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Probléme sur les Récurrence niveau Terminal S



  1. #1
    tomrouch38

    Probléme sur les Récurrence niveau Terminal S


    ------

    Bonjour, je suis nouveau et je viens avec un probléme sur mon DM .
    Voici l'enoncé : Démontrez que pour tout entier naturel n, l'entier 3^(2n)- 2^n est un multiple de 7 .

    J'ai donc fait l'initialisation en disant que c'était valable pour n=0 et n=1 :
    On trouve 0 pour n = 0 et 7 pour n=1 ( deux mulitiples de 7)
    Mais ensuite pour faire l'heredité en n+1 je pose 3^(2n)- 2^n = 7k
    mais je n'arrive pas à allé plus loin que :

    3^2n x 3 - 2^n x 2

    pouvez vous m'aider ??

    -----

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  3. #2
    mystik_57

    Re : Probléme sur les Récurrence niveau Terminal S

    Demontre qu'au rang n+1, 3^(2n+2)-2^(n+1) est divisible par 7

  4. #3
    gimini

    Re : Probléme sur les Récurrence niveau Terminal S

    Bonjour,
    Tu suppose que c'est vrai au rang n, trés bien et ensuite tu dois demontrer que c'est vrai au rang (n+1).
    L'équation devient 3^2(n+1)-2^(n+1) = 3^2n*3²-2*2^n... tu as oublié le carré sur le 3.

    Essaye avec cette nouvelle equation et previens nous si tu n'y arrive pas.

  5. #4
    tomrouch38

    Re : Probléme sur les Récurrence niveau Terminal S

    eu en faite j'ai fait une erreure en tapant ma reponse , je n'arrive pas avec le carrée sur le 3 ...je me trouve avec 3^2n*9 - 2^n*2, je ne trouve pas de factorisation possible...

  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    gimini

    Re : Probléme sur les Récurrence niveau Terminal S

    Ha ok, alors c'est parce que tu developpe les exposants... dit toi que 3²=9 -->3^2n=9^n...

    Si avec ca tu n'y arrives toujours pas, dis le moi...

  8. #6
    homotopie

    Re : Probléme sur les Récurrence niveau Terminal S

    Citation Envoyé par tomrouch38 Voir le message
    eu en faite j'ai fait une erreure en tapant ma reponse , je n'arrive pas avec le carrée sur le 3 ...je me trouve avec 3^2n*9 - 2^n*2, je ne trouve pas de factorisation possible...
    9=7+2 avec ça tu devrais arriver à développer puis factoriser pour aboutir à quelquechose de la forme : 7k+h(32n-2n) avec h et k entier. Il n'y a "plus qu'à" uitiliser l'hypothèse de récurrence.
    La dernière remarque de gimini n'est pas fausse mais relance la résolution de l'exercice dans une autre voie (ce n'est pas en "retirant" le 32n qu'on va retourner à l'hypothèse de récurrence) ce que je ne trouve pas indispensable car on n'en est plus très loin avec la voie empruntée pour l'instant.

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  10. #7
    gimini

    Re : Probléme sur les Récurrence niveau Terminal S

    Alors, voici la solution.

    d'apres une egalite remarquable, on a a^n-b^n = (a-b).SOMME (i=0 à i=n-1)(a^i.b^(n-i)).
    Dans notre cas, on a a=9 et b = 2. On trouve 9^n-2^n = (9-2).SOMME (i=0 à i=n-1)(9^i.2^(n-i)).
    Or, 9-2 = 7... et SOMME (i=0 à i=n-1)(9^i.2^(n-i)) est entier

    Même ^pas besoin de recurrence, trop fort moi


    Si vous voulez le faire par recurence, on suppose vrai au rang n.
    au rang n+1, on a a^(n+1)-b^(n+1) = (a-b).SOMME (i=0 à i=n)(a^i.b^(n-i))
    on sort le terme de rang n pour retrouver l'egalité precedente et il vient:
    a^(n+1)-b^(n+1) = (a-b).SOMME (i=0 à i=n-1)(a^i.b^(n-i)).a^n.b^(n-n)

    soit a^(n+1)-b^(n+1) = (a^n-b^ni).a^n.

    Comme c'est vrai au rang n et que a^n est entier, alors c'est vrai au rang n+1

    CQFD, il fallait donc bien voir que 3²=9 et connaitre l'egalité remarquable bien sur

  11. #8
    tomrouch38

    Re : Probléme sur les Récurrence niveau Terminal S

    MERCI POUR TOUTE VOS REPONSEs !!

  12. #9
    tomrouch38

    Re : Probléme sur les Récurrence niveau Terminal S

    Décidément la recurrence est moi sa fait 2 !! J'ai a nouveau un probléme ...
    voici l'enoncé : on note 1x2x3x...n = n!
    Je doit démontrer ( par recurrence ) que pour tout entier naturel n >= ( superieur ou egal) 1, on a n! >= 2^n-1 .

    Voila comment j'ai procédé : Initialisation : pour n= 1 , n!=1 et 2^n-1 = 1 donc c'est bon ... j'ai quand même fait avec n = 3 pour etre sur et j'ai trouvé n!=6 et 2^n-1 = 4 , donc l'initialisation est validée .
    Pour l'heridité, j'ai supposé que 2^n-1 etait vrai pour n >= 1 .
    Mais le probléme c'est que je crois que je pars a l'enver :

    j'ai mis :

    n!>=2^n-1

    n!>= 2^n/2

    2n!>= 2^(n+1)/2

    Je vois plus aprés...a moins qu'il faut partir de n!>=1 ?? pouvez m'aider a nouveau ?

  13. #10
    homotopie

    Re : Probléme sur les Récurrence niveau Terminal S

    Pour la réflexion il est toujours bon d'écrire à la fois d'où on part (n!>=2n-1, c'est bon) et où on doit arriver ((n+1)!>=2(n-1)+1)
    Regardons un peu cette "arrivée", d'après la définition de la factorielle comment passe-t-on du membre de droite du rang n à celui de rang n+1 ?

  14. #11
    tomrouch38

    Re : Probléme sur les Récurrence niveau Terminal S

    c'est bon j'ai trouver la reponse, on multiplie... merci

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