Ensembles bornés

[inviteab2b41c6]

Salut,
j'ai été confronté à un problème assez étrange hier soir. Je suis tombé sur la définition suivante:
X est borné si pour tout x,y de X, alors d(x,y)<C où C est une constante universelle (ie ne dépend pas de x,y).

Jusque là, rien de plus naturel.
Il est ensuite dit que si Y est un sous ensemble de X, alors Y est dit borné si pour tout x de X, Y Union {x} est un ensemble borné.
Toujours pas de problème jusqu'à ceci:
Trouver un sous ensemble Y de R qui est borné en tant qu'espace métrique, mais pas en tant que sous ensemble de R.
Je sèche vraiment dessus, je ne comprend vraiment pas comment ca peut arriver.
Si vous avez des idées ou si vous pouviez m'aider à voir comment ce serait possible, ce serait très apprécié.
A+
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[invite6b1e2c2e]

Salut !
Tu peux peut-être prendre la distance d(x,y) = 0 si x = y, 1 sinon.

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rvz

[inviteab2b41c6]

Salut,
en fait j'avais pensé à des affaires un peu exotiques de ce genre, mais telle que la définition était posée, je pensais que les distances étaient les distances induites, auquel cas je ne voyais pas pourquoi ca marcherait.
Si ce n'est pas le cas, je ne vois pas l'intéret de l'exo...

[invite6b1e2c2e]

Ce serait la distance induite par quoi ? La distance triviale que je t'ai donné est une distance sur R. Certes, cela ne correspond à la topologi usuelle, mais bon...
Je crois que c'est vraiment ça qu'est demandé, et que tu te casses la tête pour rien.

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rvz

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitec314d025]

Je crois que Quinto avait compris que tu voulais prendre deux distances différentes, une pour dire que Y était borné en tant qu'espace métrique, l'autre pour dire qu'il n'était pas borné en tant que sous ensemble.
De toute façon, avec la distance discrète, tous les ensembles sont bornés, donc je vois mal comment ça peut répondre à la question.

[invitec314d025]

J'aurais peut-être du réfléchir avant de parler
Avec la même distance, il y a peu de chance que le même ensemble soit à la fois borné et non borné (le fait de rajouter un point extérieur ne change rien, c'est quoi l'intérêt de cette définition d'ailleurs ?).
Mais alors pourquoi ne pas simplement demander de trouver une distance telle que R soit borné ?

[invite6b1e2c2e]

Ca me parait assez bizarre effectivement.
Peut-être que Quinto va nous apporter une réponse ?

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rvz

[inviteab2b41c6]

Salut,
non j'en suis au même point que vous, je ne comprend pas cet exercice...
Pour la distance induite, je pensais à celle usuelle sur R.
En fait l'exercice n'a pas le choix d'être faux à mon avis ou très tordu, en ce sens que l'on doit avoir le droit de changer de métrique, ce qui perd beaucoup d'intéret...

[invite986312212]

sur R et sa métrique usuelle ça semble difficile. Si tu oublies R, essaye du côté du corps des nombres p-adiques (en prenant pour Y l'anneau des entiers p-adiques). C'est une idée comme ça, je garantis rien...

[invitec314d025]

A mon avis, c'est juste l'énoncé qui est mal foutu et sans intérêt. En le relisant je pense que dans un cas on doit considérer la métrique usuelle de R et dans l'autre changer de métrique.
Si on ne change pas de métrique on peut prendre un ensemble, un sous-ensemble et une distance aussi tordus qu'on veut, ça ne marchera jamais.

[invite6b1e2c2e]

Tout à fait d'accord !

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rvz

[inviteab2b41c6]

C'est ce que je pensais et c'est pourquoi je postais ici.
Ca me rassure.
L'exo est dans le livre de Bishop sur les fondements de l'analyse constructive.
A+

[invite986312212]

mmh... ma suggestion était débile en effet (néanmoins c'est intéressant d'étudier un peu la topologie p-adique, c'est plein de choses bizarres).
Mais si l'exercice provient d'un bouquin sur les maths constructives, il y a peut-être une idée de réponse: il me semble que dans cette approche on n'admet pas l'existence d'un objet qu'on ne peut pas construire. Il est possible qu'un ensemble soit considéré comme non borné si on ne sait pas exhiber une borne supérieure? Est-ce que par exemple majoré implique borné?

[inviteab2b41c6]

Salut,
non en fait c'est vraiment depuis la définition, et non depuis le fait que ce soit constructif ou pas.
Sinon être majoré n'a pas de sens dans un espace métrique quelconque je pense...

[invite986312212]

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Sinon être majoré n'a pas de sens dans un espace métrique quelconque je pense...

l'ensemble des d(x,y) est dans R. Encore qu'on pourrait dire qu'un ensemble est borné dès que cet ensemble est majoré.
Cependant, je maintiens: les maths constructives sont différentes des maths usuelles.

[invitec314d025]

Cependant, je maintiens: les maths constructives sont différentes des maths usuelles.

Oui, mais est-ce que ça fait une différence ici ?
Les maths constructives, ce sont bien celles où l'on s'interdit des axiomes qui ne semblent pas suffisament naturels comme l'axiome du choix ou je confonds ?

[invite986312212]

je crois que ça va assez loin: je ne suis pas sûr que R soit construit par complétion à partir de Q par exemple.