Axiome de l'ensemble des parties

[jreeman]

Bonjour,

peut-on vraiment dire que pour la logique classique, la théorie des ensembles de Zermelo Frankel qui accepte l'axiome de l'ensemble des parties (+ l'axiome de compréhension) est plus "puissante" que celles qui ne l'acceptent pas, comme par exemple la théorie des ensembles de Kripke-Platek (que je ne connais pas) mais ajoute des éléments primitifs (les entiers) ?

J'ai vu aussi que la logique du second ordre, n'a pas d'équivalent de l'axiome de l'ensemble des parties. Mais que veut dire exactement cette dernière phrase ? : l'axiome relève de la théorie pas de la logique.

[Médiat]

peut-on vraiment dire que pour la logique classique, la théorie des ensembles de Zermelo Frankel qui accepte l'axiome de l'ensemble des parties (+ l'axiome de compréhension) est plus "puissante" que celles qui ne l'acceptent pas, comme par exemple la théorie des ensembles de Kripke-Platek (que je ne connais pas) mais ajoute des éléments primitifs (les entiers) ?

Oui dans le sens où l'on peu construire beaucoup plus d'ensembles avec l'axiome des parties que sans (mais beaucoup d'ensembles dont personnes n'a jamais eu besoin, comme l'ensemble des parties itérés 5 fois (ce qui n'est pas beaucoup)).

J'ai vu aussi que la logique du second ordre, n'a pas d'équivalent de l'axiome de l'ensemble des parties.

Inutile puisque les sous-ensembles font partie du langage (cela ne permet pas de faire tout ce que peut ZFC, mais c'est suffisant pour une grande partie des mathématiques).

Mais que veut dire exactement cette dernière phrase ? : l'axiome relève de la théorie pas de la logique.

Je supose que l'auteur veut dire que le mot axiome est réservé à la définition des théories, et qu'il utilise un autre mot pour les "axiomes" de la logique (que l'on peut effectivement présenter autrement, par des séquents par exemple). Il faudrait que tu nous cites la phrase complète.

[jreeman]

Ok merci, la phrase était de l'article de wikipédia : http://fr.wikipedia.org/wiki/Axiome_...le_des_parties. Où j'ai compris, qu'il donnait l'exemple de la logique du second ordre pour illustrer le fait que l'axiome de l'ensemble des parties n'était pas forcément toujours utile en mathématique.

En fait, je me pose ces questions par rapport le livre de Raymond M. Smullyan "ca y est je suis fou !" dans lequel il décrit bien la dynamique de la refondation des mathématiques qui a aboutit au système de Zermelo Frankel.

L'auteur se dit réaliste platonicien et pas formaliste, et pense qu'un jour, on pourra par exemple dire si l'hypoothèse du continu est exacte ou pas (d'ailleurs d'après lui Gôdel était aussi platonicien et qui avait prédit qu'on démontrerait qu'un jour qu'elle est fausse). Mais de toute façon, je n'ai pas vraiment d'avis arrété sur la question formaliste/platonicien.

[Médiat]

Mais de toute façon, je n'ai pas vraiment d'avis arrété sur la question formaliste/platonicien.

Mon sentiment sur la question est qu'il s'agit d'un point de vue purement philosophique (et non religieux comme certains le disent), et qui risque de rester sans preuve pendant encore un bout de temps.

[Matmat]

L'auteur se dit réaliste platonicien et pas formaliste, et pense qu'un jour, on pourra par exemple dire si l'hypoothèse du continu est exacte ou pas (d'ailleurs d'après lui Gôdel était aussi platonicien et qui avait prédit qu'on démontrerait qu'un jour qu'elle est fausse). Mais de toute façon, je n'ai pas vraiment d'avis arrété sur la question formaliste/platonicien.

Godel n'a pas dit cela , il a dit que l'hypothèse du continu était soit vraie soit fausse ( et il "intuitait" qu'elle était fausse ) indépendemment de ce que l'on peut en savoir par démonstration : c'est d'ailleurs très platonicien comme point de vue je trouve.

cordialement

[jreeman]

Godel n'a pas dit cela , il a dit que l'hypothèse du continu était soit vraie soit fausse ( et il "intuitait" qu'elle était fausse ) indépendemment de ce que l'on peut en savoir par démonstration : c'est d'ailleurs très platonicien comme point de vue je trouve.

cordialement

Oui ca c'est globalement la position du platonicien.

Et d'après Smullyan, Godel aurait explicitement dit que ce dont nous avons besoin serait de trouver de nouveaux axiomes pour la théorie des ensembles qui puissent être immédiatement reconnus comme vrais (comme ceux que nous avons actuellement) et qui seraient assez fort pour établir la véracité ou la fausseté de l'hypothèse du continu.

Mais pour moi, ce qu'a dit Gödel, c'est une position "à la limite" pour pouvoir être considéré comme platonicien.

[Médiat]

trouver de nouveaux axiomes pour la théorie des ensembles qui puissent être immédiatement reconnus comme vrais

Ca c'est typiquement une position platonicienne

[jreeman]

Ca c'est typiquement une position platonicienne

En fait, je pense qu'il y a pas un mais deux systèmes d'axiomes qu'on pourra immédiatement reconnaitre comme vrais dans le sens où ils correspondent à quelque chose qui est dans notre pensée et qui pourraient nous paraître évident une fois qu'ils seront exprimés.

Cà, c'est une position formaliste ou platonicienne ?

[Médiat]

on pourra immédiatement reconnaitre comme vrais

Cette formulation est platonicienne

[jreeman]

Je précise que je ne tiens pas spécialement au mot "vrais" et je mets "intuitifs" à la place, ca m'aidera à clarifier ma propre opinion.

[Médiat]

En fait, je pense qu'il y a pas un mais deux systèmes d'axiomes qu'on pourra immédiatement reconnaitre comme vrais dans le sens où ils correspondent à quelque chose qui est dans notre pensée et qui pourraient nous paraître évident une fois qu'ils seront exprimés.

En tant que formaliste j'aurais écrit :
La formule est indécidable dans la théorie (je suppose qu'il en existe une démonstration), donc et sont -consistante. Par conséquent les deux sont formellement acceptables ; les questions intéressantes (qui n'ont pas forcément de réponse) sont
0) quelle signification intuitive peut-on donner à
1) laquelle de ces deux théories permet de démontrer le plus de théorèmes
2) laquelle de ces deux théories est la plus utile (pour moi, pour les autres logiciens, pour les mathématiciens)
3) laquelle de ces deux théories est la plus rigolotte
4) quelles sont les formules telles que , ou telles que ; et quelle signification intuitive peut-on donner à
etc.

[jreeman]

J'ai en tête une réflexion et une idée sur cette hypothèse du continu, mais faut que j'y réflechisse plus pour voir si ca a vraiment du sens.

Je reviendrais quand j'aurais pu structurer un peu plus tout ça.

[Médiat]

J'ai en tête une réflexion et une idée sur cette hypothèse du continu, mais faut que j'y réflechisse plus pour voir si ca a vraiment du sens.

Je reviendrais quand j'aurais pu structurer un peu plus tout ça.

C'est cela qu'en anglais on appelle un teaser ?

[jreeman]

C'est cela qu'en anglais on appelle un teaser ?

Non, jreeman, tu ne laisseras pas ce fil sur ces derniers messages

[jreeman]

Je reviens sur ce fil toujours en livrant mes questions sur l'axiomatique de ZF.

Je me demandais comment était défini l'égalité dans ZF, et donc déjà si deux ensembles ont les mêmes éléments alors ils sont égaux, ce que dit l'axiome d'extensionabilité :


Mais n'a-t-on jamais besoin d'utiliser l'équivalence : si deux éléments sont égaux alors ils ont les mêmes éléments ?

Je me demande quel sens aurait une théorie où cette équivalence n'était pas satisfaite.

Est-ce peut être une conséquence du schéma d'axiome de remplacement ? Ces questions me semblejt tellement naïve, qu'elles sont peut être un non sens ?