Paradoxe

invite341bf20d · 10/09/2009, 10h21

Soit un cahier comportant autant de pages que l'on veut. On numérote chaque page, et, sur chacune d'entre elles, on écrit un ensemble d'entiers (tous différents), de telle sorte à ne jamais écrire deux fois le même ensemble.
On dit qu'un nombre N est ordinaire si l'ensemble écrit à la page N ne contient pas N ; dans le cas contraire, on dit que N est extraordinaire. Supposons que l'on ait écrit sur ce cahier tous les ensembles possibles. La question est : à quelle catégorie appartient l'entier sur la page duquel on a écrit l'ensemble des nombres ordinaires ?

Bonne chance à vous , que la folie soit avec vous

PS : chaque réponse doit etre argumenter.

**Médiat** · 10/09/2009, 10h51

Envoyé par Sam*

Supposons que l'on ait écrit sur ce cahier tous les ensembles possibles. La question est : à quelle catégorie appartient l'entier sur la page duquel on a écrit l'ensemble des nombres ordinaires ?

Cliquez pour afficher

invite341bf20d · 10/09/2009, 12h34

Envoyé par Médiat

L'ensemble des entiers n'est pas suffisant pour numéroter les sous-ensembles des entiers (Théorème de Cantor).

Comment ça ?

**Médiat** · 10/09/2009, 12h41

Envoyé par Sam*

Comment ça ?

cf. le résultat du fil http://forums.futura-sciences.com/ma...lications.html auquel tu as participé

, et dont le cahier en question est une démonstration ludique.

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

invite8ef897e4 · 10/09/2009, 15h12

Envoyé par Sam*

On dit qu'un nombre N est ordinaire si l'ensemble écrit à la page N ne contient pas N ; dans le cas contraire, on dit que N est extraordinaire. Supposons que l'on ait écrit sur ce cahier tous les ensembles possibles. La question est : à quelle catégorie appartient l'entier sur la page duquel on a écrit l'ensemble des nombres ordinaires ?

Supposons qu'un tel cahier existe. Alors N est bien defini. Supposons que N est ordinaire. Alors N n'est pas sur la page N et donc N est extraordinaire. Donc N ne peut pas etre ordinaire, il est donc extraordinaire, ne peut pas etre ecrit a la page N (par definition de la page N), et donc il est ordinaire (par definition de ordinaire). Il n'existe donc pas de tel nombre N, et donc on ne peut pas construire un tel "cahier" ou plus precisement on ne peut pas numeroter l'ensemble des sous-ensemble de numeros, soit exactement ce que dit Mediat. Je n'avais jamais vu cette demonstration par le barbier (ou par le menteur, ou par...) du theoreme de Cantor. C'est correct ce que je dis la ?

**Médiat** · 10/09/2009, 15h41

Envoyé par humanino

Je n'avais jamais vu cette demonstration par le barbier (ou par le menteur, ou par...) du theoreme de Cantor. C'est correct ce que je dis la ?

C'est la démonstration usuelle du théorème de Cantor, et je soupçonne même que ce soit la démonstration de Cantor.

**Pio2001** · 11/09/2009, 00h05

Je reprends l'énoncé.

Envoyé par Sam*

Supposons que l'on ait écrit sur ce cahier tous les ensembles possibles.

Il existe une infinité d'ensembles possibles. Le cahier est-il infini ou bien se limite-t-on aux entiers inférieurs à une certaine valeur ?

Si le cahier est infini, peut-on écrire une infinité d'entiers sur chaque page, ou se limite-t-on aux ensembles finis d'entiers ?

invite6754323456711 · 11/09/2009, 08h07

Envoyé par Pio2001

Si le cahier est infini, peut-on écrire une infinité d'entiers sur chaque page, ou se limite-t-on aux ensembles finis d'entiers ?

Si on enlève l'ensemble vide et l'ensemble des entiers naturel il reste :

une infinité d'ensembles ne contenant qu'un seul élément
une infinité d'ensembles contenant exactement deux éléments
...

Mais peut on écrire sur une page par exemple l'ensemble des ensembles ne contenant qu'un seul élément ?

Patrick

invite6754323456711 · 11/09/2009, 09h20

Envoyé par Sam*

de telle sorte à ne jamais écrire deux fois le même ensemble.

Que veut dire même (égalité ?) ?

A = B si et seulement si ∀x( x ∈ A ⇔ x ∈ B )

Patrick

invite341bf20d · 11/09/2009, 10h50

Envoyé par humanino

Supposons qu'un tel cahier existe. Alors N est bien defini. Supposons que N est ordinaire. Alors N n'est pas sur la page N et donc N est extraordinaire ?

D'après la définition si N n'est pas dans la page N ,c'est qu'il est ordinaire...

inviteae1101ca · 11/09/2009, 11h04

Soit N un entier appartenant à l'ensemble des nombres ordinaires càd que N n'est pas dans la page N , mais comme N est écrit à la page N donc il est extraordinaire . Mais d'après la définition N est ordinaire, d'ou le paradoxe.

Est ce qu'il faut penser comme ça ou bien j'ai commis des erreurs.

**Médiat** · 11/09/2009, 13h55

Si je ne me suis pas pris les pieds dans tapis, on peut généraliser la méthode du cahier :
Soit $\text{[math]}$ une propriété, quelconque, qu'un sous ensemble de $\text{[math]}$ , peut vérifier ou non (c'est à dire que si $\text{[math]}$ est soit vrai soit faux).
Soit $\text{[math]}$ l'ensemble des sous-ensembles de $\text{[math]}$ qui vérifient $\text{[math]}$ .
Soit $\text{[math]}$ une application injective quelconque de $\text{[math]}$ .
Soit $\text{[math]}$ (c'est à dire l'ensemble des nombres ordinaires selon le vocabulaire du premier post).
Si on se pose la question de savoir s'il existe un entier $\text{[math]}$ tel que $\text{[math]}$ , on arrive à une contradiction (la même que d'habitude).
On en déduit :
Soit $\text{[math]}$ n'est pas une surjection
Soit $\text{[math]}$ , c'est à dire $\text{[math]}$ ).
La propriété $\text{[math]}$ étant donnée, soit il n'existe pas de bijection entre $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ , soit, pour cette bijection $\text{[math]}$ .

En appliquant le résultat précédent à la propriété $\text{[math]}$ , on obtient la question initiale, puisque l'on considère tous les sous-ensembles de $\text{[math]}$ , et la conclusion est que $\text{[math]}$ (comme $\text{[math]}$ pour tout $\text{[math]}$ ...).
En appliquant le résultat précédent à la propriété $\text{[math]}$ ( $\text{[math]}$ est fini), on obtient que $\text{[math]}$ est infini (puisque $\text{[math]}$ , la bijection existe).
En appliquant le résultat précédent à la propriété $\text{[math]}$ ( $\text{[math]}$ a exactement n éléments), on obtient que $\text{[math]}$ ne peut avoir exactement n éléments (puisque $\text{[math]}$ à nouveau), cette propriété est facile à vérifier à la main pour n = 1, moins facilement pour n = 100 (cela pourrait être une "énigme").

inviteae1101ca · 11/09/2009, 19h22

Envoyé par Shamir88

Soit N un entier appartenant à l'ensemble des nombres ordinaires càd que N n'est pas dans la page N , mais comme N est écrit à la page N donc il est extraordinaire . Mais d'après la définition N est ordinaire, d'ou le paradoxe.

Est ce qu'il faut penser comme ça ou bien j'ai commis des erreurs.

Est ce que ma réponse est correcte ou non parce que j'ai l'impression d'avoir sauter quelques chose dans mon argumentation ?

invite6754323456711 · 11/09/2009, 21h54

Envoyé par Shamir88

Est ce que ma réponse est correcte ou non parce que j'ai l'impression d'avoir sauter quelques chose dans mon argumentation ?

En fait pour comprendre l'énoncé il faut lire la réponse donné au message #12 pour la propriété $\text{[math]}$

Je suppose que Sam* appelle paradoxe la contradiction induite par la question posé.

Patrick

invite5e6af660 · 12/09/2009, 18h32

si l'on a écrit sur une page du cahier l'ensemble des nombre ordinaire(donc des autres pages du cachiers, soit l'ensemble de tout les nombres dont le n° de pages ne sont pas élément de l'ensemble ecrit sur cette page)

est-ce que ce numéros de page est ordinaire, ou extraodinaire... l'on ne peux le savoir, car le numéros de la page est choisie au hasard, ainsi que les autres, l'on ne peux savoir à l'avance si l'on auras parmis l'ensemble des nombres ordinaires, un nombre qui seras toutefois identique au numéros de pages.

cela est parfaitement contigeant, l'une et l'autre situation peuvent se produire.

**Médiat** · 12/09/2009, 19h23

Envoyé par Thomas markley

l'on ne peux le savoir

Mais si on peut le savoir : lire les précédentes contributions...

inviteae1101ca · 12/09/2009, 20h08

Cette histoire de cahier et de numéro n'est-elle pas équivalente au paradoxe des barbus ??

**Médiat** · 12/09/2009, 20h18

Envoyé par Shamir88

Cette histoire de cahier et de numéro n'est-elle pas équivalente au paradoxe des barbus ??

S'il s'agit du barbier, c'est ce que dit humanino au message #5.

Mai personnellement je n'aime pas du tout la version du barbier pour plusieurs raisons :
1) Si en donnant comme définition d'un barbier "c'est l'homme qui rase les hommes qui ne se rasent pas eux-même", on arrive à une absurdité, cela démontre simplement que la définition est mauvaise (pour moi un barbier est "un homme qui rase les hommes qui rentrent dans sa boutique et le paye pour cela")

2) Si on distingue l'être humain et la fonction, alors on peut supposer que l'être humain qui occupe la fonction de barbier se rase le matin chez lui et sans se faire payer, il est donc normal qu'il ne se rase pas en tant que barbier dans sa boutique et en se payant lui-même, et même la mauvaise définition s'applique.

invite5e6af660 · 13/09/2009, 13h57

Envoyé par Médiat

Mais si on peut le savoir : lire les précédentes contributions...

le simple fait de remplir les page au hasard de nombre, vas donner deux ensembles en fonction de la présence ou non du nombre de la page dans les nombre ecrit sur cette page

l'ensemble des nombres normaux, celui qui contient tout les numéraux de pages ou il n'y a pas de concordance entre le n° de page et les nombres, est donc parfaitement aléatoire.

cet ensemble de n° de pages est de plus amputé des n° de pages extraodinaire (ou n° de page et autres se recoupe)

la suite des n° de pages "normaux" n'est donc pas complet, cette suite ne recouvre pas l'ensemble des entiers naturels. or puisque la formation des ensemble ordinaire et extraordinaire est aléatoire, il est impossible de savoir si le n° de page des n°de pages des ensembles ordinaire comprendra ou non le n° de pages ou il se trouve inscrit.

et peu importe le nombre de page, il peut-être infini, puisque l'on a deux ensembles, aucun ne peux être égal a la suite des entiers naturel. et comme l'on ne sait pas lequel de ses nombres est ordinaire ou extraordinaire, la page ou ont la inscrit peut parfaitement être ordinaire ou extraordinaire en fonction du contenu des deux ensembles. (eux même constitué aléatoirement, et tous différent les uns de autres, et en plus posé sur des pages au hasard)

cela fait un peu trop de "si" et de probabilité pour que l'on puisse en certitude poser un état final du système.

**Médiat** · 13/09/2009, 17h32

Envoyé par Thomas markley

cela fait un peu trop de "si" et de probabilité pour que l'on puisse en certitude poser un état final du système.

Si vous ne voulez pas lire les contributions précédentes, nul ne peut vous y forcer.

invite5e6af660 · 13/09/2009, 18h03

Soit un cahier comportant autant de pages que l'on veut. (une infinité de page)

On numérote chaque page,
(avec l'ensemble des entiers naturel ordinaux)

et, sur chacune d'entre elles, on écrit un ensemble d'entiers (tous différents), de telle sorte à ne jamais écrire deux fois le même ensemble.

=> pour obtenir cela, faire que sur chaque page l'on est jamais le même ensemble, il faut une répartition aléatoire des nombres, et au minimum enlever aléatoirement 1 nombre a la suite des entiers naturel.

On dit qu'un nombre N est ordinaire si l'ensemble écrit à la page N ne contient pas N

donc si la page N contient N alors N est ordinaire

dans le cas contraire, on dit que N est extraordinaire.

donc si la page N ne contient pas N alors N est extraordinaire

Supposons que l'on ait écrit sur ce cahier tous les ensembles possibles.

donc ici une infinité d'ensemble tous dissemblable les uns des autres, et tous aléatoirement écrit sur le cahier.

La question est : à quelle catégorie appartient l'entier sur la page duquel on a écrit l'ensemble des nombres ordinaires ?

puisque tout les ensemble possible ont été écrit, il existe une page ou l'ensemble des ces nombres ordinaires a été écrit. cette ensemble est sur une page du cahier mais l'on ne peux pas savoir sur laquelle puisque les ensemble sont généré aléatoirement, le nombre peut-être tant ordinaire qu'extraordinaire.

c'est le principe de totalité, quand l'on pose que toutes possibilité ont été comblé, alors il n'y a pas de possibilité de reste. le cas particulier est nécessairement inclus dans l'une des pages.

le cas est que l'ensemble des nombres ordinaires est ensemble parmi tout les autres ensembles. une des possibilités qui a nécessairement été écrite.

**Médiat** · 13/09/2009, 19h00

Puisque vous ne voulez pas tout lire, lisez au moins le message # 2.

Bizarre d'écrire en gras, j'ai l'impression de crier ...

invite5e6af660 · 13/09/2009, 20h36

L'ensemble des entiers n'est pas suffisant pour numéroter les sous-ensembles des entiers (Théorème de Cantor), la page sur laquelle apparaît l'ensemble des nombres ordinaires n'est donc pas un entier.

et vous croyez vriament qu'un ensemble totalisant l'ensemble des entiers donc tout les entiers, ne puisse numéroter une infinité de sous-ensemble. Il peux sembler qu'il y est plus de sous-ensemble que d'élément dans l'ensemble des entiers, mais c'est une illusions, par principe, la totalité englobe tout... et vouloir dérogé a ce principe premier c'est allez contre tout raisonement logique.

l'ensemble des entiers etant incommensurable en quantité, il peux largement contenir toute les formes de sous-emseble contenu apartir de ces propres nombres, il seras toujours de la bonne taille, car c'est un ensemble par principe totalisant. et vouloir quantifié l'incomensurable c'est deja pouvoir non faire de "grosse" estimation mais bien réellement dénombrer un ensemble.

et un ensemble totalisant une suite ordonée comme les nombres entiers n'ayant par pincipe pas de fin, ne saurait-être jamais plus petit que ceux formé de lui-même.

l'on tend simplement vers l'absurde avouloir denombrer et quantifié ce qui précisément n'a pas de fin.

vous pouvez prendre une infinité d'ensemble, et les dénombrer un par un, il seront toujours inclus dans l'ensemble des nombres entiers.

est-ce mieux mr Mediat

**Médiat** · 13/09/2009, 20h42

Envoyé par Thomas markley

est-ce mieux mr Mediat

Non, tout ce que vous écrivez est faux, et c'est parfaitement connu depuis le XIX^ièmesiècle, grace à Cantor.

invite341bf20d · 13/09/2009, 21h06

Excusez moi , si je passerais hors-sujet , mais par rapport au message de Thomas (je crois que ce dossier serait bien dans la partie mathématiques du supérieur) , je disais que : soit E un ensemble et P(E) l'ensemble des parties de E : card(E)=n et card(P(E))=2ⁿ, et on sait que n<2ⁿ. Le nombre de sous-ensembles serait supérieur quantitativement aux éléments de E .

invite6754323456711 · 13/09/2009, 22h08

Envoyé par Thomas markley

et vous croyez vriament qu'un ensemble totalisant l'ensemble des entiers donc tout les entiers, ne puisse numéroter une infinité de sous-ensemble.

Il te faut considérer l'infinie actuel (une collection infinie comme totalité achevée. C’est-à-dire pris d’un seul tenant) plutôt que de le voir comme ce qui est sans fin : "L’infini, c’est long, surtout vers la fin… ou chaque entier est suivi d’un autre; aucun point n’est le dernier point d’une droite."

http://www.cegep-ste-foy.qc.ca/profs...nts/infini.pdf

C'est pas évident au premier abord je m'y suis aussi pris les pieds entre l'infini potentiel et l'infinie actuel.

Dans le registre de la géométrie : Une courbe fermer montre qu'un objet peut être sans borne et pourtant finie. Si on considère les objets géométriques comme des ensembles infinis de points, chaque segment est à la fois borné et infini.

Patrick

invite5e6af660 · 13/09/2009, 22h27

la totalité d'un ensemble est toujours plusgrand que son degré d'infini

il est de fait vain de vouloir dire que les sous-ensemble puisse-etre plus grand ou plus petit que les premier ensemble,

peut-on etre plus grand ou plus petit qu'une totalité infinie? cela n'a même aucun sens. ils sont tout les deux incomensurable, et le premier ensemble etant totalement incomesurable le second a beau sembler en contenir plus que le premier, les terme plus grand ou plus petit son deja une forme de commensurabilité de ses ensemble infini. ce sont donc des terme invalide pour ce ce type d'ensemble.

un infini ne peux être plus grand qu'un autre infini surtout pour un ensemble contenant tout les nombres entiers et la notion même d'infini de cet esemble

l'ensembles des sous-enseble a beau etre énormes, il ne pourras au mieux qu'etre lui aussi incommensurable, au même titre que le premier... rien ne peut-être plus grand qu'une suite infini de nombre, par le fait même que celle-ci est infinie.

dire qu'un infini est plus petit ou plus grand qu'un autre est simplement absurde, donc sans sens, c'est vouloir mesurer ce qui par éssence même du terme infini n'est pas commensurable... c'est déroger au principe d'infini et auprincipe de totalité

un infini est toujours inclus dans la totalité, totalité elle-même qui borne l''ensemble en "nature" et qui permet de le nomer. si l'ensemble n'est pas fermé, ce n'est plus un ensemble car les chose ne peuvent etre incluse dans une totalité assemblante et définissante. l'infini du a la suite des nombres entier reste inclus dans la définition de cet ensemble qui n'a pas de fin, et qui par le fait les contient tous

l'ensemble des ous-ensemble ne peux donc pas etre plus grand que la définition du premier qui contient en totalité l'infinité des nombres entiers.

invite6754323456711 · 13/09/2009, 22h40

Envoyé par Thomas markley

la totalité d'un ensemble est toujours plus grand que son degré d'infini

Je ne peux que te conseiller de définir formellement ce que tu entends par infini, plus grand, degré ... et de la démontrer toute les affirmations que tu as énoncé.

Sinon ce n'est qu'un pur acte de "foi".

Patrick

**Médiat** · 13/09/2009, 22h45

Envoyé par Thomas markley

l'ensemble des ous-ensemble ne peux donc pas etre plus grand que la définition du premier qui contient en totalité l'infinité des nombres entiers.

Tout ce que vous écrivez est faux, et c'est parfaitement connu depuis le XIXième siècle, grace à Cantor.

Si vous êtes pleinement satisfait de votre ignorance sur ce sujet, cela ne me dérange pas, mais évitez de prétendre que tous les mathématiciens du XX^ième siècle sont des imbéciles. Vous manipulez des concepts que vous ne maîtrisez pas ; vous devriez faire quelques études sur ce sujet avant d'être péremptoire !

PAr exemple les 11 chapître de Dehornoy : http://forums.futura-sciences.com/ma...tml#post263789

**JPL** · 13/09/2009, 23h09

On laisse ça ici ou bien on le passe en math ?

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