Paradoxe de Russel : je ne comprends pas tout!

[Bloud]

Bonjour !

Comme l'indique mon titre, il y a un détail qui me gêne dans le paradoxe de Russel (portant sur la théorie "naïve" des ensembles). En gros, on se demande si l'ensemble qui contient tous les ensembles ne se contenant pas eux-mêmes se contient lui-même ? Je comprends le paradoxe mais un truc me gêne cependant : qu'est qu'un ensemble qui ne se contient pas ?

En effet, prenons n'importe quel ensemble E. Dès lors : quel que soit un élément x appartenant à E, x appartient à E. On en conclut que E est inclus dans E.
Mon problème est que je n'ai pas posé de condition particulière sur mon ensemble donc j'en conclue que c'est vrai pour tous les ensembles (même pour l'ensemble vide)c'est-à-dire qu'un ensemble se contient toujours. Donc je réitère : qu'est-ce qu'un ensemble qui ne se contient pas ?

Merci d'avance pour vos réponses!

[yat]

Je pense que tu confonds appartenance et inclusion.

Par exemple si tu prends les ensembles E et F, tel que E={1 ; 2 ; 3} et F={1 ; 2}, F est inclus dans E mais F n'appartient pas à E. Si un ensemble A appartient à un ensemble B, c'est que A, en tant qu'ensemble, fait partie des éléments de B. Par exemple, si A={"brouette" ; 8 ; 7 ; E} et B = {"tournevis" ; 8 ; 7 ; 6 ; 5 ; A ; F}, A appartient à B puisqu'il est un des éléments de B, mais A n'est pas inclus dans B, puisque les éléments de A ne sont pas tous éléments de B.

[shokin]

Dans le paradoxe de Russel (Crow ), est-il question d'appartenance ou d'inclusion ? de possession ou de globalisation ?

Shokin

[yat]

Dans le paradoxe de Russel (Crow ), est-il question d'appartenance ou d'inclusion ? de possession ou de globalisation ?

Il est question d'apartenance. Dans le cas de l'inclusion, la remarque de Bloud serait tout à fait juste, tout ensemble s'inclut lui-même.

[shokin]

Merci, Yat, mais à quoi sert ce paradoxe ?

Shokin

[invité576543]

Bonjour,

à quoi sert ce paradoxe ?

A montrer qu'on ne peut définir un ensemble par la simple donnée d'une propriété commune. En d'autres termes, une propriété que l'on pense pouvoir attribuer sans ambiguité comme vraie ou fausse (ici "appartenir à soi-même") n'est pas nécessairement une base acceptable pour définir un ensemble.

Cordialement,

[shokin]

Ah ! ok ! muchas gracias !

Shokin

[Bloud]

Merci beaucoup à tous!
J'ai enfin compris. Effectivement je confondais appartenance et inclusion. Maintenant tout est plus clair.
Il est quand même génial ce forum!!!

[matthias]

A montrer qu'on ne peut définir un ensemble par la simple donnée d'une propriété commune. En d'autres termes, une propriété que l'on pense pouvoir attribuer sans ambiguité comme vraie ou fausse (ici "appartenir à soi-même") n'est pas nécessairement une base acceptable pour définir un ensemble.

Juste une petite précision supplémentaire: on ne peut pas définir un ensemble par la simple donnée d'une propriété commune, par contre on peut bien sûr définir un sous-ensemble d'un ensemble donné par la donnée d'une propriété commune (axiome de sélection).
On voit donc aussi qu'il ne peut pas exister un ensemble de tous les ensembles.

[pi-r2]

Enfin, l'erreur dans les paradoxes de Russel est surtout liée à l'énoncé de la propriété qui est incorrect. La limite est toujours dans le vocabulaire utilisé. La production du paradoxe est le côté dynamique. Il existe un ensemble de tous les ensembles, c'est l'univers (ou la réunion des multivers) , mais ce simple fait lui confère des propriétés particulières. En effet, l'ensemble de tous les ensembles ne correspond pas à la définition d'un objet statique.
C'est la même chose pour l'ensemble des nombres que l'on peut définir par une phrase de moins de 100 caractères. On fait des hypothèses implicites qui permettent le paradoxe. On peut supprimer le paradoxe par une vue dynamique, et c'est pour moi cette fuite en avant qui est le moteur de l'univers: Vrai>faux>vrai>faux>vrai>faux est soit paradoxal, soit le temps fondamental.

[Penelope20k]

Il existe un paradoxe similaire ..

Le dictionnaire qui reference tout les dictionnaires qui ne se site pas eux meme ...

doit il se siter, ou ne pas se siter ...

on a juste remplacer ensemble par dico ...

[matthias]

Enfin, l'erreur dans les paradoxes de Russel est surtout liée à l'énoncé de la propriété qui est incorrect. La limite est toujours dans le vocabulaire utilisé.

Non la propriété n'est pas incorrecte (elle a bien un sens mathématique), mais elle ne suffit pas à définir un ensemble. Ce n'est pas ici une question de vocabulaire.

Il existe un ensemble de tous les ensembles, c'est l'univers (ou la réunion des multivers) , mais ce simple fait lui confère des propriétés particulières.

Cela par contre n'a aucun sens en mathématiques.

[Penelope20k]

Un ensemble qui ne se contient pas lui meme ?

je pense que ya maldonne sur l'enonce de ton paradoxe ..
le veritable enoncé est


Le paradoxe de Russell (1902) se rapporte à l'ensemble de tous les ensembles qui ne se contiennent pas eux-mêmes comme élément.
(et pas comme ensemble d'element)

[invité576543]

Non la propriété n'est pas incorrecte (elle a bien un sens mathématique), mais elle ne suffit pas à définir un ensemble. Ce n'est pas ici une question de vocabulaire.

Juste une petite précision supplémentaire: on ne peut pas définir un ensemble par la simple donnée d'une propriété commune, par contre on peut bien sûr définir un sous-ensemble d'un ensemble donné par la donnée d'une propriété commune (axiome de sélection).

En combinant les deux commentaires, on peut ajouter qu'il existe des sous-ensembles définis par la propriété. Ainsi, dans un ensemble donné, on peut construire correctement le sous-ensemble des éléments dudit ensemble qui appartiennent à eux-mêmes...

Cordialement,

[Penelope20k]

(A - {a}) est un ensemble qui ne se contient pas lui meme comme element


et pas ( A - A ) qui est forcemen vide ...