Ensembles et sous ensembles

[invite43bf475e]

Bonjour à tous,
J'aimerais savoir avant mon entrée en sup, comment démontrer qu'un ensemble fini de n éléments donne naissance à 2^n sous ensembles ou parties?

J'attends vos reponses, merci
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[Médiat]

Bonjour à tous,
J'aimerais savoir avant mon entrée en sup, comment démontrer qu'un ensemble fini de n éléments donne naissance à 2^n sous ensembles ou parties?

J'attends vos reponses, merci

Pense à la fonction caractéristique ...

[invite43bf475e]

c'est à dire? !!!

[Médiat]

La fonction caractéristique de est la fonction

tel que , il reste à compter le nombre de telles applications.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitec053041c]

Bonjour.

Tu peux faire comme Médiat, ou grâce au binôme de Newton.
Dans un ensemble à n éléments:
Tu peux trouver sous ensemble à 0 élément.
Tu peux trouver sous ensemble à 1 élément.
Tu peux trouver sous ensembles à 2 éléments.
...
Tu peux trouver ensemble à n éléments.

Le nombre de sous-ensembles de E correspond à la sommation de tous ces coefficients binômiaux que je t'ai cités:



.

Cordielement.

[invite43bf475e]

Merci, j'avais du mal à comprendre la rep de mediat (dsl!) mais plus explecitement je viens de voir cmt fre, merci!!!

[invite4ef352d8]

Salut !

ce que sugère médiat, c'est que l'ensemble des sous ensemble est un bijection avec l'ensemble des fonction de E dans {0,1}... et il ce trouve que le nombre d'application de E dans F c'est (card F)^(card E) d'ou le résultat


sinon de facon un peu intuitive.
pour construire un sous ensemble, tu regarde chaque element de E et tu choisit de le prendre ou de ne pas le prendre dans ton sous ensemble. donc pour chaque element tu as 2 choix possible, tous ces choix etant indépendant (tu peut représenté cela avec un arbre comme tu as du apprendre a le faire au lycée ) on trouve bien 2*2*2*..*2 =2^n elements.

[Médiat]

pour construire un sous ensemble, tu regarde chaque element de E et tu choisit de le prendre ou de ne pas le prendre dans ton sous ensemble. donc pour chaque element tu as 2 choix possible, tous ces choix etant indépendant (tu peut représenté cela avec un arbre comme tu as du apprendre a le faire au lycée ) on trouve bien 2*2*2*..*2 =2^n elements.

C'est à dire tu construis la fonction caractéristique

[invite43bf475e]

Merci bcp! encore une petite question, je me suis a commencer le programme de sup, et je comprends tt ce qui est bijection, injection et tt ds un ensemble E fini, mais que représente le card(E)...?

[Médiat]

Merci bcp! encore une petite question, je me suis a commencer le programme de sup, et je comprends tt ce qui est bijection, injection et tt ds un ensemble E fini, mais que représente le card(E)...?

Définition simple et intuitive : card(E) = classe d'équipotence de E, c'est à dire la classe d'équivalence pour la relation "il existe une bijection entre E et F".
Cette définition pose un problème théorique : est-ce que la relation d'idempotence est bien définie ? Sur quel ensemble porte-t-elle (l'ensemble de tous les ensembles n'existe pas) ?

Une définition plus compliquée mais formellement parfaite fait appel aux ordinaux.

[invite4ef352d8]

le cardinal d'un ensemble E finit (noté card E) c'est le nombre d'élement de E.

[Médiat]

le cardinal d'un ensemble E finit (noté card E) c'est le nombre d'élement de E.

C'est pas faux, mais avec cette définition, il faut savoir ce qu'est le "nombre d'éléments" d'un ensemble, c'est à dire son cardinal.
La notion de cardinal est la formalisation du "nombre d'éléments", ce serait dommage de la faire revenir à son point de départ par une définition circulaire (de plus inopérante pour les cardinaux non-dénombrable, comme leur nom l'indique).

[Gwyddon]

Définition simple et intuitive : card(E) = classe d'équipotence de E, c'est à dire la classe d'équivalence pour la relation "il existe une bijection entre E et F".

"Simple" et "intuitive" je veux bien, quand on sait ce qu'est une équipotence, et une classe d'équivalence

Or si MILAS rentre en sup, je doute qu'il sache déjà ce que ce sont ces deux notions

Mais sinon je suis d'accord, c'est une définition assez simple et intuitive une fois ces deux notions assimilées

[Médiat]

Or si MILAS rentre en sup, je doute qu'il sache déjà ce que ce sont ces deux notions

Tu veux dire qu'en TS aujourd'hui (ah, ben oui, je suis un vieux con, mais j'assume ) on ne sait pas ce qu'est une classe d'équivalence (pour équipotence, c'est juste un nom sur un cas particulier) ?
Pour moi qui suis un enfant des "maths modernes", c'est un scandale (ce devait être au programme de seconde, il me semble, première au plus tard)

[Gwyddon]

Tu veux dire qu'en TS aujourd'hui (ah, ben oui, je suis un vieux con, mais j'assume ) on ne sait pas ce qu'est une classe d'équivalence (pour équipotence, c'est juste un nom sur un cas particulier) ?
Pour moi qui suis un enfant des "maths modernes", c'est un scandale (ce devait être au programme de seconde, il me semble, première au plus tard)

Oui cela se voit dans l'enseignement supérieur. Assume donc ta vieux-con-itude

Honnêtement, je ne sais pas si cela est réellement utile dans le contexte du lycée. Mais c'est un avis rapide, alors que la question demande réflexion.

[Médiat]

Salut Gwyddon,

Honnêtement, je ne sais pas si cela est réellement utile dans le contexte du lycée. Mais c'est un avis rapide, alors que la question demande réflexion.

Autre avis rapide : cette notion est mathématiquement simple (en tout cas dans la définition), mais ses applications sont aussi inombrables que diverses et fondamentales, et pas seulement en maths (je suis incapable d'expliquer à mes enfants ce qu'est la couleur rouge sans créer une classe d'équivalence (implicitement... ou non )).
Je confirme donc : la question demande réflexion.

Cordialement

PS : j'assume pas, j'revendique (façon puzzle )

[Gwyddon]

En fait ce qui me chagrine plus c'est que la notion d'ensemble n'est pas clairement abordée, ainsi que les notions d'injection, de surjection et de bijection. C'est bigrement important ça, même dans le contexte du lycée

Sinon d'un point de vue fondamental, je considère aussi la classe d'équivalence d'une importance énorme

Mais j'ai l'impression que sa définition formelle demande une certaine abstraction, disons une certaine manière d'aborder les choses qui n'est pas trop dans l'esprit de l'enseignement des mathématiques au lycée à l'heure actuelle.

[Médiat]

Mais j'ai l'impression que sa définition formelle demande une certaine abstraction

Absolument d'accord, mais :
Est-ce que la définition formelle de la topologie est abordée avant de parler de limite (pour moi, une notion bien plus complexe que celle de relation d'équivalence (il me semble, d'ailleurs, que la vraie abstraction est plutôt la classe que la relation d'équivalence)).
Un de mes profs de maths à la fac, il y a 35 ans (Choquet, je crois) disait : "l'abstrait en maths, c'est ce qui devient concret au bout de deux ans", et je suis assez d'accord, et donc voir assez rapidement une notion très facile à apprendre et à manipuler, même si on en mesure pas toutes les implications, permet, sans doute, de mieux dominer l'abstraction le moment venu.

[Gwyddon]

Absolument d'accord, mais :
Est-ce que la définition formelle de la topologie est abordée avant de parler de limite (pour moi, une notion bien plus complexe que celle de relation d'équivalence

Non effectivement, très bonne remarque.

(il me semble, d'ailleurs, que la vraie abstraction est plutôt la classe que la relation d'équivalence)).

Vrai

Un de mes profs de maths à la fac, il y a 35 ans (Choquet, je crois) disait : "l'abstrait en maths, c'est ce qui devient concret au bout de deux ans", et je suis assez d'accord, et donc voir assez rapidement une notion très facile à apprendre et à manipuler, même si on en mesure pas toutes les implications, permet, sans doute, de mieux dominer l'abstraction le moment venu.

Choquet ? Et bah dis donc

Je vois ce que tu (il) veux(t) dire. Mais le truc c'est que dans le secondaire, l'enseignement est encore très général, et j'ai comme l'impression que l'enseignement des maths en particulier a un cheminement "utilitaire", mais si cet utilitaire peut être interne aux maths. Or il me semble que la notion d'équivalence par exemple prend tout son sens dès que l'on veut en prendre ses classes, et quotienter par là même : comment arriver à faire passer la notion de relation d'équivalence sans parler de cette "application" ?

En fait je me pose des questions plus pédagogiques que mathématiques ici

[Médiat]

En fait je me pose des questions plus pédagogiques que mathématiques ici

J'avais compris . D'ailleurs Choquet était un immense pédagogue.

Ce que je veux dire (et je crois Choquet aussi) c'est que si tu apprends une notion facile à manipuler comme la relation d'équivalence, que tu vois des tonnes d'exemples (pendant 2 ans disait Choquet), il t'es plus facile de comprendre la notion de classe et de quotient après que si tu prends les trois dans la tête en même temps.
Maintenant, je n'ai pas une vision globale du programme des lycées et ne m'aventurerais à donner une quelconque solution idéale.

Il va de soi, pour revenir au point de départ, que sans connaître les relations d'équivalence, ma définition simple et intuitive n'est ni l'un ni l'autre

[invitec053041c]

Bonjour tout le monde.

je suis incapable d'expliquer à mes enfants ce qu'est la couleur rouge sans créer une classe d'équivalence

, des petits Médiat en puissance ! Préviens-nous quand ils débarquent sur FSG .

[Médiat]

, des petits Médiat en puissance ! Préviens-nous quand ils débarquent sur FSG .

Ils ont 10 et 11 ans (aujourd'hui d'ailleurs ), mais ils sévissent ici depuis plusieurs années sous les noms de Homotopie et gwyddon (non, il n'y a pas de faute).

[invitec053041c]

Ils ont 10 et 11 ans (aujourd'hui d'ailleurs ), mais ils sévissent ici depuis plusieurs années sous les noms de Homotopie et gwyddon (non, il n'y a pas de faute).

Pardon ?! Homotopie et Gwyddon sont vos fils, mais ils n'ont en fait que 10 et 11 ans ?
Je crois qu'une fois de plus, je n'ai rien compris .

[inviteec581d0f]

Ils ont 10 et 11 ans (aujourd'hui d'ailleurs :Bspotdan, mais ils sévissent ici depuis plusieurs années sous les noms de Homotopie et gwyddon (non, il n'y a pas de faute).

Euh cela me paraît impossible à moins que je sois

Date d'inscription: 24/10/2004 de Gwyddon donc inscription à l'age de 7 - 8 ans

cqfd ?

[invite43bf475e]

allez y! expliquez moi ce qu'est une classe d'équivalence!

[Dydo]

Je suis intéressé aussi, ça a l'air de vous tenir tellement à coeur, et ça nous donnera toujours ça de prit d'avance, hein Milas :P

[invitec053041c]

Bon, si je suis dans le même monde de Médiat, je vous donne un petit aperçu.

On se place dans un ensemble E.
On peut définir une relation d'équivalence R entre 2 éléments de E. R a pour propriétés:

- la réflexivité:
- la symétrie: =>
- la transitivité: et =>

Par exemple, la relation ~ (... congru à ... modulo 3) est une relation d'équivalence pour E=IZ.
En effet, x=x[3]
Si x=y[3], alors y=x[3]
Si x=y[3] et y=z[3], alors x=z[3]

On a par exemple 5~8 (ils sont égaux modulo 3, donc équivalents selon ma définition de ~).

Après avoir défini une relation d'équivalence, on définit la classe d'équivalence de x0.
C'est l'ensemble des éléments y de E qui sont équivalents à x0 = {y de E | y R x0}

Ainsi, pour ma relation modulo 3, on aura 3 classes d'équivalences danz IZ:
L'ensemble des nombres=0[3]
L'ensemble des nombres=1[3]
L'ensemble des nombres=2[3]
(on va pas plus loin parcequ'après on boucle).



François

[Dydo]

Merci beaucoup de la précision, effectivement c'est pas très compliqué, même si je n'en vois pas les application () je ne doute pas qu'on retrouve ça partout :P

[invite43bf475e]

tres bon ca, merci, je connaissait les relations d'équivalence mais pas la classe, merci bien

[Gwyddon]

Pardon ?! Homotopie et Gwyddon sont vos fils, mais ils n'ont en fait que 10 et 11 ans ?
Je crois qu'une fois de plus, je n'ai rien compris .

Oui j'avoue j'ai subi du Mediat pendant plusieurs années, et voilà où j'en suis maintenant


Sinon pour la relation d'équivalence, Ledescat a oublié dans la définition formelle le fait qu'une relation était un sous ensemble de E*E