Je suis allé très vite, donc sans doute plein d’imprécisions :Envoyé par Michel (mmy)
Plusieurs réponses :
La réponse du platonicien (que je ne suis pas) : Il s'agit de l'ensemble des nombres entiers, qui existe puisque c'est le sujet de l'arithmétique ; c'est bien cette existence qui autorise à énoncer le théorème de Gödel sous la forme "vrai mais indémontrable" (voir à ce sujet la discussion avec Sephi (platonicien vs formaliste) que j'ai trouvée très intéressante, tant Sephi s'est montré plus intéressé par comprendre un autre point de vue que par imposer le sien, c'est assez rare pour être noté)
La réponse de Kronecker (que je ne suis pas, mais dans un autre sens) : c'est Dieu qui a créé les nombres entiers, vous n'allez pas discuter avec Dieu, quand même !
La réponse du ZFCOC (ZFC-iste obsessionnel compulsif) : il suffit de se placer dans un modèle de ZFC, et de prendre le plus petit ordinal limite (n’importe quel modèle puisque cet ordinal est absolu) et de créer une nouvelle relation qui est définissable
La réponse du philosophe jargonneux : C’est un processus normal de faire du Un avec le Multiple
La réponse du constructiviste : Je peux définir 0 (ou l’ensemble vide), donc je peux définir 1, puis 2 etc. ; après avoir construit les nombres entiers (et pas l’ensemble des nombres entiers), je peux définir une nouvelle relation
La réponse qui se mord la queue : comme ZFC –infini est consistante, il suffit d’en prendre un modèle et de considérer la classe (avec NBG se serait même un objet du modèle) des entiers de Von Neumann, qui permet de fabriquer un nouveau modèle.
La réponse qui me convient le mieux : il n’est pas nécessaire d’avoir toute l’artillerie de ZFC (ou de NBG) pour fabriquer un tel modèle : je n’ai pas besoin de manipuler « l’ensemble des entiers » en tant qu’ensemble (l’ensemble de ses parties, par exemple ne m’intéresse pas ici), appelons-le simplement classe (sans pour autant convoquer NBG), ou collection (et du coup la réponse du philosophe jargonneux ne prête plus à rire), j'ai supposé que tu étais d'accord pour dire que les entiers sont constructibles.
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), etc.), que ceux pour lesquels je sais qu’il existe une bijection avec IN (dénombrables) sont moins faciles à utiliser, mais cela reste possible (c’est Borel qui parle), cette façon de voir est donc plus large que celle de Schonflies qui ne considère que les premiers (héréditairement en plus). Mais comme Borel ne peut pas ne pas considérer IR qui n’est pas dénombrable, il accepte cet ensemble ainsi que tous les complémentaires des ensembles dénombrables (c’est pour cela qu’il parle de « négatif »). Je suppose que tu avais compris tout cela, mais il fallait que nous soyons d’accord sur la question avant d’aborder la réponse. Ce que je trouve intéressant, c’est la définition de Borel permet de limiter énormément les ensembles dont on va parler, et le sous-entendu, c’est que ces ensembles sont suffisants pour faire toutes les mathématiques, cette position est intermédiaire entre l’intuitionnisme (plus proche de la phrase 3), et celle d’un extrémiste (comme moi) qui ne se pose pas la question de la construction effective, mais simplement de ce que je peux concevoir (ou même simplement dont je peux concevoir que je pourrais le concevoir (ad libitum)), ce qui rejoint une position que je ne vais pas répéter une quatorzième fois 
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-catégorique, elle n'a qu'un seul modèle dénombrable, et pour certaines théorie (les différentes arithmétiques par exemple) le cardinal "naturel" est le dénombrable ; mais un formaliste dirait c'est quoi ce "naturel" ; d'autre part même si une théorie est 
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