Paradoxe de Russel et schéma de compréhension

[invite7863222222222]

Bonjour,

le schéma de compréhension a été introduit pour éviter le paradoxe de Russel s'appuyant sur une contradiction à considérer l'ensemble .

On sait que le schéma de compréhension propose de résoudre le problème en affirmant l'existence des ensembles définis non plus par mais à partir d'un ensemble déjà existant A :



Mais après avoir longtemps réfléchi au paradoxe (à m'en faire mal aux neurones), y-a-t-il une contradiction ou même incorrect de considérer à la place du schéma de compréhension le schéma suivant ? :




Peut-être trop restrictif car en contradiction avec l'axiome d'anti-fondation ?

Ou encore, pourquoi n'exclurait-on dans les axiomes, seulement les ensembles contradictoires (tel celui de Russel) au lieu de refaire un nouveau schéma ?
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[Médiat]

En particulier, on aurait , B doit donc contenir tous les ensembles sauf lui-même, donc en particulier l'ensemble de ses parties : contradiction avec le théorème de Cantor.

Peut-être trop restrictif car en contradiction avec l'axiome d'anti-fondation ?

Pas génant, AFA ne fait généralement pas partie de ZF, au contraire, on ajoute souvent l'axiome de fondation.

Ou encore, pourquoi n'exclurait-on dans les axiomes, seulement les ensembles contradictoires (tel celui de Russel) au lieu de refaire un nouveau schéma ?

Pouvez-vous en faire la liste ? Sans schéma !

[invite7863222222222]

En particulier, on aurait , B doit donc contenir tous les ensembles sauf lui-même, donc en particulier l'ensemble de ses parties : contradiction avec le théorème de Cantor.

Mince, je me (re)doutais que y'aurait un problème ici, mais faut me laisser un peu de temps pour que je comprenne maintenant bien cette contradiction pour éventuellement retomber sur le schéma de compréhension.

Pouvez-vous en faire la liste ? Sans schéma !

En gros, ca revient à faire ce que j'essaie de faire mais c'est pas facile, bon, je peux toujours au pire faire confiance au schéma de compréhension.

[invite7863222222222]

Pour démontrer le théorème de Cantor, on considère l'ensemble qui n'appartiennent pas à leur image :


Mais dans mon schéma, on ne peut définir cet ensemble qu'ainsi :



En essayant de démontrer par l'absurde que cette ensemble n'appartient pas à l'image de f, s'il était l'image de y par f, on aurait D = f(y) alors

- si y appartient à D, alors par construction il n'appartient pas à D => contradiction
- si y appartient pas à D :

* soit y = D

* soit il est différent de D et par construction, il appartient à D ==> contradiction

Donc il me semble qu'on doit conclure que y = f(y) = D (point fixe)

Donc le théorème de Cantor n'est plus valable avec ce schéma et donc il n'y a pas de contradiction avec le schéma que j'ai proposé, il me semble.

Médiat, je n'arrive pas à croire que ca a l'air de marcher malgré votre message, y-aurait-il un problème dans mon raisonnement, ou peut être est-ce insatisfaisant que le théorème de Cantor ne soit plus valable aussi ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite7863222222222]

Humm... je suis allé trop vite aux conclusions apparemment, car d'après mon raisonnementt, ca voudrait dire qu'il n'y aurait qu'un seul élément de E qui n'appartiendrait pas à son image par f et tous les autres oui, ce qui peut être contredit facilement en prenant à priori n'importe laquelle des fonctions les plus simples à définir.

Vous confirmez bien ?

[Médiat]

Bonjour,

Pour reprendre votre exemple ci-dessus, il suffit de considérer l'ensemble , qui existe, par l'axiome de la paire.

[invite7863222222222]

Effectivement, joli..., on réétudie les cas par rapport à cet ensemble et on aboutit à une contradiction.

[Médiat]

Pour reprendre votre exemple ci-dessus, il suffit de considérer l'ensemble , qui existe, par l'axiome de la paire.

Ooops : bug, il s'agit de l'axiome de l'union.

[invite7863222222222]

Merci bien pour la correction, je peux, je crois, continuer mes tribulations sur les paradoxes de la théorie des ensembles.