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Ensembles dénombrables



  1. #1
    minidiane

    Unhappy Ensembles dénombrables


    ------

    Bonjour j'ai besoin d'aide pour deux exercices les voici:

    1)Soient X et Y deux ensemble tels que X inclu Y. Montrer que si Y est au plus dénombrable alors X aussi et que si X n'est pas au plus dénombrable alors Y non plus.
    2) Montrer que un ensemble X est au plus dénombrable si et seulement si il est en bijection avec une partie de X, si et seulement si il existe une injection de X dans N.

    Voilà j'ai besoin d'aide je n'y arrive pas du tout

    -----

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  3. #2
    Médiat

    Re : Ensembles dénombrables

    Citation Envoyé par minidiane Voir le message
    1)Soient X et Y deux ensemble tels que X inclu Y. Montrer que si Y est au plus dénombrable alors X aussi et que si X n'est pas au plus dénombrable alors Y non plus.
    Si X est inclus dans Y, alors l'identité de Y restreinte à X est une injection de X dans Y, je te laisse poursuivre.
    Citation Envoyé par minidiane Voir le message
    2) Montrer que un ensemble X est au plus dénombrable si et seulement si il est en bijection avec une partie de X, si et seulement si il existe une injection de X dans N.
    Tel que c'est écrit ici, la première équivalence est fausse : comme tous les ensembles sont en bijection avec eux-même, cela voudrait dire que tous les ensembles sont au plus dénombrables, et si on remplace par "si et seulement si il est en bijection avec une partie stricte de X", alors c'est faux pour les ensembles finis, et IR, par exemple, vérifie cela sans être dénombrable (ce sont les ensembles "au moins dénombrables" qui vérifie cette condition).
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  4. #3
    Flanders

    Re : Ensembles dénombrables

    Pour compléter ce que dit Médiat, un ensemble est infini s'il est en bijection avec une de ses parties (strictes). C'est la déifinition adoptée par Cantor.

  5. #4
    minidiane

    Re : Ensembles dénombrables

    Donc la question 2 est fausse?
    Pourtant j'ai vérifié mon énoncé et c'est bien ce qui est écrit

  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    homotopie

    Re : Ensembles dénombrables

    A mon humble avis est que l'énoncé exact de 2) est :
    2) Montrer que un ensemble X est au plus dénombrable si et seulement si il est en bijection avec une partie de N, si et seulement si il existe une injection de X dans N.

  8. #6
    minidiane

    Re : Ensembles dénombrables

    A oui c'est exacte désolé je n'avais pas vu la faute

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