de départ, c'est de souligner l'étrangeté de "S, une série infinie" qui devient S=1/2 non?
Et ça, c'est arrivé uniquement à cause de la parenthèse... sans cette erreur, on obtient S=S et le sujet n'a pas lieu d'être.

[Aglid]

Désolé pour le triple post

Bref, si je comprend bien, tu dis qu'on ne peut pas simplifier un contenu infini placé entre parenthèses. C'est ça?
Si l'infini = X + ...
et qu'on:
infini = X + (...)
on ne peut pas simplifier le contenu des parenthèses en l'appelant l'infini, parce que ça revient à dire que l'infini = l'infini -X
Pour peu que ça ait du sens, je peux comprendre l'interdiction.

Sauf que dans ce cas précis, X=0
S = S - 0
je vois pas le soucis.

[wizz]

faut demander le résultat à Chuck Norris....

[ansset]

Dans l'idée, j'aurais plutôt envie de demander son avis à JCVM, je suis sur d'avoir une réponse assez transcendantale. ( "aware" à minima )

[Aglid]

faut demander le résultat à Chuck Norris....

Je lui ai demandé, il a directement trouvé l'argument pour mettre tout le monde d'accord.

Nous sommes tous d'accord pour dire qu'il y a un problème, mais nous ne sommes pas d'accord sur le problème.
D'après vous, le problème que je soulève n'en est pas un
D'après moi, si j'ai bien compris l'argument de simplification, le problème que vous soulevez n'en est pas un.

En conclusion, il n'y a pas de problème. S=1/2 et c'est incroyable.

[ansset]

En conclusion, il n'y a pas de problème. S=1/2 et c'est incroyable.

Non, ce résumé est erroné, selon la manière dont on "somme" ( parfois avec mise en corrélation d'une somme avec elle-même par exemple ) , on peut aboutir à des résultats différents.
Ainsi, en manipulant la somme des entiers on peut aboutir à -1/12. ( sujet tellement rebattu ici )
Ceci est à rapprocher de l'utilisation de la fonction Zeta utilisée par les physiciens pour "renormaliser" des intégrales divergentes.

[PlaneteF]

Bonjour,

Nous sommes tous d'accord pour dire qu'il y a un problème, mais nous ne sommes pas d'accord sur le problème.
D'après vous, le problème que je soulève n'en est pas un
D'après moi, si j'ai bien compris l'argument de simplification, le problème que vous soulevez n'en est pas un.

En conclusion, il n'y a pas de problème. S=1/2 et c'est incroyable.

Absolument pas, tu es complétement à côté de la plaque. Tout a pourtant été parfaitement résumé par Mediat dans son message#2, mais puisque manifestement cela n'a pas été compris ou pas lu, on peut expliciter un peu plus :

Tu utilises le symbole "+...". OK, très bien, c'est bien gentil mais que signifie ce symbole ? Comment le définis-tu ?? ... Une addition est opération binaire, appelons la add(). Ainsi 1+1=add(1,1)

On peut ensuite définir a+b+c = add(add(a,b), c)

Pour n nombres on fait de même par récurrence.

OK. Jusque là on est bon !

Maintenant comment définis-tu ton symbole "+..." avec la fonction add()

A toi de jouer , ... et tant que tu n'auras pas répondu à cette question fondamentale qui est un prérequis indispensable à toute discussion, tout ce qui pourra être dit ne sera que du baratin sans intérêt.


Cordialement

[Médiat]

Merci à PlaneteF

[Aglid]

Non, ce résumé est erroné, selon la manière dont on "somme" ( parfois avec mise en corrélation d'une somme avec elle-même par exemple ) , on peut aboutir à des résultats différents.
Ainsi, en manipulant la somme des entiers on peut aboutir à -1/12. ( sujet tellement rebattu ici )
Ceci est à rapprocher de l'utilisation de la fonction Zeta utilisée par les physiciens pour "renormaliser" des intégrales divergentes.

La conclusion était ironique... hein.

Bonjour,

Absolument pas, tu es complétement à côté de la plaque. Tout a pourtant été parfaitement résumé par Mediat dans son message#2, mais puisque manifestement cela n'a pas été compris ou pas lu, on peut expliciter un peu plus :

Tu utilises le symbole "+...". OK, très bien, c'est bien gentil mais que signifie ce symbole ? Comment le définis-tu ?? ... Une addition est opération binaire, appelons la add(). Ainsi 1+1=add(1,1)

On peut ensuite définir a+b+c = add(add(a,b), c)

Pour n nombres on fait de même par récurrence.

OK. Jusque là on est bon !

Maintenant comment définis-tu ton symbole "+..." avec la fonction add()

A toi de jouer , ... et tant que tu n'auras pas répondu à cette question fondamentale qui est un prérequis indispensable à toute discussion, tout ce qui pourra être dit ne sera que du baratin sans intérêt.
Cordialement

Merci pour l'explication.

[Aglid]

Je vais résumer ce que vous me dites...

Etant donné que... l'addition est une opération binaire, seule les additions de 2 termes sont valides, même si certaines de ses propriétés autorisent certains abus de langage pour l'addition d'un nombre fini de termes (disons entiers pour ne pas s'égarer).
Vous me dites que... multiplier par un (-1) qui n'a pas lieu d'être, ça ce n'est pas grave.

L'ordre des priorités des choses qu'on ne peut pas faire, c'est arbitraire quand même...
Si "au moins" il ne s'était pas servi de sa parenthèse pour transformer -1 en multiplication par (-1)... il aurait obtenu S=S et le sujet n'avait pas lieu d'être.
Pourquoi contestez-vous ceci?

[ansset]

Si "au moins" il ne s'était pas servi de sa parenthèse pour transformer -1 en multiplication par (-1)... il aurait obtenu S=S et le sujet n'avait pas lieu d'être.
Pourquoi contestez-vous ceci?

non, pas exactement, il a factoriser une sous partie de la somme pour ensuite écrire une formule du type
S=f(S) et en déduire un S erroné mathématiquement.
c'est aussi ainsi qu'avec les manipulations du même type on arrive à "démontrer" que la somme des entiers vaudrait -1/12

[Juzo]

Bonjour, le mieux est peut-être de lire ceci

https://sciencetonnante.wordpress.co...s-divergentes/