Axiome de l'ensemble des parties

[invite7863222222222]

Bonjour,

peut-on vraiment dire que pour la logique classique, la théorie des ensembles de Zermelo Frankel qui accepte l'axiome de l'ensemble des parties (+ l'axiome de compréhension) est plus "puissante" que celles qui ne l'acceptent pas, comme par exemple la théorie des ensembles de Kripke-Platek (que je ne connais pas) mais ajoute des éléments primitifs (les entiers) ?

J'ai vu aussi que la logique du second ordre, n'a pas d'équivalent de l'axiome de l'ensemble des parties. Mais que veut dire exactement cette dernière phrase ? : l'axiome relève de la théorie pas de la logique.
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[Médiat]

peut-on vraiment dire que pour la logique classique, la théorie des ensembles de Zermelo Frankel qui accepte l'axiome de l'ensemble des parties (+ l'axiome de compréhension) est plus "puissante" que celles qui ne l'acceptent pas, comme par exemple la théorie des ensembles de Kripke-Platek (que je ne connais pas) mais ajoute des éléments primitifs (les entiers) ?

Oui dans le sens où l'on peu construire beaucoup plus d'ensembles avec l'axiome des parties que sans (mais beaucoup d'ensembles dont personnes n'a jamais eu besoin, comme l'ensemble des parties itérés 5 fois (ce qui n'est pas beaucoup)).

J'ai vu aussi que la logique du second ordre, n'a pas d'équivalent de l'axiome de l'ensemble des parties.

Inutile puisque les sous-ensembles font partie du langage (cela ne permet pas de faire tout ce que peut ZFC, mais c'est suffisant pour une grande partie des mathématiques).

Mais que veut dire exactement cette dernière phrase ? : l'axiome relève de la théorie pas de la logique.

Je supose que l'auteur veut dire que le mot axiome est réservé à la définition des théories, et qu'il utilise un autre mot pour les "axiomes" de la logique (que l'on peut effectivement présenter autrement, par des séquents par exemple). Il faudrait que tu nous cites la phrase complète.

[invite7863222222222]

Ok merci, la phrase était de l'article de wikipédia : http://fr.wikipedia.org/wiki/Axiome_...le_des_parties. Où j'ai compris, qu'il donnait l'exemple de la logique du second ordre pour illustrer le fait que l'axiome de l'ensemble des parties n'était pas forcément toujours utile en mathématique.

En fait, je me pose ces questions par rapport le livre de Raymond M. Smullyan "ca y est je suis fou !" dans lequel il décrit bien la dynamique de la refondation des mathématiques qui a aboutit au système de Zermelo Frankel.

L'auteur se dit réaliste platonicien et pas formaliste, et pense qu'un jour, on pourra par exemple dire si l'hypoothèse du continu est exacte ou pas (d'ailleurs d'après lui Gôdel était aussi platonicien et qui avait prédit qu'on démontrerait qu'un jour qu'elle est fausse). Mais de toute façon, je n'ai pas vraiment d'avis arrété sur la question formaliste/platonicien.

[Médiat]

Mais de toute façon, je n'ai pas vraiment d'avis arrété sur la question formaliste/platonicien.

Mon sentiment sur la question est qu'il s'agit d'un point de vue purement philosophique (et non religieux comme certains le disent), et qui risque de rester sans preuve pendant encore un bout de temps.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Matmat]

L'auteur se dit réaliste platonicien et pas formaliste, et pense qu'un jour, on pourra par exemple dire si l'hypoothèse du continu est exacte ou pas (d'ailleurs d'après lui Gôdel était aussi platonicien et qui avait prédit qu'on démontrerait qu'un jour qu'elle est fausse). Mais de toute façon, je n'ai pas vraiment d'avis arrété sur la question formaliste/platonicien.

Godel n'a pas dit cela , il a dit que l'hypothèse du continu était soit vraie soit fausse ( et il "intuitait" qu'elle était fausse ) indépendemment de ce que l'on peut en savoir par démonstration : c'est d'ailleurs très platonicien comme point de vue je trouve.

cordialement

[invite7863222222222]

Godel n'a pas dit cela , il a dit que l'hypothèse du continu était soit vraie soit fausse ( et il "intuitait" qu'elle était fausse ) indépendemment de ce que l'on peut en savoir par démonstration : c'est d'ailleurs très platonicien comme point de vue je trouve.

cordialement

Oui ca c'est globalement la position du platonicien.

Et d'après Smullyan, Godel aurait explicitement dit que ce dont nous avons besoin serait de trouver de nouveaux axiomes pour la théorie des ensembles qui puissent être immédiatement reconnus comme vrais (comme ceux que nous avons actuellement) et qui seraient assez fort pour établir la véracité ou la fausseté de l'hypothèse du continu.

Mais pour moi, ce qu'a dit Gödel, c'est une position "à la limite" pour pouvoir être considéré comme platonicien.

[Médiat]

trouver de nouveaux axiomes pour la théorie des ensembles qui puissent être immédiatement reconnus comme vrais

Ca c'est typiquement une position platonicienne

[invite7863222222222]

Ca c'est typiquement une position platonicienne

En fait, je pense qu'il y a pas un mais deux systèmes d'axiomes qu'on pourra immédiatement reconnaitre comme vrais dans le sens où ils correspondent à quelque chose qui est dans notre pensée et qui pourraient nous paraître évident une fois qu'ils seront exprimés.

Cà, c'est une position formaliste ou platonicienne ?

[Médiat]

on pourra immédiatement reconnaitre comme vrais

Cette formulation est platonicienne

[invite7863222222222]

Je précise que je ne tiens pas spécialement au mot "vrais" et je mets "intuitifs" à la place, ca m'aidera à clarifier ma propre opinion.

[Médiat]

En fait, je pense qu'il y a pas un mais deux systèmes d'axiomes qu'on pourra immédiatement reconnaitre comme vrais dans le sens où ils correspondent à quelque chose qui est dans notre pensée et qui pourraient nous paraître évident une fois qu'ils seront exprimés.

En tant que formaliste j'aurais écrit :
La formule est indécidable dans la théorie (je suppose qu'il en existe une démonstration), donc et sont -consistante. Par conséquent les deux sont formellement acceptables ; les questions intéressantes (qui n'ont pas forcément de réponse) sont
0) quelle signification intuitive peut-on donner à
1) laquelle de ces deux théories permet de démontrer le plus de théorèmes
2) laquelle de ces deux théories est la plus utile (pour moi, pour les autres logiciens, pour les mathématiciens)
3) laquelle de ces deux théories est la plus rigolotte
4) quelles sont les formules telles que , ou telles que ; et quelle signification intuitive peut-on donner à
etc.

[invite7863222222222]

J'ai en tête une réflexion et une idée sur cette hypothèse du continu, mais faut que j'y réflechisse plus pour voir si ca a vraiment du sens.

Je reviendrais quand j'aurais pu structurer un peu plus tout ça.

[Médiat]

J'ai en tête une réflexion et une idée sur cette hypothèse du continu, mais faut que j'y réflechisse plus pour voir si ca a vraiment du sens.

Je reviendrais quand j'aurais pu structurer un peu plus tout ça.

C'est cela qu'en anglais on appelle un teaser ?

[invite7863222222222]

C'est cela qu'en anglais on appelle un teaser ?

Non, jreeman, tu ne laisseras pas ce fil sur ces derniers messages

[invite7863222222222]

Je reviens sur ce fil toujours en livrant mes questions sur l'axiomatique de ZF.

Je me demandais comment était défini l'égalité dans ZF, et donc déjà si deux ensembles ont les mêmes éléments alors ils sont égaux, ce que dit l'axiome d'extensionabilité :


Mais n'a-t-on jamais besoin d'utiliser l'équivalence : si deux éléments sont égaux alors ils ont les mêmes éléments ?

Je me demande quel sens aurait une théorie où cette équivalence n'était pas satisfaite.

Est-ce peut être une conséquence du schéma d'axiome de remplacement ? Ces questions me semblejt tellement naïve, qu'elles sont peut être un non sens ?

[Médiat]

Mais n'a-t-on jamais besoin d'utiliser l'équivalence : si deux éléments sont égaux alors ils ont les mêmes éléments ?

Que veut dire "deux ensembles sont égaux" ?
Soit cela veut dire qu'il n'y en a qu'un (et donc la question ne se pose pas)
Soit cela veut dire que l'on applique la définition générique de l'égalité (ZF est une théorie égalitaire) et donc, par définition deux ensembles A et B sont égaux si on peut remplacer l'un par l'autre dans toutes les formules (donc dans toutes les formules du genre )

[invite7863222222222]

Que veut dire "deux ensembles sont égaux" ?
Soit cela veut dire qu'il n'y en a qu'un (et donc la question ne se pose pas)
Soit cela veut dire que l'on applique la définition générique de l'égalité (ZF est une théorie égalitaire) et donc, par définition deux ensembles A et B sont égaux si on peut remplacer l'un par l'autre dans toutes les formules (donc dans toutes les formules du genre )

D'accord, je voulais effectivement parler de la définition générique de l'égalité.

[invite7863222222222]

On peut d'ailleurs écrire ZF seulement avec le symbôle , et en remplaçant par .

[invite6754323456711]

On peut d'ailleurs écrire ZF seulement avec le symbôle , et en remplaçant par .

Cela est défini, me semble t-il , par l'axiome d'extensionnalité et sa réciproque :

∀A, B [∀ x(x ∈ A ↔ x ∈ B) → A = B]

il s'applique aussi à la notion de classe : Si deux classes ont les mêmes éléments, alors elles sont identiques.

réciproque :

Réciproquement, comme dans ZFC, il serait possible de réduire le schéma d'axiomes pour l'égalité à deux cas particuliers, ∀A, B [A = B → ∀ x(x ∈ A ↔ x ∈ B)] (réciproque de l'extensionnalité), et l'axiome ∀a, b [a = b → ∀ X(a ∈ X ↔ b ∈ X)] (dont la réciproque se déduira de la réflexivité de l'égalité, en présence du schéma de compréhension sur les classes : prédicat x = a).

Patrick

[invite7863222222222]

Cela est défini, me semble t-il , par l'axiome d'extensionnalité et sa réciproque

La réciproque de l'axiome d'extensionalité est une conséquence des axiomes définissant ce qu'est une théorie égalitaire (qui énonce que si A = B, toute propriété de A est une propriété de B) .

[invite7863222222222]

Re bonsoir,

mon idée évoquée plus haut était de dire que l'on pourrait laisser la possibilité de remplacer des ensembles par d'autres ensembles (par exemple, au lieu de x, il pourrait exister y tel que x U y pourrait être considéré à la place de x), sans rien changer à la théorie. "sans rien changer à la théorie" est encore un peu flou, ca serait quelque chose comme signifiant qu'on aurait les mêmes théorèmes.


PS : Mais j'ai l'impression que tout cela n'est pas en cohérence avec le schéma d'axiome de remplacement. Mais bon d'ailleurs, comme je ne comprends pas très bien ce schéma et pourquoi il est défini, ca n'est peut être pas du tout lié à mon questionnement.

[Médiat]

Bonjour,

mon idée évoquée plus haut était de dire que l'on pourrait laisser la possibilité de remplacer des ensembles par d'autres ensembles (par exemple, au lieu de x, il pourrait exister y tel que x U y pourrait être considéré à la place de x), sans rien changer à la théorie. "sans rien changer à la théorie" est encore un peu flou, ca serait quelque chose comme signifiant qu'on aurait les mêmes théorèmes.

Désolé, mais je ne comprends pas.

Mais bon d'ailleurs, comme je ne comprends pas très bien ce schéma et pourquoi il est défini, ca n'est peut être pas du tout lié à mon questionnement.

Le schéma d'axiomes de remplacement est une généralisation du schéma d'axiomes de compréhension, et il est motivé par la même idée intuitive "Ce dont je peux parler est un ensemble" ; ces deux schémas formalisent "dont je peux parler".
Le schéma lui-même impose que l'image d'un ensemble par une fonction est un ensemble.

[invite7863222222222]

Bonsoir,

Si on considère dans l'ensemble constitué des ensembles de l'ensemble des parties de IN qui ne sont pas dénombrables et qui n'appartiennent pas à eux même, et si on se demande si cet ensemble appartient à lui-même, il me semble que l'on tombe sur le même paradoxe que Russel : cet ensemble appartient bien, si je ne fais pas d'erreur, à l'ensemble des parties de IN, donc s'il n'appartient pas à lui même, il devrait s'appartenir à lui-même et inversement. J'ai aussi l'impression que cet ensemble respecte bien le schéma d'axiome de compréhension, je fais donc manifestement une erreur de raisonnement à un endroit mais je n'arrive pas à voir où.

Auriez-vous donc une idée d'où se trouve mon erreur ?

[Médiat]

Bonjour,

ensembles de l'ensemble des parties de IN qui ne sont pas dénombrables et qui n'appartiennent pas à eux même

Hypothèse inutile une partie de IN ne peut se contenir elle-même.

cet ensemble appartient bien, si je ne fais pas d'erreur, à l'ensemble des parties de IN

Non, il appartient à l'ensemble des parties de l'ensemble des parties de IN.

Une démonstration générale se trouve là (j'epère qu'il n'y a pas d'erreur ) : http://forums.futura-sciences.com/sc...ml#post2543629

[invite7863222222222]

Une démonstration générale se trouve là (j'epère qu'il n'y a pas d'erreur ) : http://forums.futura-sciences.com/sc...ml#post2543629

Merci, j'ai regardé mais désolé je crois que j'ai vraiment du mal avec ce genre de démonstration, par exemple là je commence à avoir du mal : "la même [contradiction] que d'habitude". A ce stade je n'arrive qu' à en déduire que . C'est bien cela ? Si oui, pourquoi on en déduit qu'une possibilité c'est que f ne soit pas une surjection ?, puisque je crois qu'on avait supposé que f était seulement une injection.

[Médiat]

A ce stade je n'arrive qu' à en déduire que . C'est bien cela ? Si oui, pourquoi on en déduit qu'une possibilité c'est que f ne soit pas une surjection ?, puisque je crois qu'on avait supposé que f était seulement une injection.

L'hypothèse de départ est que f est une injection, mais on ne dit rien sur la surjectivité (peut-être l'est-elle, peut-être pas).

f est une application de , en disant que , il y a deux possibilités :
1) , et on ne peut rien dire sur la surjectivité de f
2) , d'où on déduit que f n'est pas surjective.

[invite7863222222222]

Bonjour,

merci avec un certain retard pour la dernière réponse.

Je reviens sur le paradoxe de Russel à nouveau : n'aurait-on pas le droit plutôt que d'ajouter le schéma d'axiomes de compréhension, de poser que l'ensemble des ensembles existe et que le fonctionne toujours syntaxiquement toujours avec deux termes du langage x, y ?

Je pense que les mathématiciens n'ont pas envie de s'embarrasser avec cela, mais on pourrait alors dire que par défaut que signifie implicitement .

[invite7863222222222]

que le fonctionne toujours syntaxiquement toujours avec deux termes du langage x, y ?

Petite correction : deux termes du langage x, y et le symbole de relation qui deviendrait donc plutôt un symbole de la logique qu'un symbole de la théorie des ensembles.

[Médiat]

Bonsoir,

Je reviens sur le paradoxe de Russel à nouveau : n'aurait-on pas le droit plutôt que d'ajouter le schéma d'axiomes de compréhension, de poser que l'ensemble des ensembles existe et que le fonctionne toujours syntaxiquement toujours avec deux termes du langage x, y ?

Je ne vois pas en quoi cela supprime le paradoxe de Russell ?

Je pense que les mathématiciens n'ont pas envie de s'embarrasser avec cela, mais on pourrait alors dire que par défaut que signifie implicitement .

Il serait plus simple d'ajouter l'axiome qui assure que l'ensemble de tous les ensembles existe, mais on sait que cela mène à une contradiction ...

[invite7863222222222]

Oui c'est vrai, qu'en postulant l'existence du fameux ensemble :



on voit que ca ne change rien, d'ajouter .

J'avais en tête, et je me demande bien si c'est vraiment possible, de faire en sorte, que l'existence de l'ensemble en question, ne puisse s'exprimer que de cette manière :