problème sur les ensembles et relations (niveau MPSI)

[invite56f88dc9]

Bonjour.
Notre prof nous a donné un problème et je bute dès la 1ère question.
Merci de m'aider dans la progression de mon exo.

Voici l'énoncé et il est long.


Soit E un ensemble non vide. On rappelle que l'on note P(E) l'ensemble des parties de E.
Soit F inclus dans P(E). F est donc un ensemble de parties de E.
Comme l'on sait que l'on peut ordonner P(E) par la relation d'inclusion, on considère les deux propriétés suivantes (susceptibles d'être vérifiées par F) :
(1) : E appartient à F
(2) : pour tt F' inclus dans F, l'intersection de toutes les parties de la famille X appartient à F avec X appartient à F' ( symboliquement c ; inter X€ F , X€F'


1°) On se place, dans cette question uniquement, dans le cas où E=R et où F est l'ensemble des intervalles de R auxquels on adjoint l'ensemble vide
F vérifie-t-elle alors les propriétés (1) et (2) ?
Même question si, avec le même ensemble E, on prend pour F l'ensemble des intervalles ouverts de R.

2°)On suppose dorénavant que F vérifie (1) et (2).
Soit A une partie quelconque de E.
On note F_A l'ensemble des éléments X de F contenant A, i e F_A = {X€F/A inclus dans X}.

a) Vérifier que F_A n'est pas vide.
b) On pose alors  = l'intersection de toutes les parties de la famille X avec X€F_A

Expliquer pourquoi cette notation a un sens.
Prouver que € F_A, puis que pour tout Y€ F_A,  inclus dans Y.
On pourra donc dire que Â= Min F_A.
Que se passe-t-il dans le cas particulier où A€F ?

Voilà donc le début de l'énoncé, en attendant je vais encore rechercher .
Et merci d'avance pour votre aide.
-----

[inviteae1ed006]

Pourrais tu être plus précis en ce qui concerne la propriété (2) je ne comprend pas ce que tu as voulu dire...

[invite56f88dc9]

pour tout F' inclus dans F , ∩ X€ F
X€ F'

voilà le formalisme.

[invitedf667161]

Je crois que cette phrase n'est pas trés compréhensible. Serait-ce :



?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite56f88dc9]

oui c'est cela

[invite56f88dc9]

Personne n'a une idée ???

[invite56f88dc9]

Pardon, j'ai fais une petite erreur dans la propriété (2). Voici l'énoncé exact :



Merci de me répondre car je suis complètement sec.

[inviteae1ed006]

c'est un peu plus clair ...
Donc pour 1°) la question se resume à :
Si F represente l'ensemble des intervalles de alors est-ce qu'une union quelconque de ces intervalles appartient à F (autrement est que c'est un intervalle...) la réponse est evidement non :
[1;2] et [3;4] sont des intervalles et [1;2]U[3;4] n'est est pas un...


Mais j'ai comme un doute, es-tu sur que c'est l'union et pas l'intersection ?

[invite56f88dc9]

pardon encore c'est l'intersection
je suis dsl

[inviteae1ed006]

Dans ce cas la réponse est oui puisqu'il est assez facile de montrer qu'un intersection quelconque d'intervalle est un intervalle...
parcontre si on impose la condition intervalle ouvert, ca ne marche plus.

[invite56f88dc9]

Rebonjour.
J'ai réussi à avancer jusqu'au 2) et je suis bloquée dans le 2b) Prouver que  € F_A, puis que pour tout Y€ F_A,  inclus dans Y .
Merci de bien vouloir me répondre rapidement.

[invite56f88dc9]

Personne n'a une piste ?
En attendant je vais mettre la suite qui peut-être vous inspirera...
3) Les notations ( et hypothèses sont celles de la question 2).
On note alors phi l'application P(E) dans P(E) qui à A € P(E) associe phi de (A)=Â.
Etablir successivement que :
a) A inclus dans phi de (A)

b) A inclus dans B implique phi de(A) inclus dans phi de (b)

c) pour tout A € P(E), phi de(phi de (A))= phi de (A).

Ces 3 parties portent des noms. Respectivement, phi est dite extensive, croissante, idempotente.
On dit aussi que phi est la clôture associée à F.

4) Dans chacun des cas suivants, vérifier que F satisfait aux propriétés (1) et (2) et préciser la clôture associée à F.

a) A₀ inclus dans E étant fixée, F est l'ensemble des parties de E contenant A₀
b) F={E}
c) A₀ étant fixée avec A₀ inclus dans E étant fixée avec A₀ différent de E, F = {A₀, E}.

Merci de me donner des pistes. Pour la suite je pense que j'ai des idées.

[inviteae1ed006]

JE ne vois pas bien l'interet de la question : "Expliquer pourquoi cette notation a un sens"...
L'intersection à toujours un sens même si il s'agit d'une intersection vide (d'aucun ensemble...)
Il est facile de voir que n'est pas vide puisque et .
sachant que qui est stable par intersection, on à de plus donc

[invite986312212]

Prouver que (...) pour tout Y€ F_A, Â inclus dans Y.

à ta place je me vexerais: ton prof vous prend pour des demeurés.

[invite56f88dc9]

ok merci, c'est ce que je venais de voir avant ton post.
J'ai réussi à finir le numéro 2.
Mais je suis bloqué à la 3ème question

[Médiat]

JE ne vois pas bien l'interet de la question : "Expliquer pourquoi cette notation a un sens"...

Je dirais même, au contraire, qu'elle n'a pas de sens puisque  dépend de F ce qui n'est pas apparent dans la notation !