réfutation du théorème de godel

[kondor]

J'avoue que le titre est un peu racoleur ... mais bon
En fait, j'ai vu une vidéo de Jean yves girard sur les fondement des mathématique :
http://www.canal-u.education.fr/inde..._mathematiques

Et à un moment il nous dis qu'il reçois régulièrement des "démonstration" qui réfutent le théorème de Godel (bien entendu ces demonstrations son fausses et on perçois meme la sympathie (humour bien sur) que JY Giradr a pour ce genre de démonstration) ... ça m'a fait un peu penser aux démonstration de la quadrature du cercle alors que l'on sait que ce n'est pas faisable ...

Bref, à ce propos, JYG lance que celui qui réfute le théorème de Godel "montre" que l'arithmétique n'est pas consistante (on peux démontrer quelquechose et son contraire) OR l'un des "prérequis" du théorème d'incomplètude EST que le système doit etre cohérent pour que le théorème de godel soit vrai !!! .. sur ce, il lance que les gens en essayant de réfuter le théorème de godel ne font que le démontrer ...
C'est une analyse intéressante mais qui demande d'etre un peu formalisé et je voulais savoir si quelqu'un pouvais m'en dire un peu plus là dessus ...


Merci ) et bonne fetes à tous !

[Médiat]

C'est une analyse intéressante mais qui demande d'etre un peu formalisé et je voulais savoir si quelqu'un pouvais m'en dire un peu plus là dessus ...

A partir du faux on peut tout démontrer (cf. la définition de l'implication) ; dans une théorie inconsistante, on peut donc démontrer tous les théorèmes ainsi que leur contraire.

[jreeman]

L'idée est à comprendre dans le sens de l'ironie, il me semble.

Certains en pensant démontrer que le théorème de Gödel est faux, ne font que s'obstiner dans une position indéfendable qui amène à conclure que l'arithmétique n'est pas cohérente.

Autrement dit, cette position relève uniquement de la croyance pure et ne fait qu'apporter des arguments à l'exactitude du théorème de Gödel.

Cependant, le théorème de Gödel est vrai que dans une certaine axiomatique, et rien ne dit qu'il soit faux ou tout du moins plus difficile à démontrer dans une autre axiomatique .

[bardamu]

(...)

Bref, à ce propos, JYG lance que celui qui réfute le théorème de Godel "montre" que l'arithmétique n'est pas consistante (on peux démontrer quelquechose et son contraire) OR l'un des "prérequis" du théorème d'incomplètude EST que le système doit etre cohérent pour que le théorème de godel soit vrai !!! .. sur ce, il lance que les gens en essayant de réfuter le théorème de godel ne font que le démontrer ...
C'est une analyse intéressante mais qui demande d'etre un peu formalisé et je voulais savoir si quelqu'un pouvais m'en dire un peu plus là dessus ...

Merci ) et bonne fetes à tous !

Bonjour,
je pense qu'on peut formaliser les choses ainsi :

proposition C : un système formel est cohérent
proposition D : que ce système soit cohérent est démontrable par le système lui-même

théorème de Gödel :
1) si C alors non-D
ce qui équivaut à :
2) si non-C alors D

Ceux qui démontrent l'inconsistance du système formel ne font que prendre la version 2.

Je dois dire que j'apprécie tout particuièrement le style de J.-Y. Girard et recommande de faire un tour sur sa page d'articles. Ses piques contre l'obsession des Fondements (sans jeu de mot freudien...) sont assez réjouissantes.

[Médiat]

Je dois dire que j'apprécie tout particuièrement le style de J.-Y. Girard et recommande de faire un tour sur sa page d'articles. Ses piques contre l'obsession des Fondements (sans jeu de mot freudien...) sont assez réjouissantes.

Personnellement je trouve ridicule, et sans fondement ses attaques contre les logiques modales (dont je ne suis pourtant pas un zélateur), de l'ironie là où l'on attend des arguments scientifiques, c'est pathétique et sans doute un aveu d'impuissance.
Par exemple :

[FONT=SFRM1000]

[FONT=SFRM1000]On peut légitimement parier que les fabriquants de logiques modales à la chaîne ne croient pas trop à ce qu’il font, sinon ils ne changeraient pas de système tous les quarts d’heure.[/FONT]

[/FONT]
Et j'avoue que son style extrêmement auto-suffisant me dérange considérablement (comparé à la simplicité, la modestie d'un Krivine, par exemple)

[Sephi]

Théorème de Gödel :

Si une théorie T est consistante, alors la phrase de Gödel "Je ne suis pas démontrable" (formulée dans le langage de T) est indémontrable (ce qui implique l'incomplétude de T).

Réfuter ce théorème consiste à démontrer que cette phrase est démontrable, ce qui provoque une contradiction vu le sens même de la phrase. Or, démontrer une contradiction, c'est démontrer que T est inconsistante et, du coup, on sort du cadre du théorème qui suppose justement que T doit être consistante.

Je pense que c'est en ce sens qu'on ne peut pas réfuter le théorème...

[jreeman]

Je pense que c'est en ce sens qu'on ne peut pas réfuter le théorème...

Le seul moyen pour que ce théorème soit faux tout du moins perde grandement de son intérêt, serait qu'aucune théorie ne soit cohérente mais il y a peu de chances que cela soit le cas, je pense.

[Médiat]

Théorème de Gödel :

Si une théorie T est consistante, alors la phrase de Gödel "Je ne suis pas démontrable" (formulée dans le langage de T) est indémontrable (ce qui implique l'incomplétude de T).

Cette formulation est maladroite, pour ne pas dire fausse, puisqu'elle a l'air de dire que toute théorie consistante est incomplète (point que reprend jreeman), or ceci est manifestement faux : la théorie des ordres totaux denses sans extremums est consistante, puisqu'elle a des modèles et complète (elle est même -catégorique).

Il manque "qui contient l'arithmétique", partie pourtant essentielle du théorème de Gödel. La précision "formulée dans le langage de T" revient au même, mais en laisssant le boulot au lecteur, et en créant des confusions, cf. celle de jreeman.

Bon Noël à tous quand même

[Sephi]

Haha mais c'est bien sûr, j'ai oublié l'hypothèse que T contient l'arithmétique !!!

[jreeman]

Oui c'est vrai, j'aurais du préciser contenant l'arithmétique aussi (et ZF aussi je pense).


EDIT : bon noel à tous !

[invite9321657]

(...) Et à un moment il nous dis qu'il reçois régulièrement des "démonstration" qui réfutent le théorème de Godel (bien entendu ces demonstrations son fausses et on perçois meme la sympathie (humour bien sur) que JY Giradr a pour ce genre de démonstration) ... ça m'a fait un peu penser aux démonstration de la quadrature du cercle alors que l'on sait que ce n'est pas faisable ...
(...)

Moi je réfute le théoréme de Goedel tout le temps :
Les propositions indécidable ne décrivent pas la réalité, elle ne font que traduire de l'inexactitude du systéme de proposition, ce qui n'implique pas que tout modéle inclue des propositions indécidables. La phrase "cette phrase est fausse" ne peut appartenir à aucun systéme de proposition décrivant la réalité, car elle n'apporte aucune information sur la réalité, uniquement sur la phrase. Le théoréme de godel n'interesse que ceux qui font mumuse avec les proposition et non ceux qui étudie la réalité.. franchement il y a des années qui se perdent avec des théorémes pareilles et autre effet de manche..
### posts fusionnés###
Je vous ferais remarqué que j'ai émis ces critiques sur l'incomplétude il y a déjà quelques années..
Vous comprenez pourquoi je suis en colère ? vous êtes une bande d'hypocrite qui sait pas pensé.. il vous faut sortir les grands mots et les belles phrases, bien présentez et là la critique passe dans vos cerveau et le doute résonne.. mais quand moi je viens vous expliqué il y a bien longtemps que le systéme de proposition doit décrire la réalité en tant que paralléle symétrique de cette réalité et que les propositions qui traite des liens entre les deux sont forcément paradoxale, il y a au moins 4 ans, et ben personne comprend.. *
Franchement c'est pitoyable.. je vous vois évoluer lentement vers des trucs que j'ai toujours pensé. J'adore "on bascule de proposition qui se veulent vrai à une logique kantienne modeste"..
ça veut dire exactement ce que je dis quand je dis "un repére seul suffit à décrire la réalité absolue"..
Bientôt vous comprendrez la phrase "l'ensemble des points de vue tend vers la réalité" dans toute sa profondeur.. il vous peutêtre des références ? Un CV ? franchement il y en a forcément parmi vous qui se foute de la gueule du monde.
A cause de vous les choses qui touche tout le monde devient un vocabulaire de péteux incompréhensible, une sorte de philosophie élitiste qui se place de part le vocabulaire même hors de la porté de tout le monde.. et dans votre systéme, le mérite lui est soumis à la grande pyramide des "faux dévots" de la vérité qui n'ont en réalité rien d'autre à l'esprit que leur rang sociale..
C'est n'importe quoi.

[jreeman]

Les propositions indécidable ne décrivent pas la réalité

C'est vrai que j'ai du mal à voir le rapport à la réalité dans certains exemples de propositions que l'on donne pour caractériser le coté indécidable de problèmes dans certaines théories.

Par contre, ce qui me parait plus concret, c'est lorsqu'on illustre le théorème en disant que "trouver les solutions de telle équation (notamment diophantiennes) est un problème indécidable".

[Médiat]

C'est vrai que j'ai du mal à voir le rapport à la réalité dans certains exemples de propositions que l'on donne pour caractériser le coté indécidable de problèmes dans certaines théories.

Quel rapport à la réalité les mathématiques entretiennent-elles, et surtout qu'est-ce que les propositions indécidables ont de particulier en ce domaine ?

Pour que mon incompréhension soit compréhensible, je rappelle deux points importants (logique classique du premier ordre) :

1. Une proposition P est indécidable dans une théorie T si et seulement si T U {P} est consistante ainsi que T U {nonP} ; c'est à dire qu'une proposition n'est pas indécidable "en-soi", mais par rapport à une théorie, par exemple P n'est pas indécidable dans la théorie T U {P}. Contrairement aux exemples donnés généralement (Axiome du Choix, Hypothèse du continu, etc.) je préfère citer la commutativité qui est indécidable pour la théorie des groupes.
2. La théorie d'un modèle est complète et ne contient donc aucune proposition indécidable (quand tu parles de réalité, tu parles bien de modèles ou bien me gourre-je ?)

Pour revenir sur le théorème de Gödel (qui n'est toujours pas réfuté ), l'hypothèse "qui contient l'arithmétique" est essentielle, mais il y en une autre presque toujours sous-entendu : théorie du premier ordre ! Il est effectivement facile de remplacer le schéma d'axiomes de récurrence par un axiome de récurrence sur les sous-ensembles pour en faire une théorie complète, mais du second ordre.

[bardamu]

Moi je réfute le théoréme de Goedel tout le temps :
Les propositions indécidable ne décrivent pas la réalité, elle ne font que traduire de l'inexactitude du systéme de proposition, (...)
Je vous ferais remarqué que j'ai émis ces critiques sur l'incomplétude il y a déjà quelques années..
Vous comprenez pourquoi je suis en colère ? vous êtes une bande d'hypocrite qui sait pas pensé.. il vous faut sortir les grands mots et les belles phrases, bien présentez et là la critique passe dans vos cerveau et le doute résonne.. mais quand moi je viens vous expliqué il y a bien longtemps que le systéme de proposition doit décrire la réalité en tant que paralléle symétrique de cette réalité et que les propositions qui traite des liens entre les deux sont forcément paradoxale, il y a au moins 4 ans, et ben personne comprend.. *
(...) "l'ensemble des points de vue tend vers la réalité" dans toute sa profondeur.. il vous peutêtre des références ? (...)

Bonjour,
passons sur tes colères et autres insultes qui n'incitent guère à te laisser t'exprimer...

As-tu bien compris ce qu'était le(s) théorème(s) de Gödel ?
D'une part, c'est un théorème, c'est-à-dire une démonstration logique et pas une opinion, d'autre part, cela ne traite pas du rapport entre réalité et description de la réalité mais de ce qu'on peut attendre d'un système formel en lui-même, indépendamment du sens qu'on veut donner à ses termes.

Quand on ne sait pas si un ordinateur va s'arrêter de calculer pour dire "oui" ou "non", il ne sert à rien de multiplier les ordinateurs pour multiplier les "points de vue" si chacun est incapable de s'arrêter. La position de Girard est donc de commencer par des ordinateurs dont on sait qu'ils diront "oui" ou "non" sur des problèmes locaux, et les laisser développer leur "pensée". Il n'y a alors pas de "paradoxe", le calcul n'est pas fait pour être un double parallèle à une réalité supposée, il tend à être lui-même la seule réalité. On abandonne les "choses en-soi" dont le langage serait chargé de nous donner un reflet vrai pour définir les phénomènes d'après les jeux de langage opérés par les processus logiques.

Désolé si j'emploie des mots techniques : sens immanent par le jeu de processus déterminés (qu'est-ce que ça produit ? qu'est-ce que ça devient ?), plutôt que sens transcendant par l'attribution d'une relation symbole-réalité (qu'est-ce que ça veut dire ? qu'est-ce que c'est ? est-ce ressemblant ?).

Il s'agit de propositions fortes puisque la logique devient auto-génératrice de sens par interaction de processus, avec des gagnants et des perdants, des auto-évaluations. Il ne s'agit pas d'une simple accumulation de "points de vue" selon l'intuition, l'interprétation, la subjectivité arbitraire des uns et des autres mais d'un jeu sélectif qui élimine des processus.

Pour une vue synthétique des enjeux : http://www.umr7023.cnrs.fr/article.php3?id_article=275

Petite parenthèse de modération

La règle sur le forum est assez claire : les références historiques sont les bienvenues parce qu'elles cadrent les débats, évitent les "discussions de comptoir".
Si on n'a pas ces connaissances, il faut faire un effort de cohérence de la pensée et ne pas s'étonner (ou s'indigner, voire injurier...) parce que quelqu'un donne ces références.

Concernant l'"antériorité" de tes idées, si je parle de Kant c'est que ce monsieur a dit de manière assez claire certaines choses que je ne vais pas répéter sans nécessité 2 siècles plus tard. Si tu ne sais pas de quoi on parle, autant demander.
Que "l'ensemble des points de vue tend vers la réalité", cela rappelle assez Leibniz, il y 3-4 siècles ou Nietzsche. Si tu as eu l'idée il y a quelques années, je te recommande de les lire (un cours de G. Deleuze (1986) qui en parle : "Si bien que la théorie du point de vue introduit en philosophie ce qu'il faut bien appeler un perspectivisme. Lorsque Nietzsche, c'est précisément au nom d'un tel perspectivisme, et chez Nietzsche comme chez Leibniz, le perspectivisme ne signifiera pas à chacun sa vérité, mais il signifiera le point de vue comme condition de la manifestation du vrai.").
Quant au rapport du langage et/ou de la connaissance à la réalité, les 2500 ans qui nous séparent de Platon ne rendent pas sa lecture caduque.

Ne pas savoir n'est pas un problème, penser par soi-même non plus, mais avant de juger qu'on t'en veux personnellement, tu devrais peut-être te demander ce qu'il se passe à ta lecture chez quelqu'un qui connaît un peu des 25-30 siècles d'histoire de la pensée.

De la modération, SVP, merci.

[jreeman]

Quel rapport à la réalité les mathématiques entretiennent-elles,

le rapport à la réalité, humm, les mathématiques sont construites par nous des humains et les humains sont des êtres physiques bien réels, les règles de logique que nous établissons sont donc bel et bien le fruit d'une réalité.