mathématiques et réalité

[invite73192618]

C'est un sujet beaucoup moins polémique que la rapport de la physique au réél, ou des mathématiques au réél.

Et... qu'est-ce que tu en penses? Les mathématiques expriment-elles la réalité ou bien est-ce un jeu d'esprit?
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[Sephi]

Les mathématiques expriment-elles la réalité ou bien est-ce un jeu d'esprit?

Y aura pas de réponse unanime ...
Pour moi, c'est un jeu d'esprit qui exprime une réalité dont la structure est similaire à la réalité ... Quant à savoir comment cela est possible, ça je ne le sais pas encore

[matthias]

Et... qu'est-ce que tu en penses? Les mathématiques expriment-elles la réalité ou bien est-ce un jeu d'esprit?

On ne peut pas à mon avis le considérer uniquement comme un jeu de l'esprit, sinon comment expliquer que la modélisation mathématique soit si efficace notamment en physique. Il est aussi difficile de dire que les mathématiques expriment La réalité.

Y aura pas de réponse unanime ...

C'est sûr

Pour moi, c'est un jeu d'esprit qui exprime une réalité dont la structure est similaire à la réalité ... Quant à savoir comment cela est possible, ça je ne le sais pas encore

La notion de structure est intéressante, mais peut-être vaudrait-il mieux parler de logique. Pour que les mathématiques décrivent le réel, il faudrait que le réel soit logique et que les axiomes utilisés soient naturels, non ? Même si les entiers naturels peuvent paraître une des choses les plus naturelles (comptage, numération), cela va-t'il vraiment de soi ? Et dire que le réel est sous-tendu par une logique semblable à celle des mathématiques, c'est loin d'être évident

j'ai pas de réponse, juste des questions ...

[invite73192618]

comment expliquer que la modélisation mathématique soit si efficace notamment en physique.

Je me lance

Idée 1: peut-être que l'univers nous apparait mathématique pour des raisons inhérentes à nos capacités cognitives limitées: on serait simplement incapable de concevoir un univers non structuré/logique.
...mais ça ne me convaint pas beaucoup. En fait pas du tout: on est tout sauf logique! J'en garde une variante: l'univers nous apparait beau car ce qu'on est capable de comprendre est forcément esthétique... à nos yeux bien sur.

Idée 2:

Pour moi, c'est un jeu d'esprit qui exprime une réalité dont la structure est similaire à la réalité ... Quant à savoir comment cela est possible, ça je ne le sais pas encore

Et si les mathématiques pouvaient exprimer l'ensemble des réalités possibles? Dans ce cas, l'adéquation de la réalité à une (des) réalité(s) mathématique(s) (possibles) devient presque triviale!

Petit retour en arrière:

Pour son côté abstrait, j'ai tendance à dire que les maths ont un statut spécial parmi l'ensemble des sciences.

Maintenant, je ne sais pas quel nom lui donner, à ce statut ...

De la philosophie?

[A voir en vidéo sur Futura]

[matthias]

Idée 1: peut-être que l'univers nous apparait mathématique pour des raisons inhérentes à nos capacités cognitives limitées: on serait simplement incapable de concevoir un univers non structuré/logique.
...mais ça ne me convaint pas beaucoup.

Moi non plus
Cet argument n'explique en rien l'apparente "efficacité" des mathématiques. Tout au plus justifierait-t'il éventuellement qu'un pan entier de la réalité échappe complètement et définitivement à l'approche scientifique.

En fait pas du tout: on est tout sauf logique! J'en garde une variante: l'univers nous apparait beau car ce qu'on est capable de comprendre est forcément esthétique... à nos yeux bien sur.

une variante qui n'explique pas grand-chose

Idée 2:
Et si les mathématiques pouvaient exprimer l'ensemble des réalités possibles? Dans ce cas, l'adéquation de la réalité à une (des) réalité(s) mathématique(s) (possibles) devient presque triviale!

presque trivial ...
Je sais que l'on a fait dire beaucoup de choses au théorème d'incomplétude de Gödel, mais il me semble quand même que les mathématique contiennent une limite intrinsèque.
Il existera toujours des propositions mathématiques échappant à la démonstration, et même en intégrant celles-ci dans un système d'axiomes, il y en aura d'autres. Comment dans ce cas les mathématiques pourraient-elles exprimer l'ensemble des réalités possibles ?

[invite73192618]

J'en garde une variante: l'univers nous apparait beau car ce qu'on est capable de comprendre est forcément esthétique... à nos yeux bien sur.

une variante qui n'explique pas grand-chose

Absolument, c'est limité à une explication de notre jugement
En fait c'est le point de vue que je veux défendre (ou disons: indiquer comme possible) auprès des physiciens qui, trouvant le monde beau, utilisent ensuite ce critère dans leur recherche de la "vérité"... d'accord c'est ce qu'a fait Einstein, mais est-ce généralisable ou un coup de pot

Je sais que l'on a fait dire beaucoup de choses au théorème d'incomplétude de Gödel, mais il me semble quand même que les mathématique contiennent une limite intrinsèque.
Il existera toujours des propositions mathématiques échappant à la démonstration, et même en intégrant celles-ci dans un système d'axiomes, il y en aura d'autres. Comment dans ce cas les mathématiques pourraient-elles exprimer l'ensemble des réalités possibles ?

Ce théorème s'applique uniquement à des systèmes d'axiomes fini n'est-ce pas? et il est toujours possible d'agrandir ces systèmes... autrement dit l'incomplétude ne porte pas sur les mathématiques en général, mais uniquement sur tout système mathématique fini . De plus, qui nous dit que la réalité est démontrable à partir d'elle même?

[Rincevent]

En fait c'est le point de vue que je veux défendre (ou disons: indiquer comme possible) auprès des physiciens qui, trouvant le monde beau, utilisent ensuite ce critère dans leur recherche de la "vérité"...

les physiciens (sauf certains qui font un acte de foi énorme) ne recherchent pas "la vérité" mais un modèle le plus simple possible qui permette de rendre compte simultanément d'un max d'observations.

d'accord c'est ce qu'a fait Einstein, mais est-ce généralisable ou un coup de pot ?

je ne suis pas certain de bien voir ce que tu veux dire. La physique (et en fait de manière générale tout scientifique ou quiconque réfléchit sur le monde) cherche à comprendre les principes généraux qui semblent gérer le comportement de l'Univers. Ce n'est pas propre à Einstein. Quiconque suppose que le monde est compréhensible fait un acte de foi très puissant (même s'il semble au moins en parti justifié a priori), et pas seulement les physiciens. Mais cela n'est pas propre à la formulation de ces lois via les maths.

Idée 1: peut-être que l'univers nous apparait mathématique pour des raisons inhérentes à nos capacités cognitives limitées: on serait simplement incapable de concevoir un univers non structuré/logique.

difficile de rendre cet argument compatible avec la prédiction l'antimatière par Dirac. Si le jeu mathématique n'avait d'existence dans nos têtes il serait infiniment moins prédictif. Cela ne veut toutefois pas dire que tout est mathématique dans l'Univers, mais au moins une partie de sa "nature intime" semble l'être.

Idée 2: Et si les mathématiques pouvaient exprimer l'ensemble des réalités possibles? Dans ce cas, l'adéquation de la réalité à une (des) réalité(s) mathématique(s) (possibles) devient presque triviale!

c'est ce que certains pensent en effet.

[matthias]

Ce théorème s'applique uniquement à des systèmes d'axiomes fini n'est-ce pas? et il est toujours possible d'agrandir ces systèmes... autrement dit l'incomplétude ne porte pas sur les mathématiques en général, mais uniquement sur tout système mathématique fini .

Non je ne crois pas, mais je vais me replonger dedans au cas où.

[invite73192618]

les physiciens (sauf certains qui font un acte de foi énorme) ne recherchent pas "la vérité" mais un modèle le plus simple possible qui permette de rendre compte simultanément d'un max d'observations.

J'aurais du préciser: la "vérité" au point de vue platonicien, qui identifie le vrai au beau (criticus tu valides?). C'est dans cette optique que rechercher une explication belle (utiliser des critères esthétiques) correspond à une recherche de la "vérité". Je crois que c'est ce que faisait Einstein, mais j'ai peut-être confondu "simplicité" et "esthétique". Mea culpa si aucun physicien ne correspond à cette description!

Anyway j'aime bien ta formulation de l'objectif scientifique

Quiconque suppose que le monde est compréhensible fait un acte de foi très puissant (même s'il semble au moins en parti justifié a priori), et pas seulement les physiciens. Mais cela n'est pas propre à la formulation de ces lois via les maths.

Est-ce que quelquechose peut être compréhensible sans être mathématisable? Est-ce que quelquechose peut être mathématisable sans être compréhensible?

c'est ce que certains pensent en effet.

Aurais-tu des références sur cette idée?

PS croisement avec matthias: Tant que tu y es, pourrais-tu clarifier ma compréhension de ce théorème? Je l'appréhende par analogie informatique comme disant: tout système d'axiome (sauf cas simple) peut comporter une proposition bouclée sur elle-même. Par exemple:
1) si A=0 alors A=1
2) si A=1 alors A=0
3) A=1
=> A=1 donc A=0 donc A=1 donc A=0 donc A=1 donc A=0 donc A=1.... on s'en lasse pas, et il n'y a pas moyen de sortir de la boucle en étant à l'intérieur du système d'axiome.

Qu'est-ce qui est faux dans ma compréhension?

[Rincevent]

J'aurais du préciser: la "vérité" au point de vue platonicien, qui identifie le vrai au beau (criticus tu valides?). C'est dans cette optique que rechercher une explication belle (utiliser des critères esthétiques) correspond à une recherche de la "vérité".

faut pas oublier cependant que la beauté reste subjective. D'où l'aspect subjectif inhérent à la démarche scientifique lorsque l'on cherche à postuler une théorie. Une citation que j'aime beaucoup

C'est une erreur flagrante que d'assimiler la science à la raison pure et à la logique, comme l'art à l'intuition et à l'émotion. Nulle découverte n'a jamais été faite par déduction logique, aucune oeuvre d'art sans calcul, ni métier; dans l'une comme dans l'autre interviennent les jeux émotifs de l'inconscient.

Je crois que c'est ce que faisait Einstein, mais j'ai peut-être confondu "simplicité" et "esthétique".

je n'ai pas lu l'ouvrage que tu donnes en réf sur Einstein, mais les physiciens que je connais qui l'ont lu me l'ont déconseillé pour tout ce qui touche à la physique (histoire de celle-ci incluse). En clair on m'a dit que pour les aspects politiques ça pouvait être intéressant, mais pour le reste...

pour la "beauté", tu aurais pu citer Dirac plutôt. Il a trouvé l'équation qui porte son nom (équivalent relativiste de l'équation de Schrödinger qui décrit la mécanique quantique non-relativiste) juste sur des critères de symétrie d'équations et donc de "beauté mathématique". Et bingo, ses idées sont partagées par la Nature, ce qui lui a permis de prédire l'existence de l'antimatière... D'ailleurs la notion de symétrie reste très (trop ?) présente dans toute la physique moderne. Cf le modèle standard de la physique des particules. Mais cela semble marcher donc on aurait tort de s'en passer. Bien qu'en même temps, l'histoire nous montre le danger de s'enfermer dans une telle procédure : pour simplifier les modèles et aller au-delà des épicycles pour modéliser le système solaire, il a fallu introduire des courbes moins symétriques que les cercles : les ellipses de Kepler.

Mea culpa si aucun physicien ne correspond à cette description!

je ne pense pas avoir dit qu'aucun ne correspondait...

je dirais plutôt que les physiciens n'y correspondent pas plus que n'importe qui d'autre : on se fait tous notre modèle du monde dans notre tête à un moment ou à un autre car il est difficile d'être 24h/24 en train de remettre en cause nos "postulats" admis après expérience et/ou sur a priori. Simplement certains, physiciens ou pas, finissent par décider que leur modèle est La Vérité. Que ce modèle soit mathématique ou pas.

Est-ce que quelquechose peut être compréhensible sans être mathématisable?

tentative de contre-exemple : peut-on mathématiser toutes les langues humaines ? cela dépend certainement de ce que l'on entend par cela. Mais dans une langue tu as des exceptions et cela me semble déjà un truc pas réellement mathématisable : tu peux faire une liste d'exceptions, mais rarement formuler une règle sur leur raison d'être. Idem si dans la langue tu inclus la prononciation et/ou le sens des mots. Ca évolue, ça dépend de la personne qui l'utilise, de la personne à qui la première personne s'adresse, etc... il y a certes des règles, mais elles sont floues (il existe toutefois une "logique floue" dont je ne sais rien d'autre que son existence et qui touche peut-être à ce genre de choses) et/ou très variables "spatiotemporellement"... et ce sans parler de la graphie : chacun a sa propre écriture et même la topologie des lettres n'est pas toujours respectée (lettre mal refermée, etc)...

Est-ce que quelquechose peut être mathématisable sans être compréhensible?

ça dépend pour qui j'ai déjà vu pas mal de trucs très mathématisés qui m'étaient complètement incompréhensibles

Aurais-tu des références sur cette idée?

suffit de lire Hawking (l'Univers dans une coquille de noix par exemple): c'est un bon exemple de personne qui croît à la possibilité d'avoir compris tout de l'Univers dans un futur situé à une distance temporelle finie. Mais il y a déjà eu autrefois une discussion (dans le forum philo) sur le lien entre les maths et le monde... d'ailleurs, je vais couper ce fil puisqu'il a un peu dévié du sujet initial.

[C.B.]

Ce théorème s'applique uniquement à des systèmes d'axiomes fini n'est-ce pas? et il est toujours possible d'agrandir ces systèmes... autrement dit l'incomplétude ne porte pas sur les mathématiques en général, mais uniquement sur tout système mathématique fini . De plus, qui nous dit que la réalité est démontrable à partir d'elle même?

Le théorème de Gödel ne s'applique pas qu'a des systèmes d'axiomes finis. D'ailleurs, les deux systèmes d'axiomes les plus connus auquels s'applique le théorème de Gödel est la théorie ZF ( théorie des ensembles de Zermelo Fraenkel) et Peano.
Et aucune de ces deux théories n'est finiment axiomatisable (au premier ordre, mais de toute façon, toutes les théories mathématiques ne s'applique qu'au premier ordre, et les autres systèmes logiques comme le second ordre se réduisent en fait au premier ordre).

Pour Péano, on a que toute extension récursive de Péano est incomplète.
Pour le démontrer, on commence par montrer que la vérité est hors de la hiérarchie arithmétique et donc que l'ensemble des formules vraies n'est pas récursif (ni récursivement énumérable).
Peano est récursif, et la théorie en gendrée par une extension récursive de Peano sera récursivement énumérable, donc différent de la théorie de N, donc il existe (si cette extension de Peano est cohérente et satisfaite par N) une formule de la théorie de N qui n'est pas dans notre théorie.

Pour la théorie ZF, c'est encore pire !
Si Th est une théorie cohérente (non contradictoire) qui contient ZF alors Th+non cons(Th) est non contradictoire.

Avec cons(Th) signifiant : Th est consistante, c'est à dire Th a un modèle.
Cela a entre autres pour conséquence, que dans n'importe quelle théorie Th non contradictoire qui contient ZF, il est impossible de démontrer "Th est non contradictoire".

Bref, il existe une limite logique à la puissance des théories mathématiques, celle ci sont incomplète (et la plupart du temps, on ne sais pas démontrer leur cohérence, ou pire, on montre que démontrer leur cohérence à l'intérieure d'elle même a pour conséquence qu'elle est contradictoire).

PS croisement avec matthias: Tant que tu y es, pourrais-tu clarifier ma compréhension de ce théorème? Je l'appréhende par analogie informatique comme disant: tout système d'axiome (sauf cas simple) peut comporter une proposition bouclée sur elle-même. Par exemple:
1) si A=0 alors A=1
2) si A=1 alors A=0
3) A=1
=> A=1 donc A=0 donc A=1 donc A=0 donc A=1 donc A=0 donc A=1.... on s'en lasse pas, et il n'y a pas moyen de sortir de la boucle en étant à l'intérieur du système d'axiome.

Qu'est-ce qui est faux dans ma compréhension?

On ne peut pas avoir 1) et 2) car cela voudrait dire que l'on peut trouver une formule A équivalente à non A.
Par contre, ce que l'on peut trouver, c'est une formule F qui veut dire "je ne suis pas démontrable dans T". Ce qui fait que si la théorie T est non contradictoire alors F n'est pas démontrable (car sinon, elle serait démontrable donc vraie donc non démontrable). Mais alors, F est vraie.

Le point crucial est que l'on puisse parler de la démontrabilité par la théorie dans la théorie elle même.

tentative de contre-exemple : peut-on mathématiser toutes les langues humaines ? cela dépend certainement de ce que l'on entend par cela. Mais dans une langue tu as des exceptions et cela me semble déjà un truc pas réellement mathématisable : tu peux faire une liste d'exceptions, mais rarement formuler une règle sur leur raison d'être. Idem si dans la langue tu inclus la prononciation et/ou le sens des mots. Ca évolue, ça dépend de la personne qui l'utilise, de la personne à qui la première personne s'adresse, etc... il y a certes des règles, mais elles sont floues (il existe toutefois une "logique floue" dont je ne sais rien d'autre que son existence et qui touche peut-être à ce genre de choses) et/ou très variables "spatiotemporellement"... et ce sans parler de la graphie : chacun a sa propre écriture et même la topologie des lettres n'est pas toujours respectée (lettre mal refermée, etc)...

Mais là, le seul obstacle que l'on trouve est le nombre très important de paramètre.
Il parait évident que cela ne soit pas mathématisable de manière simple. Mais de manière plus complexe ?

Et... qu'est-ce que tu en penses? Les mathématiques expriment-elles la réalité ou bien est-ce un jeu d'esprit?

J'aurais tendance à dire que les mathématiques se préocuppent essentiellement des relations entre objets abstraits.
Et que finalement, les mathématiques c'est utiliser au maximum le raisonnement pur.
Pourquoi ça s'applique bien ? Je pense tout simplement que ce qui permet les applications est le pouvoir déductif des mathématiques.

Il y a aussi toute la partie "mathématiques appliquées" qui elles se concentrent sur la modélisations de phénomènes physiques (et le but est clairement de pouvoir appliquer toutes les méthodes déjà découvertes) et la résolution de problèmes particuliers (en appliquant ce qu'on a déjà trouvé ou en cherchant ce dont on a besoin)

[matthias]

PS croisement avec matthias: Tant que tu y es, pourrais-tu clarifier ma compréhension de ce théorème? Je l'appréhende par analogie informatique comme disant: tout système d'axiome (sauf cas simple) peut comporter une proposition bouclée sur elle-même. Par exemple:
1) si A=0 alors A=1
2) si A=1 alors A=0
3) A=1
=> A=1 donc A=0 donc A=1 donc A=0 donc A=1 donc A=0 donc A=1.... on s'en lasse pas, et il n'y a pas moyen de sortir de la boucle en étant à l'intérieur du système d'axiome.

Qu'est-ce qui est faux dans ma compréhension?

Au sens mathématique ton système d'axiomes n'est pas consistant, sauf à considérer que 0 = 1 (consistant = les axiomes n'induisent pas de contradiction). Et si j'interprète autrement ce que tu dis en termes de proposition bouclée, ça pourrait se traduire par : un axiome peut se déduire à partir des autres, auquel cas cet axiome deviendrait un théorème.
Ce que dit (grosso modo) le théorème de Gödel c'est que tout système d'axiomes contenant l'arithmétique n'est pas complet, à savoir qu'on peut exprimer des propositions arithmétiques non démontrables dans ce systéme, et notamment, on ne peut pas démontrer que l'arithmétique est consistante en utilisant l'arithmétique.

Si je cite Kurt Gödel, ça donne : "On peut démontrer rigoureusement que dans tout système formel consistant contenant une théorie des nombres finitaire relativement développée, il existe des propositions arithmétiques indécidables et que, de plus, la consistance d'un tel système ne saurait être démontrée à l'intérieur de ce système."

[matthias]

Mais là, le seul obstacle que l'on trouve est le nombre très important de paramètre.
Il parait évident que cela ne soit pas mathématisable de manière simple. Mais de manière plus complexe ?

ça dépend de ce qu'on entend par mathématiser une langue. Si c'est juste de pouvoir dire : tel mot ou telle phrase est bien du français, c'est facile.
Si on considère qu'on peut dire ce qu'on veut en N signes (si on fixe N suffisament grand c'est acceptable), alors on a un nombre fini de mots, phrases ... Il suffit alors de dire pour chaque combinaison : ça c'est français, ou ça ça ne l'est pas.
Ca n'apporte aucune compréhension, mais c'est théoriquement possible.
D'ailleurs on peut faire la même chose avec les idées. Si on considère que toute idée concevable dans une langue l'est en un nombre fini de mots, alors il ya un nombre fini d'idées concevables dans une langue.

J'aurais tendance à dire que les mathématiques se préocuppent essentiellement des relations entre objets abstraits.
Et que finalement, les mathématiques c'est utiliser au maximum le raisonnement pur.
Pourquoi ça s'applique bien ? Je pense tout simplement que ce qui permet les applications est le pouvoir déductif des mathématiques.

C'est justement là la vraie question à mon avis. Le pouvoir déductif des mathématiques est extrèmement formalisé (règles d'inférences à partir des axiomes ...) Comment se fait-il que le monde soit logique ? L'est-il réellement ?

[Rincevent]

D'ailleurs on peut faire la même chose avec les idées. Si on considère que toute idée concevable dans une langue l'est en un nombre fini de mots, alors il ya un nombre fini d'idées concevables dans une langue.

je dirais plutôt qu'une idée ne se conçoit pas dans une langue, mais qu'elle cherche à s'exprimer dans une langue, ce qui est très différent... d'où ma remarque sur la mathématisation des langues : elles-mêmes ne sont qu'un reflet imparfait des idées qu'elles expriment et lorsqu'on écoute une phrase, on ne s'arrête pas aux mots et à la grammaire qui sont sûrement mathématisables effectivement. Bien que je pense que cela ne doit être vrai que de manière théorique : je ne suis pas certain que l'on ait tous les mêmes définitions pour les nuances entre certains mots...

[matthias]

Oui, bien sûr. Je suis parfaitement d'accord. Et plus le vocabulaire se réduit plus ça devient vrai d'ailleurs.
C'était juste pour le fun.
L'argument de la bibliothèque universelle, où l'on aurait toutes les idées répertoriées est une absurdité. Mais c'est drôle.

[invitee8b3f97e]

Salut !

Et si on considérait plutot que l'Univers fonctionne d'une certaine manière, et que les mathématiques cherchent à coller au maximum avec cette manière ?

Pour moi c'est la connexion entre l'esprit et le réel. De la même manière que le langage est la connexion entre l'idée et l'expression. Les math TENDENT a exprimer la réalite pour la rendre accessible à l'esprit.

Par exemple j'aime beaucoup la description de l'orbite d'un électron autour d'un noyau atomique : comme il est impossible d'observer l'électron sans changer sa trajectoire, on prédit celle ci de manière statistique. Les math disent donc : "l'électron est quelque part par ici à cet instant précis". C'est une pure construction de l'esprit. Mais comme il n'y a pas moyen d'en savoir plus, c'est aussi la réalité.

[matthias]

Et si on considérait plutot que l'Univers fonctionne d'une certaine manière, et que les mathématiques cherchent à coller au maximum avec cette manière ?

Pour moi c'est la connexion entre l'esprit et le réel. De la même manière que le langage est la connexion entre l'idée et l'expression. Les math TENDENT a exprimer la réalite pour la rendre accessible à l'esprit.

On pourrait considérer que si l'univers était différent, les mathématiques le seraient aussi, pourquoi pas. Pour moi ça n'explique pas leur efficacité.

Par exemple j'aime beaucoup la description de l'orbite d'un électron autour d'un noyau atomique : comme il est impossible d'observer l'électron sans changer sa trajectoire, on prédit celle ci de manière statistique. Les math disent donc : "l'électron est quelque part par ici à cet instant précis". C'est une pure construction de l'esprit. Mais comme il n'y a pas moyen d'en savoir plus, c'est aussi la réalité.

Je ne suis pas physicien, et je ne veux pas entrer dans un débat sur la mécanique quantique, mais il me semble que dans les conceptions actuelles, l'électron n'est justement pas à un endoit précis. Ca n'est pas juste une impossibilité de le prédire.

[invitef93486bf]

Je m'insere dans la discussion juste pour une petite remarque.

Et si on considérait plutot que l'Univers fonctionne d'une certaine manière, et que les mathématiques cherchent à coller au maximum avec cette manière ?

Ce qui est étonnant avec les maths c'est que bien que ne procédant pas de manière empirique elles arrivent a "coller" au réel. Elles n'ont pas besoin de chercher à coller, elles collent toute seules .

Dr. Dn

[matthias]

Je m'insere dans la discussion juste pour une petite remarque. Ce qui est étonnant avec les maths c'est que bien que ne procédant pas de manière empirique elles arrivent a "coller" au réel. Elles n'ont pas besoin de chercher à coller, elles collent toute seules .

On peut considérer le choix des axiomes comme une forme d'empirisme, voire même les règles de logique ...

[invite73192618]

Ouah ça bouge! Petit rattrapage partiel :

=== Gödel

On ne peut pas avoir 1) et 2) car cela voudrait dire que l'on peut trouver une formule A équivalente à non A. // Au sens mathématique ton système d'axiomes n'est pas consistant, sauf à considérer que 0 = 1

ok donc je confonds incomplétude et inconsistance. Chic je me suis couché un peu moins idiot hier

=== math & langues

tentative de contre-exemple : peut-on mathématiser toutes les langues humaines ? Mais là, le seul obstacle que l'on trouve est le nombre très important de paramètre.
// Il parait évident que cela ne soit pas mathématisable de manière simple. Mais de manière plus complexe ?

Je crois que c'est surtout un problème de formalisme (pas de complexité ou de nombre de paramètres, mais de la façon d'aborder le problème). Je suis assez septique sur le recours à la logique flou, par contre l'approche par modélisation de calcul distribué/parallèle semble plus adaptée. Plusieurs "traits" propres aux systèmes neurologiques sont mimés de cette façon là, comme les courbes d'apprentissage et de résistance à la destruction de réseaux de neurone. Une variante très intéressante de cette approche est d'ailleurs présenté dans une carte blanche récente sur futura.

elles-mêmes [les langues NDG] ne sont qu'un reflet imparfait des idées qu'elles expriment

D'une certaine manière, le contraire se défend: c'est en exprimant les idées dans une langue (formalisme) que celles-ci aquièrent un consistance permmettant de travailler dessus. Autrement dit, les langues ne servent probablement pas simplement à transmettre les idées, mais aussi à les créer!

=== divers

il y a déjà eu autrefois une discussion (dans le forum philo) sur le lien entre les maths et le monde...

C'est là.

je n'ai pas lu l'ouvrage que tu donnes en réf sur Einstein, mais les physiciens que je connais qui l'ont lu me l'ont déconseillé pour tout ce qui touche à la physique (histoire de celle-ci incluse). En clair on m'a dit que pour les aspects politiques ça pouvait être intéressant, mais pour le reste...

Il est pourtant super ce bouquin... mais je comprends la réaction de tes collègues, car il est pas du tout orienté vers la compréhension du contenu des théories... à lire pour tout le reste!

Merci pour la réf "Arthur Koestler (Le cri d'Archimède)"

[Tandan]

Les mathétiques étaient traduction de la realité, l'Homme n'arrivait pas à expliquer tout avec elles, il s'étaitt dit qu'elle n'était pas bonne et la modifié. Actuellement elles ne sont que simple jeu d'esprit entrainant les physiciens à abandonner les phenomène et se consacrer aux équations. L'univers est de moins en moins compris.

[matthias]

Les mathétiques étaient traduction de la realité, l'Homme n'arrivait pas à expliquer tout avec elles, il s'étaitt dit qu'elle n'était pas bonne et la modifié. Actuellement elles ne sont que simple jeu d'esprit entrainant les physiciens à abandonner les phenomène et se consacrer aux équations. L'univers est de moins en moins compris.

Une petite relecture ne fait pas de mal de temps en temps avant de poster. zaime bien les mathétiques moi
J'ai aussi parfois la désagréable impression que certains physiciens n'envisagent les mathématiques que comme un outil pour la physique (et qu'en plus ils leur repprochent le manque de compréhension qui en résulterait ...).
La physique n'est pas le seul champ d'application des mathématiques, et je n'oserais même pas les qualifier de simple jeu d'esprit, n'auraient-elles aucun champ d'application pratique (là je sens que ça va hurler dans les chaumières )

[bardamu]

On pourrait considérer que si l'univers était différent, les mathématiques le seraient aussi, pourquoi pas. Pour moi ça n'explique pas leur efficacité.

Salut,
si on part du principe que les mathématiques sont le résultat de l'activité d'un système physique, à savoir notre cerveau, il semble assez normal que cette activité ait quelque relation à la réalité physique.
D'autre part, notre cerveau étant le produit d'une évolution naturelle assez radicale (mauvaise idée = mort), on peut comprendre que son activité ne soit pas trop en décalage avec le physique.

Si on considère les math comme un langage, de même que nul ne s'étonne que les mots "une pomme tombe" aient une relation au réel, il n'y a peut-être pas à s'étonner que ait quelque chose à voir avec la gravitation.

[Photon]

Posté par matthias
On pourrait considérer que si l'univers était différent, les mathématiques le seraient aussi, pourquoi pas. Pour moi ça n'explique pas leur efficacité.

"Mais pourquoi existe-t-il seulement de bons choix de modèle mathématique ? C’est à dire, pourquoi y a-t-il un formalisme mathématique, par exemple pour la physique quantique, si productif qu’il prédit réellement la découverte de nouvelles particules observables ?

Pour "répondre" à cette question on observera qu’elle peut, aussi bien, fonctionner comme une sorte de définition. Pour beaucoup de système phénoménaux, de tels formalismes prédictifs exacts n’ont pas été trouvés, et aucun ne semble plausible. Les poètes aiment marmonner sur le cœur des hommes, mais on peut trouver des exemples plus ordinaires : le climat, où le comportement d’une économie supérieure à celle d’un village, par exemple - systèmes si chaotiquement interdépendants que la prédiction exacte est effectivement impossible (pas seulement dans les faits mais en principe).

Il y a beaucoup de choses pour lesquelles la modélisation mathématique conduit au mieux à des résultats statistiques confus et contingents et, pour le moins, ne prédit jamais avec succès de "nouvelles entités". Ainsi la réponse correcte à cette question "Pourquoi les mathématiques sont-elles si merveilleusement applicables à ma science ?" est-elle simplement "Parce que c’est la sorte de science que vous avez choisi d’étudier!" ?"

http://www.sciences.ch/htmlfr/arithm...stration01.php

[invite143758ee]

pour répondre, au sujet initial, j'aimerais citer encore et toujours:
"la nature de la physique " de feynman, au chapitre "mathématiques et physique",pour ceux qui ne connaissent pas l'idée était, je crois:
en physique, on connait les propositions nécessaires, et on cherche les axiomes.
En maths, on pose les axiomes, et on en déduit les propositions nécessaires.

Ce qui est à nuancer, puisque même si on inverse les mots "maths", et "physiques", dans ces phrases, ceci resterait vrai à mon sens.

aussi, si de nos jours on garde, les noms de physique appliquée, ou qu'on dise encore de la physique que c'est des maths appliquée, et qu'en fait les maths appliquées ne sont de la physique appliquée, alors, on voit très bien que ces dénominations ne sont là que pour essayer de cloisonner l'incloisonnable.

et pour essayer de minimiser "l'incroyable éfficacité des maths en physique", je voudrais quand même dire qu'on fait de la physique et des maths depuis au moins 2000 ans...est-ce vraiment si efficace comme relation ?
je suis encore plus impressionné de l'efficacité de l'informatique en science, c'est une nouvelle ère qui a commencé.

[martini_bird]

Bonjour,

simplement une illustration du fait qu'il n'y a pas de cloisons entre les mathématiques et la physique, bien que les méthodes et les objectifs ne soient pas toujours les mêmes: je vous invite entre autres à visionner la conférence de Serge Lang sur le noyau de la chaleur, un concept essentiellement issu de la physique qui ouvre de nouvelles voies en théorie analytique des nombres (i.e en maths "pures").

Personnellement, je pense que les mathématiques sont plus qu'un jeu d'esprit: elles traduisent une réalité abstraite. Et la physique de conceptualiser la réalité matérielle à l'aide des mathématiques.

Cordialement.

[matthias]

Personnellement, je pense que les mathématiques sont plus qu'un jeu d'esprit: elles traduisent une réalité abstraite. Et la physique de conceptualiser la réalité matérielle à l'aide des mathématiques.

Je suis du même avis, mais je pense que certains vont hurler en lisant "réalité abstraite"

[invite73192618]

Je suis du même avis, mais je pense que certains vont hurler en lisant "réalité abstraite"

..ou du moins poser la question, c'est quoi une réalité abstraite? Qu'est-ce qui la sépare d'un jeu d'esprit? C'est peut-être le coté ludique qui vous gène.. reformulons: qu'est-ce qui, selon vous, sépare une réalité abstraite d'une production purement intellectuelle?

[Sephi]

Les mathétiques étaient traduction de la realité, l'Homme n'arrivait pas à expliquer tout avec elles, il s'étaitt dit qu'elle n'était pas bonne et la modifié. Actuellement elles ne sont que simple jeu d'esprit entrainant les physiciens à abandonner les phenomène et se consacrer aux équations. L'univers est de moins en moins compris.

Comprends-tu toutes les équations mathématiques utilisées en physique pour pouvoir dire que les physiciens ont abandonné les phénomènes associés à ces équations ? Ce n'est pas parce qu'un texte possède une forme incompréhensible (le formalisme mathématique) que son fond en devient futile. Un peu de jugeotte, que diable.

[Sephi]

La différence entre une réalité abstraite et un jeu d'esprit, c'est que dans la réalité abstraite, nous ne sommes pas totalement libres d'y faire tout ce que l'on veut, tandis que dans un jeu d'esprit, la liberté est totale.

En d'autres termes, la réalité abstraite donne un statut "objectif" aux maths, tandis que le jeu d'esprit lui donne un statut "subjectif".

On ne peut pas déduire n'importe quoi de n'importe quels théorèmes. L'ensemble est lié par la cohérence, et même un peu au-delà. L'homme n'invente pas vraiment les notions mathématiques qu'il utilise, elles sont tellement cohérentes avec les autres notions, de manière parfois "magique", qu'on se dit qu'elles font partie d'une réalité indépendante de l'homme. Ce dernier ne fait que les découvrir. C'est la réalité abstraite des maths.

Dans le cas du jeu d'esprit, c'est l'homme qui se fixe les règles, et il s'amuse alors voir ce qu'il peut faire avec, comme les différents mouvements d'un jeu d'échec. Or un jeu d'échec, bien que régi par certaines règles de jeu, n'en reste pas une création subjective, c'est un jeu, dont les règles sont choisies arbitrairement. Par contre, ne semble pas exister arbitrairement.