ensembles dénombrables juste du bon sens dans ce cas??

[invite56460777]

Soit A et B deux ensembles dénombrables et A inter B = ensemble vide,
alors A U B est dénombrable.

J'ai l'impression que c'est du bon sens. Les deux ensembles sont séparément dénombrables et ils n'ont pas d'éléments communs donc le dénombrement de l'union des deux ensembles devient possible. D'ailleurs si les ensembles sont finis, alors il suffit d'ajouter les éléments de l'un à l'autre.

Seulement, je trouve cette explication insuffisante, pas assez mathématique. Mon explication relève du sens commun (il faut toujours se méfier du sens commun) et donc est très facilement attaquable. Avez-vous d'autres démonstrations ou facons de le montrer?

En revanche, j'ai l'impression que l'on ne peut pas dénombrer A U B si leur intersection est différente de l'ensemble vide. En effet, il n'est peut-être pas possible de dénombrer les éléments dans l'intersection, bien que A et B soient dénombrables. Mais là, il n'y a que de l'intuition.
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[inviteca3a9be7]

Salut,

La réunion de deux ensembles dénombrables est dénombrable.

C'est pas dur et en plus c'est très bien expliqué là (p. 100 et suivantes) : http://perso.wanadoo.fr/mathprepa/co...ai/algebre.pdf

[invite56460777]

Je ne suis pas certaine que la démonstration donnée corresponde exactement à celle que je recherche, car on est là dans le cas de suites?

[inviteca3a9be7]

Salut,

Un ensemble dénombrable c'est une suite d'éléments distincts.

[A voir en vidéo sur Futura]

[shokin]

A un théorème peuvent exister plusieurs démonstrations. Si oui, tu as l'embarras du choix.

#(AuB)+#(AnB)=#(A)+#(B)

# signifiant le cardinal, le nombre d'éléments d'un ensemble fini.

Avec le diagrame de Venn, tu peux facilement illustrer cela.

C'est peut-être pas très mathématique, mais c'est logique (Boole).

Bien le pdf !

Shokin

[invitea48de938]

Sinon j'peux proposer la dem suivante , seulement elle passe par montrer que A x B est denombrable . Donc donc montrons le i-e que N x N l'est : il suffit de remarquer que f : N x N -> N* , (a,b) -> 2^a(2^b + 1) est bijective .

Maintenant : il existe g1 : N -> A et g2 : N -> B toutes 2 bijectives (par definition) .
On pose alors f : {1 ; 2} x N -> A U B , (i,n) -> gi (n ) . Cette fonction est surjective et {1 ; 2} x N est denombrable (par ce qui precede) alors A U B l'est : ) Ca m'a l'air correct comme truc mais si vous détectez qqchose de bizarre dites le moi .

[inviteca3a9be7]

f : N x N -> N* , (a,b) -> 2^a(2^b + 1) est bijective.

Elle est injective, d'accord. Mais comment produis-tu 7, 11, 13, ... ?

[invitea48de938]

c parske me suis planté en écrivant c 2^a (2*b + 1 ) , qui vient de la decomposition unique d'un nombre en produit de puissance de 2 et d'un entier impaire . (cf DEFP ) .
Donc mea culpa pour la faute de frappe

[invite56460777]

A un théorème peuvent exister plusieurs démonstrations. Si oui, tu as l'embarras du choix.

#(AuB)+#(AnB)=#(A)+#(B)

# signifiant le cardinal, le nombre d'éléments d'un ensemble fini.

Avec le diagrame de Venn, tu peux facilement illustrer cela.

C'est peut-être pas très mathématique, mais c'est logique (Boole).

Bien le pdf !

Shokin

Dans ce cas tu ne peux pas utiliser le cardinal, car on n'a pas deux ensembles finis mais deux ensembles dénombrables. La facon la plus efficace de démontrer la propriété ici est de passer par la bijection...

[invite51f4efbf]

Um moyen simple : A est en bijection avec IN car dénombrable. B est en bijection avec Q-IN car dénombrable (et Q-IN est dénombrable parce qu'il est infini et contenu dans un ensemble dénombrable). La réunion disjointe des deux est donc en bijection avec (Q-N)UN = Q, qui est dénombrable.

[invite51f4efbf]

Dans ce cas tu ne peux pas utiliser le cardinal, car on n'a pas deux ensembles finis mais deux ensembles dénombrables. La facon la plus efficace de démontrer la propriété ici est de passer par la bijection...

Juste au passage : son argument est faux, mais il n'est pas impropre de parler de cardinal pour un ensemble infini. Strico-sensu, un cardinal c'est une classe d'équivalence sur la collection des ensembles (la relation étant l'existence d'une bijection).

[invite56460777]

On n'a pas encore défini le cardinal dans notre cours.
Sinon qu'entends-tu par Q-IN ou Q?

[invite4793db90]

Salut,
j'ai un peu plus simple: on met A en bijection avec les entiers pairs et B avec les entiers impairs!

[invite56460777]

Quand l'intersection est différente de l'ensemble vide, on ne doit plus arriver à trouver de bijection pour l'intersection? Ou me tromperais-je?

[invite51f4efbf]

On n'a pas encore défini le cardinal dans notre cours.
Sinon qu'entends-tu par Q-IN ou Q?

Q est l'ensemble des rationnels (les fractions si tu préfères). Il est dénombrable. Q-N c'est simplement Q privé de N.

Je ne comprends pas ta dernière question.

@martini : oui, j'aurai dû mettre celle-là. J'ai pris la première qui me venait à l'esprit

[invite56460777]

On a supposé pour faire la démonstration que A inter B était différente de l'ensemble vide

[invite4793db90]

On a supposé pour faire la démonstration que A inter B était différente de l'ensemble vide

Salut, E et F sont d'intersection non vide, tu peux te ramener au cas précédent en considérant l'union disjointe

E U F = (E \ (E inter F) ) U F.