Répondre à la discussion
Page 2 sur 2 PremièrePremière 2
Affichage des résultats 31 à 44 sur 44

Tous les ensembles infinis sont dénombrables



  1. #31
    Médiat

    Re : Tous les ensembles infinis sont dénombrables


    ------

    Citation Envoyé par Michel (mmy) Voir le message
    Mais ma question de fond était sur ZF en général. Simplement, tous les exemples de modèles que j'ai rencontré sont décrits en partant d'un ensemble (selon ZF dont infini), et le modèle d'Ackermann n'échappe pas à la règle.

    Il y a pour moi une difficulté à parler d'un modèle de ZF décrit en partant d'un ensemble!
    Je suis allé très vite, donc sans doute plein d’imprécisions :
    Plusieurs réponses :
    La réponse du platonicien (que je ne suis pas) : Il s'agit de l'ensemble des nombres entiers, qui existe puisque c'est le sujet de l'arithmétique ; c'est bien cette existence qui autorise à énoncer le théorème de Gödel sous la forme "vrai mais indémontrable" (voir à ce sujet la discussion avec Sephi (platonicien vs formaliste) que j'ai trouvée très intéressante, tant Sephi s'est montré plus intéressé par comprendre un autre point de vue que par imposer le sien, c'est assez rare pour être noté)
    La réponse de Kronecker (que je ne suis pas, mais dans un autre sens) : c'est Dieu qui a créé les nombres entiers, vous n'allez pas discuter avec Dieu, quand même !
    La réponse du ZFCOC (ZFC-iste obsessionnel compulsif) : il suffit de se placer dans un modèle de ZFC, et de prendre le plus petit ordinal limite (n’importe quel modèle puisque cet ordinal est absolu) et de créer une nouvelle relation qui est définissable
    La réponse du philosophe jargonneux : C’est un processus normal de faire du Un avec le Multiple
    La réponse du constructiviste : Je peux définir 0 (ou l’ensemble vide), donc je peux définir 1, puis 2 etc. ; après avoir construit les nombres entiers (et pas l’ensemble des nombres entiers), je peux définir une nouvelle relation
    La réponse qui se mord la queue : comme ZFC –infini est consistante, il suffit d’en prendre un modèle et de considérer la classe (avec NBG se serait même un objet du modèle) des entiers de Von Neumann, qui permet de fabriquer un nouveau modèle.
    La réponse qui me convient le mieux : il n’est pas nécessaire d’avoir toute l’artillerie de ZFC (ou de NBG) pour fabriquer un tel modèle : je n’ai pas besoin de manipuler « l’ensemble des entiers » en tant qu’ensemble (l’ensemble de ses parties, par exemple ne m’intéresse pas ici), appelons-le simplement classe (sans pour autant convoquer NBG), ou collection (et du coup la réponse du philosophe jargonneux ne prête plus à rire), j'ai supposé que tu étais d'accord pour dire que les entiers sont constructibles.

    -----
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  2. Publicité
  3. #32
    Médiat

    Re : Tous les ensembles infinis sont dénombrables

    Citation Envoyé par Michel (mmy) Voir le message
    Tu indiques plusieurs fois "épistémologiquement intéressant". Pourrais-tu développer en quoi le 4 est intéressant? (J'ai mes idées sur le sujet, mais ce sont les tiennes dont je voudrais avoir une idée.)
    D’abord un argument d’autorité (qui ne te convainc sans doute pas plus que moi, mais on peut le citer néanmoins) : si Borel le dit c’est forcément intéressant, mais ce n’est pas la vrai raison, ce que je trouve intéressant c’est de considérer (c’est assez courant) que les entiers ne posent pas de problème (j’aurais pu ajouter cette réponse à la liste de la question précédente), que les ensembles pour lesquels je peux exhiber une bijection avec IN (énumérables) sont forcément acceptables (compréhensibles, manipulables (), etc.), que ceux pour lesquels je sais qu’il existe une bijection avec IN (dénombrables) sont moins faciles à utiliser, mais cela reste possible (c’est Borel qui parle), cette façon de voir est donc plus large que celle de Schonflies qui ne considère que les premiers (héréditairement en plus). Mais comme Borel ne peut pas ne pas considérer IR qui n’est pas dénombrable, il accepte cet ensemble ainsi que tous les complémentaires des ensembles dénombrables (c’est pour cela qu’il parle de « négatif »). Je suppose que tu avais compris tout cela, mais il fallait que nous soyons d’accord sur la question avant d’aborder la réponse. Ce que je trouve intéressant, c’est la définition de Borel permet de limiter énormément les ensembles dont on va parler, et le sous-entendu, c’est que ces ensembles sont suffisants pour faire toutes les mathématiques, cette position est intermédiaire entre l’intuitionnisme (plus proche de la phrase 3), et celle d’un extrémiste (comme moi) qui ne se pose pas la question de la construction effective, mais simplement de ce que je peux concevoir (ou même simplement dont je peux concevoir que je pourrais le concevoir (ad libitum)), ce qui rejoint une position que je ne vais pas répéter une quatorzième fois .

    Cordialement
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  4. #33
    Médiat

    Re : Tous les ensembles infinis sont dénombrables

    Citation Envoyé par Médiat Voir le message
    surtout que j'aurais montré qu'utiliser "nombre d'éléments" à la place de cardinal est une énorme erreur.
    Illustration : http://forums.futura-sciences.com/ma...ensembles.html.

    La question pédagogique qui se pose est peut-on utiliser des approximations conceptuels pour enseigner ?

    Oui, d'un point de vue utilitariste (si le but n'est pas de comprendre la notion de cardinal, mais de savoir l'utiliser dans la majorité des cas)

    Non, d'un point de vue formel (et après il faut déconstruire les idées reçues avant de faire comprendre les idées vraies)
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  5. #34
    invite7863222222222
    Invité

    Re : Tous les ensembles infinis sont dénombrables

    Bonjour,

    Citation Envoyé par Médiat Voir le message
    (Je suis très pris par le temps, désolé)

    pareil ici, c'est pourquoi je n'ai pas encore pu lire attentivement les réponses, ce que j'espère faire dès que j'ai un peu plus de temps.

  6. #35
    invité576543
    Invité

    Re : Tous les ensembles infinis sont dénombrables

    Cela me fait gamberger, tout ça...

    D'où des questions (prochain message), et des élucubrations...

    Je ne vais pas entrer dans le détail de mon raisonnement, du pur délire, juste présenter les conclusions :

    1) Si ZF (avec infini) est aleph0-catégorique, alors il n'y a pas de différence pratique entre les formalistes et les platoniciens;

    2) Si ZF n'est pas aleph0-catégorique, mais s'il existe ZF+xxx, xxx un ensemble d'axiomes complémentaires choisis sur des critères "rationnels" (genre ce que fait Woodin) qui est aleph0-catégorique, alors il y a un terrain de convergence des deux points de vue. (La divergence restante portant sur le statut des variantes non xxx de ZF.)

    3) Sinon, le point de vue formaliste est correct.

    Est-ce que cela évoque des réflexions du même genre d'une autorité (je ne dis plus "pur délire", alors...)?

    Cordialement,

  7. #36
    invité576543
    Invité

    Re : Tous les ensembles infinis sont dénombrables

    Les questions portent sur les propriétés de P(N) qui sont démontrables dans ZF (donc "absolues", vraie dans tous les modèles, y compris les modèles dénombrables). Intuitivement, il y a :

    a) P(N) contient tous les sous-ensembles finis de N

    b) P(N) est clos par intersection

    c) P(N) est clos par union finie

    d) P(N) est clos par disjonction

    e) Tout élément de P(N) est strictement inclus dans au moins un autre élément de P(N)

    Plus conjectural :

    f) Il existe au moins un élément de P(N) isomorphe à N

    Me gourre-je?

    Y a-t-il d'autres propriétés élémentaires intéressantes à rajouter?

    Cordialement,

  8. Publicité
  9. #37
    Médiat

    Re : Tous les ensembles infinis sont dénombrables

    Citation Envoyé par Michel (mmy) Voir le message
    1) Si ZF (avec infini) est aleph0-catégorique, alors il n'y a pas de différence pratique entre les formalistes et les platoniciens;
    Je ne sais pas si par "pratique" tu veux dire "dans leur pratique", si oui je serais encore plus brutal : il n'y as pas de différence dans leur pratique entre platoniciens et formalistes.

    Je suppute que ce n'est pas ce que tu veux dire, alors je continue : Si une théorie T est -catégorique, elle n'a qu'un seul modèle dénombrable, et pour certaines théorie (les différentes arithmétiques par exemple) le cardinal "naturel" est le dénombrable ; mais un formaliste dirait c'est quoi ce "naturel" ; d'autre part même si une théorie est -catégorique et -catégorique (c'est à dire catégorique en tout cardinal), il n'est reste pas moins qu'il existe des modèles dans chaque cardinal et qui ne sont donc pas isomorphes.


    Citation Envoyé par Michel (mmy) Voir le message
    2) Si ZF n'est pas aleph0-catégorique, mais s'il existe ZF+xxx, xxx un ensemble d'axiomes complémentaires choisis sur des critères "rationnels" (genre ce que fait Woodin) qui est aleph0-catégorique, alors il y a un terrain de convergence des deux points de vue. (La divergence restante portant sur le statut des variantes non xxx de ZF.)
    Je vais être dur : il n'est pas possible que ZF+xxx soit -catégorique (et récursivement axiomatisable, condition nécessaire pour que nous puissions en parler), sinon elle serait complète ce qui contredit le théorème d'incomplétude de Gödel (je ne le répète pas à chaque fois, mais nous parlons uniquement de logique classique du 1er ordre).

    Citation Envoyé par Michel (mmy) Voir le message
    3) Sinon, le point de vue formaliste est correct.
    Je ne comprends ce que tu veux dire (pas de ?, est-ce une appréciation personnelle ? Je serais forcément d'accord )

    Cordialement,
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  10. #38
    invité576543
    Invité

    Re : Tous les ensembles infinis sont dénombrables

    Citation Envoyé par Médiat Voir le message
    il n'y as pas de différence dans leur pratique entre platoniciens et formalistes.
    Je sais bien!

    Je suppute que ce n'est pas ce que tu veux dire
    ,

    Ce que je veux dire c'est que cela n'a strictement aucune importance dans ce cas là, que la différence de position n'est qu'une sorte d'illusion.

    Je vais être dur
    Pourquoi? Je ne discute pas, j'apprends.

    il n'est pas possible que ZF+xxx soit -catégorique (et récursivement axiomatisable, condition nécessaire pour que nous puissions en parler), sinon elle serait complète ce qui contredit le théorème d'incomplétude de Gödel
    Cela vire un de mes "si". Mais cela s'applique aussi à ZF "sec", non? Tu aurais pu faire le commentaire dès le 1), non?

    ---

    Quand au 3), c'est le cas où ni les conditions du 1) ni celles du 2) ne sont remplies, ce qui semble être ce que tu dis. Auquel cas mes élucubrations personnelles sur "tous les ensembles infinis sont dénombrables" m'amène à préférer la position formaliste.

    Cordialement,

  11. #39
    Médiat

    Re : Tous les ensembles infinis sont dénombrables

    Citation Envoyé par Michel (mmy)
    a) P(N) contient tous les sous-ensembles finis de N
    Oui, c'est l'application des axiomes de la paire et de l'union appliqués un nombre fini de fois.
    Citation Envoyé par Michel (mmy)
    b) P(N) est clos par intersection
    Oui (intersection finie), c'est l'application du schéma de séparation avec un nombre fini d'appartenance
    Citation Envoyé par Michel (mmy)
    c) P(N) est clos par union finie
    Oui, c'est l'application de l'axiome de l'union
    Citation Envoyé par Michel (mmy)
    d) P(N) est clos par disjonction
    C'est quoi la disjonction dans ce cas ?
    Citation Envoyé par Michel (mmy)
    e) Tout élément de P(N) est strictement inclus dans au moins un autre élément de P(N)
    Presque, IN lui-même ne vérifie pas cela, sinon oui (l'ensemble en question auquel on ajoute le plus petit qui n'est pas dedans (c'est sympa de travailler avec un ordinal)).
    Citation Envoyé par Michel (mmy)
    Y a-t-il d'autres propriétés élémentaires intéressantes à rajouter?
    Clos par passage au complémentaire par application du shéma de séparation.
    Je suppose que l'on pourrait allonger la liste (imagination plus les axiomes)
    Citation Envoyé par Michel (mmy)
    f) Il existe au moins un élément de P(N) isomorphe à N
    Différent de IN, je suppose. Oui, il suffit de prendre le complémentaire de {0} dans IN
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  12. #40
    Médiat

    Re : Tous les ensembles infinis sont dénombrables

    Citation Envoyé par Michel (mmy) Voir le message
    Cela vire un de mes "si". Mais cela s'applique aussi à ZF "sec", non? Tu aurais pu faire le commentaire dès le 1), non?
    Oui, mais en séparant mes réponses cela permet de donner deux types de réponses différentes et complémentaires, mais si cela te dérange je ne recommencerai plus.

    Citation Envoyé par Michel (mmy) Voir le message
    Quand au 3), c'est le cas où ni les conditions du 1) ni celles du 2) ne sont remplies, ce qui semble être ce que tu dis. Auquel cas mes élucubrations personnelles sur "tous les ensembles infinis sont dénombrables" m'amène à préférer la position formaliste.
    Donc je suis d'accord.


    PS : les échanges risquent de devenir difficiles, si je dis quelque chose qui est évident pour toi (ce qui n'est pas forcément le cas de tous les lecteurs), tu manifestes un certain énervement ("Je sais bien !"), et lorsque je ne répond pas directement à la question 1 puisque ma réponse à la 2 répond aussi à la 1, même si cela me permet d'élargir le raisonnement, tu manifestes encore de l'énervement ("Tu aurais pu faire le commentaire dès le 1), non?"), cette dernière parenthèse n'étant pas une question puisque tu connais parfaitement la réponse (et je ne parle pas de ton commentaire sur "Je vais être dur").
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  13. #41
    invité576543
    Invité

    Re : Tous les ensembles infinis sont dénombrables

    Citation Envoyé par Médiat Voir le message
    C'est quoi la disjonction dans ce cas ?
    Je voulais dire les élements de B qui ne sont pas dans A, mais c'est couvert par la complémentarité que tu as ajoutée.

    Presque, IN lui-même ne vérifie pas cela
    Effectivement, et il est dans P(N), par complémentarité du vide.

    =========

    Si je vois bien, cela donne les ss-ensembles finis et leur complémentaires.

    Est-ce tout pour ce qui est nécessairement présent?

    Et dans tous les cas, c'est une algèbre de Boole.

    Le minimum serait l'algèbre de Boole engendrée par les singletons. C'est ça?

    ====

    Ensuite, toujours par curiosité, il y a-t-il quelque résultat connu sur la question de modèles où P(N) a des éléments en plus du minimum garanti tout en n'ayant pas le maximum? (Il peut y avoir un rapport avec HC, j'imagine?)

    Cordialement,

  14. #42
    Médiat

    Re : Tous les ensembles infinis sont dénombrables

    Citation Envoyé par Michel (mmy) Voir le message
    Effectivement, et il est dans P(N), par complémentarité du vide.
    C'est exact, mais ce n'est pas la meilleure raison, il me semble que la meilleure raison c'est que IN est un ensemble (au sens du modèle, sinon on n'en parlerait pas) inclu dans IN, donc il est dans P(IN).

    Citation Envoyé par Michel (mmy) Voir le message
    Est-ce tout pour ce qui est nécessairement présent?
    Non : les nombres pairs ne sont ni finis ni cofinis, mais ils sont définissables (la multiplication par 2 est définissable), donc par séparation ils forment un ensemble.


    Citation Envoyé par Michel (mmy) Voir le message
    Ensuite, toujours par curiosité, il y a-t-il quelque résultat connu sur la question de modèles où P(N) a des éléments en plus du minimum garanti tout en n'ayant pas le maximum? (Il peut y avoir un rapport avec HC, j'imagine?)
    Je ne m'étais jamais posé la question, mais il me semble que si il n'existait que deux types de modèles (un où P(N) est minimum, et un où il est maximum) avec un schéma d'axiomes supplémentaires on pourrait avoir une théorie ou P(N) serait absolu, sans y réfléchir trop, je doute. D'autre part le forcing doit permettre de créer des modèles "entre les deux", mais il va de soi que ces sentiments ne sont pas des démonstrations.
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  15. Publicité
  16. #43
    invité576543
    Invité

    Re : Tous les ensembles infinis sont dénombrables

    Citation Envoyé par Médiat Voir le message
    les nombres pairs ne sont ni finis ni cofinis, mais ils sont définissables (la multiplication par 2 est définissable), donc par séparation ils forment un ensemble.
    C'est la puissance de l'axiome de séparation qui m'apparaît la plus difficile à sonder. (Et cela doit avoir un rapport avec le point 4.)

    Pour les nombres pairs, l'idée serait l'isomorphisme avec un produit cartésien d'une paire et d'un ensemble fini quelconque, quelque chose comme cela?

    Cordialement,

  17. #44
    Médiat

    Re : Tous les ensembles infinis sont dénombrables

    Citation Envoyé par Michel (mmy) Voir le message
    C'est la puissance de l'axiome de séparation qui m'apparaît la plus difficile à sonder.
    C'est clairement le point clé, c'est d'ailleurs ce schéma d'axiomes qui a permis d'évacuer le paradoxe de Russell

    Citation Envoyé par Michel (mmy) Voir le message
    (Et cela doit avoir un rapport avec le point 4.)
    Je dirais plus avec le point 3, bien ce dernier soit plus (trop ?) restrictif. Pour le 4 , Borel est près à accepter tous les ensembles dénombrables, donc même ceux qui ne sont pas définissables (différence entre dénombrable et énumérable)

    Citation Envoyé par Michel (mmy) Voir le message
    Pour les nombres pairs, l'idée serait l'isomorphisme avec un produit cartésien d'une paire et d'un ensemble fini quelconque, quelque chose comme cela?
    Oui, et d'une façon plus générale, l'addition et la multiplication des ordinaux est définissable (pour les ordinaux finis, c'est particulièrement simple, d'ailleurs tu viens de le faire pour la multiplication).

    Cordialement
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

Page 2 sur 2 PremièrePremière 2

Discussions similaires

  1. Ensembles dénombrables
    Par minidiane dans le forum Mathématiques du supérieur
    Réponses: 5
    Dernier message: 13/10/2007, 20h13
  2. [L3]Mesure finie, ensembles dénombrables...
    Par Romain-des-Bois dans le forum Mathématiques du supérieur
    Réponses: 12
    Dernier message: 28/09/2007, 17h10
  3. Ensembles infinis indénombrables
    Par Seirios dans le forum Mathématiques du supérieur
    Réponses: 7
    Dernier message: 27/08/2007, 14h11
  4. Démontrer que l'union de 2 ensembles dénombrables est dénombrable.
    Par tomawok dans le forum Mathématiques du supérieur
    Réponses: 3
    Dernier message: 16/09/2006, 10h56
  5. ensembles dénombrables juste du bon sens dans ce cas??
    Par Brumaire dans le forum Mathématiques du supérieur
    Réponses: 16
    Dernier message: 17/11/2004, 11h44