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problème sur les ensembles et relations (niveau MPSI)



  1. #1
    sensor

    problème sur les ensembles et relations (niveau MPSI)


    ------

    Bonjour.
    Notre prof nous a donné un problème et je bute dès la 1ère question.
    Merci de m'aider dans la progression de mon exo.

    Voici l'énoncé et il est long.


    Soit E un ensemble non vide. On rappelle que l'on note P(E) l'ensemble des parties de E.
    Soit F inclus dans P(E). F est donc un ensemble de parties de E.
    Comme l'on sait que l'on peut ordonner P(E) par la relation d'inclusion, on considère les deux propriétés suivantes (susceptibles d'être vérifiées par F) :
    (1) : E appartient à F
    (2) : pour tt F' inclus dans F, l'intersection de toutes les parties de la famille X appartient à F avec X appartient à F' ( symboliquement c ; inter X€ F , X€F'


    1°) On se place, dans cette question uniquement, dans le cas où E=R et où F est l'ensemble des intervalles de R auxquels on adjoint l'ensemble vide
    F vérifie-t-elle alors les propriétés (1) et (2) ?
    Même question si, avec le même ensemble E, on prend pour F l'ensemble des intervalles ouverts de R.

    2°)On suppose dorénavant que F vérifie (1) et (2).
    Soit A une partie quelconque de E.
    On note FA l'ensemble des éléments X de F contenant A, i e FA = {X€F/A inclus dans X}.

    a) Vérifier que FA n'est pas vide.
    b) On pose alors  = l'intersection de toutes les parties de la famille X avec X€FA

    Expliquer pourquoi cette notation a un sens.
    Prouver que € FA, puis que pour tout Y€ FA,  inclus dans Y.
    On pourra donc dire que Â= Min FA.
    Que se passe-t-il dans le cas particulier où A€F ?

    Voilà donc le début de l'énoncé, en attendant je vais encore rechercher .
    Et merci d'avance pour votre aide.

    -----

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  3. #2
    tize

    Re : problème sur les ensembles et relations (niveau MPSI)

    Pourrais tu être plus précis en ce qui concerne la propriété (2) je ne comprend pas ce que tu as voulu dire...
    En espérant ne pas avoir dit trop de bêtises...Cordialement José

  4. #3
    sensor

    Re : problème sur les ensembles et relations (niveau MPSI)

    pour tout F' inclus dans F , ∩ X€ F
    X€ F'

    voilà le formalisme.

  5. #4
    GuYem

    Re : problème sur les ensembles et relations (niveau MPSI)

    Je crois que cette phrase n'est pas trés compréhensible. Serait-ce :



    ?
    Bravo jolie Ln, tu as trouvé : l'armée de l'air c'est là où on peut te tenir par la main.

  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    sensor

    Re : problème sur les ensembles et relations (niveau MPSI)

    oui c'est cela

  8. #6
    sensor

    Re : problème sur les ensembles et relations (niveau MPSI)

    Personne n'a une idée ???

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  10. #7
    sensor

    Re : problème sur les ensembles et relations (niveau MPSI)

    Pardon, j'ai fais une petite erreur dans la propriété (2). Voici l'énoncé exact :



    Merci de me répondre car je suis complètement sec.

  11. #8
    tize

    Re : problème sur les ensembles et relations (niveau MPSI)

    c'est un peu plus clair ...
    Donc pour 1°) la question se resume à :
    Si F represente l'ensemble des intervalles de alors est-ce qu'une union quelconque de ces intervalles appartient à F (autrement est que c'est un intervalle...) la réponse est evidement non :
    [1;2] et [3;4] sont des intervalles et [1;2]U[3;4] n'est est pas un...


    Mais j'ai comme un doute, es-tu sur que c'est l'union et pas l'intersection ?
    En espérant ne pas avoir dit trop de bêtises...Cordialement José

  12. #9
    sensor

    Re : problème sur les ensembles et relations (niveau MPSI)

    pardon encore c'est l'intersection
    je suis dsl

  13. #10
    tize

    Re : problème sur les ensembles et relations (niveau MPSI)

    Dans ce cas la réponse est oui puisqu'il est assez facile de montrer qu'un intersection quelconque d'intervalle est un intervalle...
    parcontre si on impose la condition intervalle ouvert, ca ne marche plus.
    En espérant ne pas avoir dit trop de bêtises...Cordialement José

  14. #11
    sensor

    Re : problème sur les ensembles et relations (niveau MPSI)

    Rebonjour.
    J'ai réussi à avancer jusqu'au 2) et je suis bloquée dans le 2b) Prouver que  € FA, puis que pour tout Y€ FA,  inclus dans Y .
    Merci de bien vouloir me répondre rapidement.

  15. #12
    sensor

    Re : problème sur les ensembles et relations (niveau MPSI)

    Personne n'a une piste ?
    En attendant je vais mettre la suite qui peut-être vous inspirera...
    3) Les notations ( et hypothèses sont celles de la question 2).
    On note alors phi l'application P(E) dans P(E) qui à A € P(E) associe phi de (A)=Â.
    Etablir successivement que :
    a) A inclus dans phi de (A)

    b) A inclus dans B implique phi de(A) inclus dans phi de (b)

    c) pour tout A € P(E), phi de(phi de (A))= phi de (A).

    Ces 3 parties portent des noms. Respectivement, phi est dite extensive, croissante, idempotente.
    On dit aussi que phi est la clôture associée à F.

    4) Dans chacun des cas suivants, vérifier que F satisfait aux propriétés (1) et (2) et préciser la clôture associée à F.

    a) A0 inclus dans E étant fixée, F est l'ensemble des parties de E contenant A0
    b) F={E}
    c) A0 étant fixée avec A0 inclus dans E étant fixée avec A0 différent de E, F = {A0, E}.

    Merci de me donner des pistes. Pour la suite je pense que j'ai des idées.

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  17. #13
    tize

    Re : problème sur les ensembles et relations (niveau MPSI)

    JE ne vois pas bien l'interet de la question : "Expliquer pourquoi cette notation a un sens"...
    L'intersection à toujours un sens même si il s'agit d'une intersection vide (d'aucun ensemble...)
    Il est facile de voir que n'est pas vide puisque et .
    sachant que qui est stable par intersection, on à de plus donc
    En espérant ne pas avoir dit trop de bêtises...Cordialement José

  18. #14
    invite986312212
    Invité

    Re : problème sur les ensembles et relations (niveau MPSI)

    Citation Envoyé par sensor Voir le message
    Prouver que (...) pour tout Y€ FA, Â inclus dans Y.
    à ta place je me vexerais: ton prof vous prend pour des demeurés.

  19. #15
    sensor

    Re : problème sur les ensembles et relations (niveau MPSI)

    ok merci, c'est ce que je venais de voir avant ton post.
    J'ai réussi à finir le numéro 2.
    Mais je suis bloqué à la 3ème question

  20. #16
    Médiat

    Re : problème sur les ensembles et relations (niveau MPSI)

    Citation Envoyé par tize Voir le message
    JE ne vois pas bien l'interet de la question : "Expliquer pourquoi cette notation a un sens"...
    Je dirais même, au contraire, qu'elle n'a pas de sens puisque  dépend de F ce qui n'est pas apparent dans la notation !
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

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