Démontrer que l'union de 2 ensembles dénombrables est dénombrable.

[invite96e76cc9]

Bonjour, Bonsoir.

Fraîchement arrivé en sup, j'ai un peu de mal avec mon devoir maison de maths.

Je souhaite démontrer que l'union de deux ensembles A et B dénombrables est dénombrable.

Voici mon raisonnement:

Dans le cas où A et B sont finis, cela ne pose pas de problème, AUB sera fini, donc dénombrable.

Dans le cas où A est fini et B strictement dénombrable, je sais pas comment faire.

Dans le cas où A et B sont strictement dénombrables, je souhaite construire une bijection de A avec les entiers naturels pairs, et une bijection de B avec les entiers naturels impairs, et montrer ainsi que AUB est en bijection avec les naturels, donc dénombrable.
Le problème c'est que je ne maitrise pas encore la construction de bijection, et je ne vois pas trop à quoi ça peut bien ressembler tout ça.

Si vous pouviez m'aider, ça serait sympa.

Merci.
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[invite636fa06b]

Bonsoir,

Effectivement, tu as tout dans la tête, il ne te reste qu'à le mettre en forme.
Tu peux déjà raisonner directement sur le cas le plus général, avec deux ensembles dénombrables A et B
Il faut revenir à la définition A dénombrable équivaut à dire qu'il existe une bijection fA de A dans N et idem pour B
Il te reste à construire une fonction g à partir de fA et fB

[invite96e76cc9]

Oui, mais justement ce que je ne sais pas faire c'est "construire" une bijection ? Comment fait-on ? A quoi ressemble le résultat ?

[invite636fa06b]

Supposons que A et B soient disjoints,
tu peux définir g(x) par
2fA(x) si x appartient à A
2fB(x)-1 si x appartient à B.
Il te reste à vérifier que c'est bien une bijection
Si tes ensembles ne sont pas disjoints, ce sera une injection, ce qui suffit à montrer que l'union est dénombrable

[A voir en vidéo sur Futura]