Paradoxe de Russel : je ne comprends pas tout!

[inviteeac53e14]

Bonjour !

Comme l'indique mon titre, il y a un détail qui me gêne dans le paradoxe de Russel (portant sur la théorie "naïve" des ensembles). En gros, on se demande si l'ensemble qui contient tous les ensembles ne se contenant pas eux-mêmes se contient lui-même ? Je comprends le paradoxe mais un truc me gêne cependant : qu'est qu'un ensemble qui ne se contient pas ?

En effet, prenons n'importe quel ensemble E. Dès lors : quel que soit un élément x appartenant à E, x appartient à E. On en conclut que E est inclus dans E.
Mon problème est que je n'ai pas posé de condition particulière sur mon ensemble donc j'en conclue que c'est vrai pour tous les ensembles (même pour l'ensemble vide)c'est-à-dire qu'un ensemble se contient toujours. Donc je réitère : qu'est-ce qu'un ensemble qui ne se contient pas ?

Merci d'avance pour vos réponses!
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[yat]

Je pense que tu confonds appartenance et inclusion.

Par exemple si tu prends les ensembles E et F, tel que E={1 ; 2 ; 3} et F={1 ; 2}, F est inclus dans E mais F n'appartient pas à E. Si un ensemble A appartient à un ensemble B, c'est que A, en tant qu'ensemble, fait partie des éléments de B. Par exemple, si A={"brouette" ; 8 ; 7 ; E} et B = {"tournevis" ; 8 ; 7 ; 6 ; 5 ; A ; F}, A appartient à B puisqu'il est un des éléments de B, mais A n'est pas inclus dans B, puisque les éléments de A ne sont pas tous éléments de B.

[shokin]

Dans le paradoxe de Russel (Crow ), est-il question d'appartenance ou d'inclusion ? de possession ou de globalisation ?

Shokin

[yat]

Dans le paradoxe de Russel (Crow ), est-il question d'appartenance ou d'inclusion ? de possession ou de globalisation ?

Il est question d'apartenance. Dans le cas de l'inclusion, la remarque de Bloud serait tout à fait juste, tout ensemble s'inclut lui-même.

[A voir en vidéo sur Futura]

[shokin]

Merci, Yat, mais à quoi sert ce paradoxe ?

Shokin

[invité576543]

Bonjour,

à quoi sert ce paradoxe ?

A montrer qu'on ne peut définir un ensemble par la simple donnée d'une propriété commune. En d'autres termes, une propriété que l'on pense pouvoir attribuer sans ambiguité comme vraie ou fausse (ici "appartenir à soi-même") n'est pas nécessairement une base acceptable pour définir un ensemble.

Cordialement,

[shokin]

Ah ! ok ! muchas gracias !

Shokin

[inviteeac53e14]

Merci beaucoup à tous!
J'ai enfin compris. Effectivement je confondais appartenance et inclusion. Maintenant tout est plus clair.
Il est quand même génial ce forum!!!

[invitec314d025]

A montrer qu'on ne peut définir un ensemble par la simple donnée d'une propriété commune. En d'autres termes, une propriété que l'on pense pouvoir attribuer sans ambiguité comme vraie ou fausse (ici "appartenir à soi-même") n'est pas nécessairement une base acceptable pour définir un ensemble.

Juste une petite précision supplémentaire: on ne peut pas définir un ensemble par la simple donnée d'une propriété commune, par contre on peut bien sûr définir un sous-ensemble d'un ensemble donné par la donnée d'une propriété commune (axiome de sélection).
On voit donc aussi qu'il ne peut pas exister un ensemble de tous les ensembles.

[invitedb5bdc8a]

Enfin, l'erreur dans les paradoxes de Russel est surtout liée à l'énoncé de la propriété qui est incorrect. La limite est toujours dans le vocabulaire utilisé. La production du paradoxe est le côté dynamique. Il existe un ensemble de tous les ensembles, c'est l'univers (ou la réunion des multivers) , mais ce simple fait lui confère des propriétés particulières. En effet, l'ensemble de tous les ensembles ne correspond pas à la définition d'un objet statique.
C'est la même chose pour l'ensemble des nombres que l'on peut définir par une phrase de moins de 100 caractères. On fait des hypothèses implicites qui permettent le paradoxe. On peut supprimer le paradoxe par une vue dynamique, et c'est pour moi cette fuite en avant qui est le moteur de l'univers: Vrai>faux>vrai>faux>vrai>faux est soit paradoxal, soit le temps fondamental.

[invite6f0362b8]

Il existe un paradoxe similaire ..

Le dictionnaire qui reference tout les dictionnaires qui ne se site pas eux meme ...

doit il se siter, ou ne pas se siter ...

on a juste remplacer ensemble par dico ...

[invitec314d025]

Enfin, l'erreur dans les paradoxes de Russel est surtout liée à l'énoncé de la propriété qui est incorrect. La limite est toujours dans le vocabulaire utilisé.

Non la propriété n'est pas incorrecte (elle a bien un sens mathématique), mais elle ne suffit pas à définir un ensemble. Ce n'est pas ici une question de vocabulaire.

Il existe un ensemble de tous les ensembles, c'est l'univers (ou la réunion des multivers) , mais ce simple fait lui confère des propriétés particulières.

Cela par contre n'a aucun sens en mathématiques.

[invite6f0362b8]

Un ensemble qui ne se contient pas lui meme ?

je pense que ya maldonne sur l'enonce de ton paradoxe ..
le veritable enoncé est


Le paradoxe de Russell (1902) se rapporte à l'ensemble de tous les ensembles qui ne se contiennent pas eux-mêmes comme élément.
(et pas comme ensemble d'element)

[invité576543]

Non la propriété n'est pas incorrecte (elle a bien un sens mathématique), mais elle ne suffit pas à définir un ensemble. Ce n'est pas ici une question de vocabulaire.

Juste une petite précision supplémentaire: on ne peut pas définir un ensemble par la simple donnée d'une propriété commune, par contre on peut bien sûr définir un sous-ensemble d'un ensemble donné par la donnée d'une propriété commune (axiome de sélection).

En combinant les deux commentaires, on peut ajouter qu'il existe des sous-ensembles définis par la propriété. Ainsi, dans un ensemble donné, on peut construire correctement le sous-ensemble des éléments dudit ensemble qui appartiennent à eux-mêmes...

Cordialement,

[invite6f0362b8]

(A - {a}) est un ensemble qui ne se contient pas lui meme comme element


et pas ( A - A ) qui est forcemen vide ...

[invité576543]

(A - {a}) est un ensemble qui ne se contient pas lui meme comme element


et pas ( A - A ) qui est forcemen vide ...

Ce que tu écris n'est pas très clair. Et il n'est pas très clair à quoi tu réponds ou tu objectes...

[invite6f0362b8]

l'enoncé du paradoxe de russel

n'est pas .;l'ensemble des esemble qui ne se contiennent pas eux meme ..

MAIS l'ensemble des esembles qui ne se contiennet pas eux meme comme element

d'ou comme exemple d 'un ensemble qui ne se contient pas comme element ..A - {a} .... et pas comme enoncé par bloud (A-A)

[invitec314d025]

Penelope je suis d'accord avec mmy.
Pour la différence entre inclusion et appartenance, cela a déjà été expliqué plus haut.
Et pour des exemples d'ensembles n'appartenant pas à eux-mêmes, pourqoi parles-tu de A - {a} ou de A - A ?
Prends l'ensemble vide directement. Il n'appartient pas à lui-même.

[invite6f0362b8]

On sera d'accord je pense qu'un ensemble ..meme en math ..ne contient pas forcement des nombres ....

donc

un dictionaire qui ne se site pas lui meme ..est meme en MATH, un ensemble qui ne se contient pas lui meme comme element

et pas un ensemble qui ne se contient pas lui meme ...

et L'enoncé du paradoxe de russel, ne dit pas un ensemble qui ne se contient pas lui meme (qui veut rien dire car forcement c 'est obligatoirement l'ensemble vide ) .. mais ensemble qui ne se contient pas lui meme comme element ...

Si vraiment bloud avait enonce le probleme correctement ..
peut tu me dire ce qu'est un ensemble qui ne se contient pas lui meme ( a part l'ensemble vide) ...et par extension .;l'ensemble des ensemble qui ne se contiennent pas eux meme ?

[invite6f0362b8]

je sais c 'est tre svieu mais ..{a} ca veut dire singleton {a} ..de mon temps on l'ecrivait comme ca

A - {a} , l'ensemble A moins le singleton a (qui lui fait reference)

A - A ; l'ensemble A moins l'ensemble A

[invite6f0362b8]

Bloud est en train de se demander qu'est ce qu'un ensemble qui ne se contient pas .;alors que dans l'enoncé exact du paradoxe de russel c 'est normalement
un ensemble qui ne se contient pas lui meme comme element qui normelement aurait du etre lu (ecrit)

[invité576543]

je sais c 'est tre svieu mais ..{a} ca veut dire singleton {a} ..de mon temps on l'ecrivait comme ca

A - {a} , l'ensemble A moins le singleton a (qui lui fait reference)

A - A ; l'ensemble A moins l'ensemble A

C'est pas un problème avec la notation (qui était claire d'entrée!), c'est ce que c'est sensé prouver qui n'est pas clair!

[invité576543]

Bloud est en train de se demander qu'est ce qu'un ensemble qui ne se contient pas .;alors que dans l'enoncé exact du paradoxe de russel c 'est normalement
un ensemble qui ne se contient pas lui meme comme element qui normelement aurait du etre lu (ecrit)

Cela a été clarifié dès le poste #2, non?

[invitec314d025]

Le problème sur l'énoncé de Bloud a (je répète) déjà été expliqué ! Pas la peine de le redonner cette explication à chaque message.
Sinon pas besoin non plus de nous réexpliquer toutes les notations mathématiques, on connaît.
Sinon je pense comprendre où tu voulais en venir avec A-{a}, ce serait plutôt A-{A} pour être sûr d'avoir un ensemble qui n'appartient pas à lui-même, mais si c'est ça c'est inutilement compliqué, et pas vraiment clair.

[EDIT: carambolage avec mmy]

[invitedb5bdc8a]

Non la propriété n'est pas incorrecte (elle a bien un sens mathématique), mais elle ne suffit pas à définir un ensemble. Ce n'est pas ici une question de vocabulaire.

Je ne suis pas d'accord mais il faudrait que nous en discutions sur un exemple bien exposé de paradoxe. Là où la propriété n'esst pas correcte c'est dans l'hypothèse implicite d'objet constant auquel elle s'adresse . Il y a deux manières de sortir du paradoxe, la manière "classique" (l'ensemble des ensembles qui ne se contiennent pas eux mêmes n'existe pas) et la manière dynamique qui consiste à remarquer que l'ensemble des ensembles qui ne se contiennent pas eux même est un ensemble à contenu variable.
Le raisonnement classique est :
si cet ensemble existe, et qu'il se contient, alors d'après la propriété de cet ensemble il est un ensemble qui ne se contient pas. Il y a contradiction.
Si il ne se contient pas, alors il est un ensemble qui ne se contient pas lui même, donc il a la propriété constitutrice, donc il s'appartient. Contradiction.
Les hypothèses implicites de ce raisonnement sont:
Il n'y a que 2 cas possibles mutuellement exclusifs: Soit il se contient, Soit il ne se contient pas.
Le statut d'appartenance est figé une fois pour toutes, il n'est pas variable.

L'interprétation dynamique est:
Quand cet ensemble s'appartient, et que cette appartenance est vérifiée, on réalise qu'il n'a pas la propriété requise. donc il est exclus, sorti de cet ensemble.
Quand il est en dehors de lui même, on peut constater quand l'attention se porte sur lui qu'il a la propriété requise et il peut revenir dans l'ensemble.
On obtient une mathématique dynamique qui inclut une notion intrinsèque de temps et qui se rapproche de l'informatique, mais qui ne me parait pas incompatible, ni incohérente. Je n'ai pas forcément la compétence ni le temps pour transformer cela en théorie mathématique complète mais on ne peut pas rejeter sa validité, d'autant plus qu'elle correspond bien à la "réalité" du traitement de l'information par un système cognitif.

Cela par contre n'a aucun sens en mathématiques.

N'a de sens en mathématiques que ce qui est défini. Personne n'a encore essayé d'aborder mathématiquement la question du tout, mais cet aspect me parait se rapprocher fortement du paradoxe de Russel.

[invitee65b1c3d]

Le problème sur l'énoncé de Bloud a (je répète) déjà été expliqué ! Pas la peine de le redonner cette explication à chaque message.
Sinon pas besoin non plus de nous réexpliquer toutes les notations mathématiques, on connaît.
Sinon je pense comprendre où tu voulais en venir avec A-{a}, ce serait plutôt A-{A} pour être sûr d'avoir un ensemble qui n'appartient pas à lui-même, mais si c'est ça c'est inutilement compliqué, et pas vraiment clair.

[EDIT: carambolage avec mmy]

Rien n'indique que A-{A} ne se contient pas lui même.

Immaginons qu'on dispose d'un ensemble A tel que :

A = {A,A-{A}}

Alors A-{A}={A-{A}} et il se contient lui même.

[invitee65b1c3d]

Je ne suis pas d'accord mais il faudrait que nous en discutions sur un exemple bien exposé de paradoxe. Là où la propriété n'esst pas correcte c'est dans l'hypothèse implicite d'objet constant auquel elle s'adresse .

Il s'agit d'une propriété définissable par une formule de la logique du premier ordre.
Il n'existe donc AUCUN problème de définition de cette propriété.

Il y a deux manières de sortir du paradoxe, la manière "classique" (l'ensemble des ensembles qui ne se contiennent pas eux mêmes n'existe pas) et la manière dynamique qui consiste à remarquer que l'ensemble des ensembles qui ne se contiennent pas eux même est un ensemble à contenu variable.

Non, il y a d'autres méthodes, notamment des méthodes qui consistent à considérer qu'il existe des objets différents des ensembles.
De plus, je ne vois pas en quoi ta première suggestion "résoud" le paradoxe.

Le raisonnement classique est :
si cet ensemble existe, et qu'il se contient, alors d'après la propriété de cet ensemble il est un ensemble qui ne se contient pas. Il y a contradiction.
Si il ne se contient pas, alors il est un ensemble qui ne se contient pas lui même, donc il a la propriété constitutrice, donc il s'appartient. Contradiction.
Les hypothèses implicites de ce raisonnement sont:
Il n'y a que 2 cas possibles mutuellement exclusifs: Soit il se contient, Soit il ne se contient pas.
Le statut d'appartenance est figé une fois pour toutes, il n'est pas variable.

L'interprétation dynamique est:
Quand cet ensemble s'appartient, et que cette appartenance est vérifiée, on réalise qu'il n'a pas la propriété requise. donc il est exclus, sorti de cet ensemble.
Quand il est en dehors de lui même, on peut constater quand l'attention se porte sur lui qu'il a la propriété requise et il peut revenir dans l'ensemble.
On obtient une mathématique dynamique qui inclut une notion intrinsèque de temps et qui se rapproche de l'informatique, mais qui ne me parait pas incompatible, ni incohérente. Je n'ai pas forcément la compétence ni le temps pour transformer cela en théorie mathématique complète mais on ne peut pas rejeter sa validité, d'autant plus qu'elle correspond bien à la "réalité" du traitement de l'information par un système cognitif.

N'a de sens en mathématiques que ce qui est défini. Personne n'a encore essayé d'aborder mathématiquement la question du tout, mais cet aspect me parait se rapprocher fortement du paradoxe de Russel.

Ici tu changes complètement la définition de l'interprétation d'une formule. Pourquoi pas, mais je me demande à quoi cette interprétation peut bien servir, d'autant plus qu'il y a des problèmes de définition.

[invitec314d025]

Rien n'indique que A-{A} ne se contient pas lui même.

Immaginons qu'on dispose d'un ensemble A tel que :

A = {A,A-{A}}

Alors A-{A}={A-{A}} et il se contient lui même.

Ah oui, en plus je n'avais pas vu que ça marchait pas. Merci

[invitedb5bdc8a]

Ici tu changes complètement la définition de l'interprétation d'une formule. Pourquoi pas, mais je me demande à quoi cette interprétation peut bien servir, d'autant plus qu'il y a des problèmes de définition.

Heureusement qu'en maths on ne se demande pas à quoi ça peut bien servir
Certes ce n'est pas là l'exposé d'une théorie aboutie ni même aux bases bien définies, mais c'est du même niveau de réflexion que l'axiome du choix. Ca me parait assez intéressant à explorer. Cela conduit à une mathématique très proche de l'informatique, et rien que cet aspect me parait séduisant.

[invitee65b1c3d]

Certes ce n'est pas là l'exposé d'une théorie aboutie ni même aux bases bien définies, mais c'est du même niveau de réflexion que l'axiome du choix.

Pas vraiment :l'axiome du choix permet de démontrer des théorèmes.