La vraie vérité est-elle géométrique ?

[Médiat]

L'ensemble des bêtises potentielles à venir suites à ton post te poursuivront jusqu'au 7ième cercle de l'enfer

Où je retrouverai avec une joie immense Arrabal qui est mon maître en matière de confusion et de panique
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[invite6754323456711]

Supposons une théorie qui fonde et englobe les mathématiques, si tant est qu'elle puisse exister. Elle permettrait alors de justifier la production d'énoncés vrai pour l'ensemble des mathématiques.
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Le flou dans le vocabulaire laisse l'impression que tu es entrain de vouloir refaire le parcours depuis Hilbert (son programme de fondations des mathématiques) ?
A moins que tu ne démarre de l'Organon ?

Patrick

[inviteb7c3f9f9]

Le flou dans le vocabulaire laisse l'impression que tu es entrain de vouloir refaire le parcours depuis Hilbert (son programme de fondations des mathématiques) ?
A moins que tu ne démarre de l'Organon ?

Patrick

Je me débats pour identifier les conséquences et/ou la possibilité d'un énoncé vrai pour une théorie fondant globalement les mathématiques.

JM

[invite6754323456711]

Je me débats pour identifier les conséquences et/ou la possibilité d'un énoncé vrai pour une théorie fondant globalement les mathématiques.

JM

Vaste programme.

J'ai cru comprendre qu'une des difficultés portée sur la notion de "vérité".

La définition que donne David Hilbert (1862-1943) dans une correspondance avec Gottlob Frege (1848-1925) au début de l’année 1900 :
Si des axiomes arbitrairement posés ne se contredisent pas l’un l’autre ou bien avec une de ses conséquences, ils sont vrais [comme cohérence] et les choses ainsi définies existent [dans la pensée]. Voilà pour moi le critère de la vérité [-cohérence] et de l’existence.

Pour Gödel (du moins ce que j'en ai lu ) l'erreur de Hilbert est la croyance en la coextension des concepts de vérité et de démontrabilité. D'ou l'importance, me semble t-il, de la distinction entre syntaxe et sémantique.

Maintenant selon Démocrite, « En vérité, nous ne savons rien, car la vérité demeure au fond du puits. »

Patrick

[inviteb7c3f9f9]

Vaste programme.

J'ai cru comprendre qu'une des difficultés portée sur la notion de "vérité".



Pour Gödel (du moins ce que j'en ai lu ) l'erreur de Hilbert est la croyance en la coextension des concepts de vérité et de démontrabilité. D'ou l'importance, me semble t-il, de la distinction entre syntaxe et sémantique.

Maintenant selon Démocrite, « En vérité, nous ne savons rien, car la vérité demeure au fond du puits. »

Patrick

Les principales définitions de la vérité restent toujours associées à une certaine pertinence du jugement quant à un objet.

PHILOSOPHIE
− Connaissance reconnue comme juste, comme conforme à son objet et possédant à ce titre une valeur absolue, ultime.

Je me demande alors quel est l'objet des mathématiques s'il en est ?
S'il est son propre objet, peut on se libérer d'une définition limitée à la cohérence?
Auquel cas, le théorème de Gödel aurait de facheuses conséquences!
JM

[invite6754323456711]

Les principales définitions de la vérité restent toujours associées à une certaine pertinence du jugement quant à un objet.

il me semble que les Logiciens parlent de modèle. P est vraie dans un modèle M (Un univers donnée : domaine + interprétation) signifiant que le modèle M déclare P comme vraie.

Maintenant peut-on toujours dire que ce qui est démontrable est vrai (au sens de modèle) et réciproquement ce qui est vrai est démontrable ?

Je me demande alors quel est l'objet des mathématiques s'il en est ?
S'il est son propre objet, peut on se libérer d'une définition limitée à la cohérence?
Auquel cas, le théorème de Gödel aurait de facheuses conséquences!
JM

Cela dépasse mes connaissances dans le domaine.


Patrick

[philname]

Sinon quelqu'un pourrait m'expliquer l'axiome de la continuité en géométrie ?

[Médiat]

Sinon quelqu'un pourrait m'expliquer l'axiome de la continuité en géométrie ?

Si on divise une droite en deux classes telles que tous les points de l'une sont "inférieurs" (ou "à gauche", bref une relation d'ordre) à tous ceux de l'autre, alors il existe un point de cette droite qui "matérialise" (je laisse au lecteur le soin de définir formellement de dernier mot (c'est simple et sans piège)) cette coupure.

[invite6754323456711]

Maintenant peut-on toujours dire que ce qui est démontrable est vrai (1) et réciproquement ce qui est vrai est démontrable (2)?

Cela est évidemment flou car c'est justement sur ce point qui me semble important d'insister. La précision des termes employés est indispensable pour aborder un tel sujet.

1/ le faux implique tout (si d'un ensemble d'hypothèses je déduis le faux (ou l'absurde) alors de ce même ensemble je peux déduire n'importe quoi).

2/ je suis indémontrable dans ...


Patrick

[inviteb7c3f9f9]

Cela est évidemment flou car c'est justement sur ce point qui me semble important d'insister. La précision des termes employés est indispensable pour aborder un tel sujet.

1/ le faux implique tout (si d'un ensemble d'hypothèses je déduis le faux (ou l'absurde) alors de ce même ensemble je peux déduire n'importe quoi).

2/ je suis indémontrable dans ...


Patrick

Mathématiques
Ensemble des disciplines qui procèdent selon la méthode déductive et qui étudient les propriétés des êtres abstraits comme les nombres, les figures géométriques ainsi que les relations qui existent entre eux.

En raison de ce caractère abstrait, je me demande s'il est possible de définir un objet mathématique sans que celui ci soit construit exclusivement par convention.

Quel serait alors le sens (et l'intérêt) d'utiliser la notion de vérité dans le cadre de structures purement conventionelles.
Qu'ajoute l'usage de la notion de vérité par rapport à l'usage de notions de cohérence, d'harmonie, d'accord dans la mesure où il n'y a pas d'objet concret qui fasse référence ?

Déduction (logique). ,,Type de raisonnement qui conduit de une ou plusieurs propositions dites prémisses, à une conclusion « nécessaire », c'est-à-dire inévitable si l'on accepte la règle du jeu`` (Legrand 1972).

L'usage de la méthode déductive nous conduit finalement beaucoup plus dans le registre du nécessaire. Une proposition démontrée serait alors une proposition nécessaire au regard des axiomes.

JM

[invite6754323456711]

En raison de ce caractère abstrait, je me demande s'il est possible de définir un objet mathématique sans que celui ci soit construit exclusivement par convention.

L'intuition avant de le formaliser non ?

Quel serait alors le sens (et l'intérêt) d'utiliser la notion de vérité dans le cadre de structures purement conventionelles.
Qu'ajoute l'usage de la notion de vérité par rapport à l'usage de notions de cohérence, d'harmonie, d'accord dans la mesure où il n'y a pas d'objet concret qui fasse référence ?

Tu veux revenir à la définition d'Aristote ?

"Il dit la vérité celui qui croit conjoint dans le discours ce qui est conjoint dans le monde"

Pour Aristote, la vérité exige deux « conjonctions », l’une dans le langage et l’autre dans le monde. Une conjonction présuppose deux « choses ». Dans le langage il s’agit de deux termes ou deux mots. Dans le monde ou le Réel, il s’agit de deux êtres (des « étants »).

L'usage de la méthode déductive nous conduit finalement beaucoup plus dans le registre du nécessaire. Une proposition démontrée serait alors une proposition nécessaire au regard des axiomes.

JM

Plutôt que convention, je j'utiliserais le terme d'hypothèses sémantiques. une fois qu’une axiomatique est posée vraie à titre d’hypothèse sémantiques, les conséquences logiques ou théorèmes peuvent être obtenus peu à peu par déduction. Le processus peut être interrompu, si une contradiction est rencontrée entre le théorème courant et un axiome ou un théorème antérieur.

De Plus :

Pour être sûr de la cohérence d’une axiomatique, il faut pouvoir être certain que tous les théorèmes possibles ont été déduits ce qui définit la complétude de l’univers du discours.

Hilbert a cru pouvoir arriver à cet objectif jusqu’à ce que Kurt Gödel (1906-1978) montre qu’il y a une antinomie (une contradiction) entre cohérence interne d’un discours et sa complétude.

Maintenant cela n'empêche pas les mathématiques d'être très utile dans un bon nombre de domaine.

Patrick