probleme ensembles

[invite00778f1c]

salut svp j'ai un petit probleme, voilà l'enoncé:
Deux ensembles non vides E et F sont équipotents s'il existe une injection de E dans F, et une injection de F dans E.
ma question est : comment montrer que pour tout ensemble E, $/Im$(E) n'est pa equipotent à E??
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[invite00778f1c]

$/Im$(E) : c'est une classe de parties de l'espace

[invite8b04eba7]

Salut,

Est-ce que tu travailles avec l'axiome du choix ?

[invitec314d025]

Est-ce que tu travailles avec l'axiome du choix ?

Je ne crois pas que l'axiome du choix intervienne puisque le théorème de Cantor-Bernstein peut se démontrer sans.

Pour le reste, il suffit de démontrer classiquement que pour tout ensemble non vide E, il n'existe pas de surjection de E dans l'ensemble de ses parties. On suppose qu'une telle surjection f existe, et on considère l'ensemble .

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite6b1e2c2e]

Merci Matthias !

Je savais bien qu'on pouvait faire une bidouille de ce genre, mais je n'ai pas réussi à la retrouver ce matin...

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rvz

[invite8b04eba7]

Je ne crois pas que l'axiome du choix intervienne puisque le théorème de Cantor-Bernstein peut se démontrer sans.

Oui, au temps pour moi.

[invite00778f1c]

Merci beaucoup pour vos reponses
justement je me suis mis à démontrer l'inexistence d'une injection de E dans l'ensemble des parties de E;ou l'inverse càd demontrer l'inexistence d'une surjection de l'ensemble des parties de E dans E;merci matthias, le probleme est resolue.
de ce fait, pour retricir le probleme je me suis allé à vérifier que l'ensemble des parties de N est équipotent à R
mais il ya une chose que je comprend pas est-ce que l'ensemble des parties de N est denombrable??

[invite8b04eba7]

mais il ya une chose que je comprend pas est-ce que l'ensemble des parties de N est denombrable??

Non, tu viens de démontrer qu'un ensemble et ses parties n'étaient pas équipotents, donc ils ne sont pas de même cardinal.

Pour un ensemble quelconque, le cardinal des parties de E est égal à (cela se voit avec les fonctions indicatrices).

Dans le cas de , le cardinal des parties est appelé puissance du continu.

[invite00778f1c]

salut
je ne vois pas ici qu'elle est l'utilité de l'introduction de la notion du cardinal?

[invite8b04eba7]

Un cardinal, c'est une classe d'équivalence pour la relation "est équipotent à". Dans le cas des ensembles finis, cela coïncide bien avec la relation "a le même nombre d'éléments que". Donc dire que deux ensembles ne sont pas de même cardinal, cela revient à dire qu'il ne sont pas équipotents. Par exemple, un ensemble dénombrable, est, par définition, un ensemble équipotent à .

Ce que tu a démontré précédemment, c'est que n'est pas équipotent à donc, par définition, il n'est pas dénombrable.

[invitec314d025]

Merci beaucoup pour vos reponses
justement je me suis mis à démontrer l'inexistence d'une injection de E dans l'ensemble des parties de E;ou l'inverse càd demontrer l'inexistence d'une surjection de l'ensemble des parties de E dans E;

C'est l'inverse : inexistence d'une injection de P(E) dans E et inexistence d'une surjection de E dans P(E).
Je suppose que c'est ce que tu voulais dire mais je préfère rectifier pour ceux qui liraient le fil