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Le poids de l'infini ?

  1. sunyata

    Date d'inscription
    octobre 2014
    Messages
    1 003

    Question Le poids de l'infini ?

    +1-1 = 0
    +1-1+1-1 = 0

    Mais à quoi est égal ?

    +1-1+1-1+.... à l'infini ?

    Posons S = +1-1+1-1+....

    On a alors S= +1-1(+1-1+1-1+...)
    S= +1-S

    Donc 2S= +1

    Donc S = +1/2

    Incroyable non ? Comment expliquer ce résultat ?

    -----

     


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  2. Médiat

    Date d'inscription
    août 2006
    Âge
    67
    Messages
    17 114

    Re : Le poids de l'infini ?

    Bonjour,

    Comment définissez vous l'addition d'une infinité de termes ? A ma connaissance l'addition est une opération binaire, seule les additions de 2 termes sont valides, même si certaines de ses propriétés autorisent certains abus de langage pour l'addition d'un nombre fini de termes (disons entiers pour ne pas s'égarer).
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
     

  3. mach3

    Date d'inscription
    mars 2004
    Localisation
    normandie
    Âge
    35
    Messages
    9 431

    Re : Le poids de l'infini ?

    marronnier...

    voir ici par exemple pour des éléments de réponses : 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 +... = ?

    m@ch3
    Never feed the troll after midnight!
     

  4. Dattier

    Date d'inscription
    août 2017
    Localisation
    EnigmeLand
    Messages
    287

    Re : Le poids de l'infini ?

    Bonjour,

    Tu poses la question que vaut la somme :1-1+1-1+1-1+1...
    Et pour faire ton calcule tu utilises des propriétés vrai pour des additions finis et que tu prolonges pour les addition infinis.

    La question est, peut-on faire cela ?

    Prend par exemple les ensembles finis, pour ces ensembles le tout est strictement plus grand qu'une partie stricte (au sens de l'équipotence).
    Et prend maintenant l'ensemble infini des entiers naturels, {0,1,2,3,...} et bien c'est ensemble peut-être mis en bijection avec une partie strictement plus petite que les entiers naturels à savoir, les entiers naturels privé de 0.
    La bijection est alors la fonction qui à un entier n associe son susceur n+1.
    Ainsi dans le cas des ensembles infinis ont peu avoir le tout aussi grand qu'une partie stricte.

    Bilan : 1/une propriété vrai dans le cas fini, ne peu pas forcément être prolongé dans le cas infini.
    2/Ce qui ne veut pas dire que l'on ne puisse pas trouver une théorie ou le calcul que tu proposes soit possible, mais cette théorie resterait à préciser.

    Cordialement.
    Raisonnement empirique : A est EC si avec 10 exemples et pas de contre-exemples connus
     

  5. Aglid

    Date d'inscription
    septembre 2016
    Messages
    46

    Re : Le poids de l'infini ?

    Citation Envoyé par sunyata Voir le message
    +1-1 = 0
    +1-1+1-1 = 0

    Mais à quoi est égal ?

    +1-1+1-1+.... à l'infini ?

    Posons S = +1-1+1-1+....

    On a alors S= +1-1(+1-1+1-1+...)
    S= +1-S

    Donc 2S= +1

    Donc S = +1/2

    Incroyable non ? Comment expliquer ce résultat ?
    Salut,
    Non...

    S= +1-1 + (1-1+1-1+...)
    S= +1-1+S
    => S = S

    Tu transformes une addition en multiplication en plaçant ainsi ta parenthèse +1-1(+1-1+1-1+...), et tu l'appliques ensuite en faisant -1(S)=-S. Tu désobéis à une règle basique, pas étonnant que tu obtiennes un résultat du genre l'infini = 1/2
     


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  6. mach3

    Date d'inscription
    mars 2004
    Localisation
    normandie
    Âge
    35
    Messages
    9 431

    Re : Le poids de l'infini ?

    Citation Envoyé par Aglid Voir le message
    Salut,
    Non...

    S= +1-1 + (1-1+1-1+...)
    S= +1-1+S
    => S = S

    Tu transformes une addition en multiplication en plaçant ainsi ta parenthèse +1-1(+1-1+1-1+...), et tu l'appliques ensuite en faisant -1(S)=-S. Tu désobéis à une règle basique, pas étonnant que tu obtiennes un résultat du genre l'infini = 1/2
    non non c'est pas ça le problème. Il aurait le droit de le faire si c'était une suite finie.

    m@ch3
    Never feed the troll after midnight!
     

  7. Cotissois31

    Date d'inscription
    décembre 2015
    Messages
    614

    Re : Le poids de l'infini ?

    Comme vous avez identifié, c'est le passage
    "
    On a alors S= +1-1(+1-1+1-1+...)
    S= +1-S
    "
    qui pose problème.


    mais pour n'importe quelle valeur de x

    La convergence est la même mais il n'y a pas égalité.

    La réponse est que S ne converge pas à l'infini. Ce sera alternativement 0 ou 1 ou -1 à chaque itération nouvelle.
    Un moyen de vérifier est d'itérer 10, 11, 12, 100, 101, 102, 1000, 1001, 1002 fois (avec un petit programme informatique). Pas de convergence visible, toujours la même alternance 0/1/-1.
    Dernière modification par Cotissois31 ; 13/01/2018 à 11h38.
     

  8. Cotissois31

    Date d'inscription
    décembre 2015
    Messages
    614

    Re : Le poids de l'infini ?

    Je veux dire 0 ou 1, pas -1.

    Notez que c'est une question type lycée et pas un débat scientifique.
     

  9. Cotissois31

    Date d'inscription
    décembre 2015
    Messages
    614

    Re : Le poids de l'infini ?

    De plus, la convergence vers l'infini n'est pas vraiment une convergence mais c'était pour vulgariser.
     

  10. Aglid

    Date d'inscription
    septembre 2016
    Messages
    46

    Re : Le poids de l'infini ?

    Citation Envoyé par mach3 Voir le message
    non non c'est pas ça le problème. Il aurait le droit de le faire si c'était une suite finie.

    m@ch3
    Je ne comprend pas ton raisonnement, je ne vois pas ce qui peut lui donner le droit de multiplier S par (-1)
     

  11. ansset

    Date d'inscription
    novembre 2009
    Localisation
    Fresnes
    Âge
    57
    Messages
    24 037

    Re : Le poids de l'infini ?

    c'est une factorisation des termes à partir du second, mais appliquée à une suite infinie. !!! et c'est le souci.
    y'a quelque chose qui cloche là dedans, j'y retourne immédiatement !
     

  12. Cotissois31

    Date d'inscription
    décembre 2015
    Messages
    614

    Re : Le poids de l'infini ?

    On a le même problème avec le lien de mach3 :
    "Je pense que le problème vient du fait que A = A + 1 n'est vrai qu'au voisinage de l'infini"

    A n'est jamais égal à A+1. Les deux termes ont la même limite à l'infini, ce n'est pas pareil.
    J'ai toujours appris sur ces exemples à écrire "tend vers" sous chaque terme pour bien dire que je ne fais que comparer les limites et pas que je rentre dans une arithmétique de l'infini qui aboutirait à la catastrophe.
     

  13. Schrodies-cat

    Date d'inscription
    avril 2015
    Messages
    1 156

    Re : Le poids de l'infini ?

    On pourrait aussi bien faire:
    1-1+1-1+1-1+1-1... = (1-1)+(1-1)+(1-1)+(1-1) ... =0+0+0+0+0 ... = 0

    Si on ne se donne pas un cadre rigoureux, on peut parvenir à n'importe quoi.
    Il n'est pire sot que qui ne veut pas comprendre .
     

  14. Aglid

    Date d'inscription
    septembre 2016
    Messages
    46

    Re : Le poids de l'infini ?

    Citation Envoyé par Schrodies-cat Voir le message
    On pourrait aussi bien faire:
    1-1+1-1+1-1+1-1... = (1-1)+(1-1)+(1-1)+(1-1) ... =0+0+0+0+0 ... = 0

    Si on ne se donne pas un cadre rigoureux, on peut parvenir à n'importe quoi.
    Dans le cadre d'une suite infinie de +1-1, il n'y a pas de résultat définitif. Tu peux juste affirmer que si tu t'arrêtes dans la suite à un moment donné, le résultat sera soit 1, soit 0.


    Citation Envoyé par mach3 Voir le message
    non non c'est pas ça le problème. Il aurait le droit de le faire si c'était une suite finie.

    m@ch3
    Je reviens là dessus ^^

    Suite finie de +1-1... = 0
    Donc, dans ce cas, S=0
    Maintenant... +1-1(+1-1+1-1+...)
    => S = 1 - 0
    => S = 1
    Je vois le même problème que pour la suite infinie.
    Alors, au final, il y a peut-être d'autres soucis dans le raisonnement qui mène à S=1/2... mais le coup des parenthèses en est un fameux.
     

  15. ansset

    Date d'inscription
    novembre 2009
    Localisation
    Fresnes
    Âge
    57
    Messages
    24 037

    Re : Le poids de l'infini ?

    Citation Envoyé par Aglid Voir le message
    Je vois le même problème que pour la suite infinie.
    .
    non, dans le cadre d'une suite finie, elle s'arrête à un certain rang N.
    écrire et interpréter une suite fini avec des...... ne fait pas sens.
    y'a quelque chose qui cloche là dedans, j'y retourne immédiatement !
     


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