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rejet du principe du tiers exclus et rejet des transfinis

  1. karlp

    Date d'inscription
    avril 2010
    Messages
    2 806

    rejet du principe du tiers exclus et rejet des transfinis

    Bonjour à tous

    Je ne parviens pas, au travers des textes que j'ai peut-être lu trop rapidement, à déterminer si le rejet du principe du tiers exclus par les intuitionnistes est à l'origine du rejet des ensembles infinis (et des nombres transfinis) ou si c'est l'inverse, ou encore si les deux rejets sont indépendants.

    Je sollicite donc vos avis éclairés

    -----

     


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  2. Médiat

    Date d'inscription
    août 2006
    Âge
    67
    Messages
    17 126

    Re : rejet du principe du tiers exclus et rejet des transfinis

    Bonjour cher karlp,

    Si je ne m'abuse (ni intuitionnisme, ni finitisme ne sont ma spécialité), le rejet des ensembles infinis, c'est à dire faire des mathématiques finitistes, permet de démontrer le tiers exclu, et donc le rejeter comme axiome ne sert pas à grand-chose.

    Amicalement
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
     

  3. karlp

    Date d'inscription
    avril 2010
    Messages
    2 806

    Re : rejet du principe du tiers exclus et rejet des transfinis

    Citation Envoyé par Médiat Voir le message
    Bonjour cher karlp,

    Si je ne m'abuse (ni intuitionnisme, ni finitisme ne sont ma spécialité), le rejet des ensembles infinis, c'est à dire faire des mathématiques finitistes, permet de démontrer le tiers exclu, et donc le rejeter comme axiome ne sert pas à grand-chose.

    Amicalement
    Je savais que je pouvais compter sur vous très cher Médiat !

    J'essaye de traduire: voulez vous dire que dans les mathématiques finitistes il y a parfaite correspondance entre les énoncés dont on peut exhiber la preuve et ce que permet de démontrer le principe du tiers exclus ?

    Je dois vous avouer par ailleurs que je ne parviens vraiment pas à comprendre ce rejet du tiers exclus (pas plus que le rejet des infinis d'ailleurs)* ; moins encore depuis que j'ai lu votre message.

    Ma question porte en réalité sur la "cohérence" globale des énoncés "philosophiques" des intuitionnistes. J'ai cru comprendre qu'il y avait un lien direct entre le rejet de l'infini actuel et celui du tiers exclus ( dans la mesure, où, sauf erreur de ma part, les raisonnements sur les nombres infinis font la part belle au raisonnement par l'absurde - me vient immédiatement en mémoire l'argument diagonal de Cantor). Je me demandais donc - à supposer qu'il y ait effectivement relation directe entre ces deux rejets - si l'un précédait logiquement ou "affectivement" l'autre.

    Amicalement

    * S'il y a dans les parages un intuitionniste qui saurait argumenter l'un ou l'autre de ces rejets, j'en serais fort intéressé (je ne serai jamais convaincu, mais cela ne m'interdit pas de "comprendre".)
     

  4. Matmat

    Date d'inscription
    mai 2005
    Messages
    1 047

    Re : rejet du principe du tiers exclus et rejet des transfinis

    Citation Envoyé par karlp Voir le message
    ... les deux rejets sont indépendants.
    Oui et l'intuitioniste et le finitisme sont différents !

    L'intuitioniste et le finitiste disent tout deux que le tiers exclus ne devrait pouvoir etre admis que si on pouvait vérifier tous les objets impliqués, or comme si on ne parlait que d'ensembles finis on admettrait le tiers exclus (puisqu'on pourrait toujours vérifier tous les objets impliqués) il y a deux "solutions" à un même problème (rejeter le tiers exclus ou rejeter les infinis), les deux doctrines se sont opposées (Brouwer intuitioniste contre Hilbert finitiste par ex).

    Citation Envoyé par karlp Voir le message
    Ma question porte en réalité sur la "cohérence" globale des énoncés "philosophiques" des intuitionnistes.
    Pour Hilbert le finitisme se justifie sur l'idée que tout processus de pensée est forcément fini, mais selon Brouwer Hilbert fait une confusion :
    « Les preuves mathématiques mentales, qui contiennent en général une infinité de termes, ne doivent pas être confondues avec leurs corrélats linguistiques, lesquels sont finis et nécessairement inadéquats, et n’appartiennent donc pas aux mathématiques. » (Brouwer)
    Dernière modification par Matmat ; 02/03/2011 à 18h17.
     

  5. karlp

    Date d'inscription
    avril 2010
    Messages
    2 806

    Re : rejet du principe du tiers exclus et rejet des transfinis

    Bonsoit Matmat et merci d'abord pour votre réponse.

    Je vous avoue être perdu

    Oui et l'intuitioniste et le finitisme sont différents !

    L'intuitioniste et le finitiste disent tout deux que le tiers exclus ne devrait pouvoir etre admis que si on pouvait vérifier tous les objets impliqués, or comme si on ne parlait que d'ensembles finis on admettrait le tiers exclus (puisqu'on pourrait toujours vérifier tous les objets impliqués)
    J'ignore tout du finitisme; que grace à vous je découvre.
    Ce que vous formulez correspond bien à ce que j'ai pu saisir de l'intuitionnisme.


    il y a deux "solutions" à un même problème (rejeter le tiers exclus ou rejeter les infinis), les deux doctrines se sont opposées (Brouwer intuitioniste contre Hilbert finitiste par ex).
    Je croyais que les intuitionnistes rejettaient le principe du tiers exclus ET les ensembles transfinis.
    Quand vous dîtes que Hilbert est finitiste (ce qui est vérifiable sur la toile, je vous le confirme) , voulez vous dire qu'il rejette les nombres transfinis ? Cela ne colle pas avec ce que j'ai pu lire sur l'admiration qu'il portait à la théorie cantorienne.
    Mais peut-être a t'il changé d'avis par la suite ?


    Pour Hilbert le finitisme se justifie sur l'idée que tout processus de pensée est forcément fini
    Je ne comprends pas, mais ce n'est qu'en raison de mon ignorance de ce qu'est le finitisme (je croyais très naïvement que cela désignait une option en terme de choix d'ensembles).


    ,
    mais selon Brouwer Hilbert fait une confusion :
    « Les preuves mathématiques mentales, qui contiennent en général une infinité de termes, ne doivent pas être confondues avec leurs corrélats linguistiques, lesquels sont finis et nécessairement inadéquats, et n’appartiennent donc pas aux mathématiques. » (Brouwer)
    Là non plus je ne comprends pas: que désigne t'il par ces "termes" et ces "corrélats linguistiques" , pouvez vous m'éclairer ?
     


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  6. Matmat

    Date d'inscription
    mai 2005
    Messages
    1 047

    Re : rejet du principe du tiers exclus et rejet des transfinis

    Citation Envoyé par karlp Voir le message
    Je croyais que les intuitionnistes rejettaient le principe du tiers exclus ET les ensembles transfinis.
    "l’infini actuel des cantoriens, il existe bien, pourvu que nous le confinions à ce qui peut être intuitivement construit, et que nous nous abstenions de l’étendre par des combinaisons logiques qui ne peuvent pas être réalisées" (Brouwer)

    Citation Envoyé par karlp Voir le message
    Quand vous dîtes que Hilbert est finitiste (ce qui est vérifiable sur la toile, je vous le confirme) , voulez vous dire qu'il rejette les nombres transfinis ? Cela ne colle pas avec ce que j'ai pu lire sur l'admiration qu'il portait à la théorie cantorienne.
    Hilbert tente de sauver les transfinis en les justifiant par des moyens finis, c'est en ce sens qu'il est considéré finitiste.
    Et il est non intuitioniste au sens où il refuse totalement d'exclure le tiers exclus.

    Quoiqu'il en soit finitisme et intuitionisme sont deux doctrines différentes.
     

  7. Matmat

    Date d'inscription
    mai 2005
    Messages
    1 047

    Re : rejet du principe du tiers exclus et rejet des transfinis

    Le finitisme "au sens de rejets des transfinis" n'a rien à voir avec l'intuitionnisme , c'est celui de Kronecker et Poincaré ... eux aussi opposées à Hilbert comme les intuitionnistes mais les intuitionnistes ne rejettent pas les transfinis , les intuitionistes sont "finitistes" seulement au sens où ils n'admettent que les démonstration constructives mais Hilbert aussi et sans etre intuitionniste !.

    C'est vrai que ca prete à confusion !
    Dernière modification par Matmat ; 02/03/2011 à 20h51.
     

  8. karlp

    Date d'inscription
    avril 2010
    Messages
    2 806

    Re : rejet du principe du tiers exclus et rejet des transfinis

    Bonjour à tous.
    De nouveau merci Matmat pour vos lumières

    Citation Envoyé par Matmat Voir le message
    "l’infini actuel des cantoriens, il existe bien, pourvu que nous le confinions à ce qui peut être intuitivement construit, et que nous nous abstenions de l’étendre par des combinaisons logiques qui ne peuvent pas être réalisées" (Brouwer)
    Voilà qui me stupéfait: j'ai lu un peu "partout" que les intuitionnistes rejettaient l'infini actuel. Vous me permettez de corriger là une erreur que je ne soupçonnais pas.
    Avez vous une idée de ce qu'implique cette expression "pourvu que nous le confinions à ce qui peut-être intuitivement construit" ?

    Cela signifie t'il qu'ils rejettent l'arithmétique (les relations arithmétiques) des nombres transfinis; ou l'extension du théorème de Cantor sur la cardinalité de P(E), où E serait un ensemble transfini; ou encore la démonstration établissant que le card de IR est strictement plus grand le card de IN ?

    Hilbert tente de sauver les transfinis en les justifiant par des moyens finis, c'est en ce sens qu'il est considéré finitiste.
    Et il est non intuitioniste au sens où il refuse totalement d'exclure le tiers exclus.
    C'est effectivement ce que j'ai pu tirer de quelques rapides lectures hier soir; mais je n'ai rien trouvé sur cette justification (je n'aurai pas accès à Universalis avant la semaine prochaine)


    Quoiqu'il en soit finitisme et intuitionisme sont deux doctrines différentes
    : ce que vous me permettez de découvrir, je vous en sais gré.

    Bonne journée à tous.
     

  9. karlp

    Date d'inscription
    avril 2010
    Messages
    2 806

    Re : rejet du principe du tiers exclus et rejet des transfinis

    Citation Envoyé par Matmat Voir le message
    Le finitisme "au sens de rejets des transfinis" n'a rien à voir avec l'intuitionnisme , c'est celui de Kronecker et Poincaré ... eux aussi opposées à Hilbert comme les intuitionnistes mais les intuitionnistes ne rejettent pas les transfinis , les intuitionistes sont "finitistes" seulement au sens où ils n'admettent que les démonstration constructives mais Hilbert aussi et sans etre intuitionniste !.

    C'est vrai que ca prete à confusion !
    J'ai cru comprendre que Hilbert considérait "simplement"(?) qu'il fallait admettre une différence de statut entre les énoncés concernant les ensembles finis et ceux se rapportant aux ensembles transfinis. Cette différence de statut reste toutefois un peu obscur pour moi.
     

  10. Médiat

    Date d'inscription
    août 2006
    Âge
    67
    Messages
    17 126

    Re : rejet du principe du tiers exclus et rejet des transfinis

    Bonjour,

    Je vous donne deux liens sur une même discussion, avec des liens sur des textes de Poincaré et de Borel :

    Tous les ensembles infinis sont dénombrables

    Tous les ensembles infinis sont dénombrables

    Amicalement
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
     

  11. karlp

    Date d'inscription
    avril 2010
    Messages
    2 806

    Re : rejet du principe du tiers exclus et rejet des transfinis



    Merci Médiat!
    Bonne journée à vous!
     


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