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Matrices semblables



  1. #1
    Eric78

    Matrices semblables


    ------

    Bonjour,

    Je bloque au début de mon problème... On définit un ensemble E qui contient les matrices A de M2(C) (matrices carrées d'ordre 2 dans IC) telles que A^2=Id. On me demande le nombre des classes d'équivalence de matrices emblables de E. Et donne un représentant de chaque classe.

    J'arrive à en trouver quelques unes: Id, -Id, [1,0][0,-1]... Mais je ne vois vraiment pas comment trouver le nombre de classes. J'ai essayé de résoudre un système, mais ca ne donne rien.

    Eric

    -----
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  3. #2
    invite986312212
    Invité

    Re : Matrices semblables

    pense au déterminant (ou à la trace du reste)

  4. #3
    Eric78

    Re : Matrices semblables

    Bah je ne vois pas trop en quoi ca aide pour trouver le nombre de classes d'équivalence...
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  5. #4
    invite986312212
    Invité

    Re : Matrices semblables

    Citation Envoyé par Eric78
    Bah je ne vois pas trop en quoi ca aide pour trouver le nombre de classes d'équivalence...
    est-ce que deux matrices semblables n'ont pas le même déterminant (et même trace)?

  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    Eric78

    Re : Matrices semblables

    Deux matrices semblables n'ont pas forcément le même déterminant, mais ont la même trace effectivement. Mais bon, il y a un paquet de matrices de même trace, et en plus, deux matrices de même trace ne sont pas forcément semblables...
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  8. #6
    invite986312212
    Invité

    Re : Matrices semblables

    Citation Envoyé par Eric78
    Deux matrices semblables n'ont pas forcément le même déterminant (...)
    qu'appelles-tu "semblables" ?

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  10. #7
    matthias

    Re : Matrices semblables

    Citation Envoyé par Eric78
    Deux matrices semblables n'ont pas forcément le même déterminant
    tu aurais un exemple ?

  11. #8
    Eric78

    Re : Matrices semblables

    J'ai rien dit Si A=P-1BP, alors detA=det(P-1)detBdetP=detB...

    Mais il n'empeche que même avec ca je vois pas comment faire!

    (deux matrices A et B sont semblables s'il existe P inversible telle que A=P-1BP nan?)
    Dernière modification par Eric78 ; 08/02/2006 à 13h22.
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  12. #9
    invite986312212
    Invité

    Re : Matrices semblables

    mais tu sais aussi que A^2=1, ça limite un peu les déterminants possibles.

  13. #10
    rvz

    Re : Matrices semblables

    Heu...
    Deux matrices semblables ont le même déterminant.
    De plus, si A^2 = Id, alors A est diagonalisable. En effet, elle est trigonalisable, disons, sur C, et ses valeurs propres sont des racines de 1.
    Donc, c'est semblabe (dans C) à une matrice de la forme (1,0;0,-1) (puisqu'alors elle est diagonalisable) ou (1,1;0,1), ou (-1,0;0,-1) ou (-1,1;0,-1) ou l'identité.
    CQFD.

    __
    rvz

  14. #11
    matthias

    Re : Matrices semblables

    ..............................

  15. #12
    rvz

    Re : Matrices semblables

    Je sais pas. Je me suis emporté

    __
    rvz

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  17. #13
    Eric78

    Re : Matrices semblables

    Citation Envoyé par rvz
    De plus, si A^2 = Id, alors A est diagonalisable. En effet, elle est trigonalisable, disons, sur C, et ses valeurs propres sont des racines de 1.
    Donc, c'est semblabe (dans C) à une matrice de la forme (1,0;0,-1) (puisqu'alors elle est diagonalisable) ou (1,1;0,1), ou (-1,0;0,-1) ou (-1,1;0,-1) ou l'identité.
    CQFD.
    J'ai du mal à comprendre pourquoi si A^2=Id, alors A est diagonalisable... Ca fait pas longtemps qu'on a fait ce chapitre, donc il doit me manquer des bases...
    Pour un TPE sur la cryptographie ou les trous noirs, allez voir mon profil.

  18. #14
    rvz

    Re : Matrices semblables

    J'ai pas dit diagonalisable, mais trigonalisable.

    __
    rvz

  19. #15
    eirtemoeg

    Re : Matrices semblables

    Trigonalisation ? plutôt triangulation..non ?

  20. #16
    Eric78

    Re : Matrices semblables

    Citation Envoyé par rvz
    De plus, si A^2 = Id, alors A est diagonalisable.
    Et après, tu dis "et ses valeurs propres sont des racines de 1.", j'ai encore du mal à suivre, dsl...
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  21. #17
    Quinto

    Re : Matrices semblables

    Les termes n'ont pas tellement d'importance.
    rvz tu as bien dit diagonalisable, mais c'est nécessairement le cas dans C par des arguments simples (polynôme scindé + matrice à coeff réel => pas de valeur propre complexe non réelle double).

    Il me semble que les matrices 2,2 qui ont même trace et déterminant sont nécessairement semablales (je crois que c'est vrai à l'ordre 3 également)
    On a alors que deux matrices qui ont les même valeurs propres sont semblables (et réciproquement)
    Ainsi, on a:
    1 comme valeur propre double
    -1 comme valeur propre double
    1 et -1 comme valeur propre
    Ce qui est la même chose que ce qu'a dit RVZ au fond...

  22. #18
    Quinto

    Re : Matrices semblables

    Citation Envoyé par Eric78
    Et après, tu dis "et ses valeurs propres sont des racines de 1.", j'ai encore du mal à suivre, dsl...
    bein c'est quand même trivial
    A(u)=ku pour u non nul, par définition de valeur propre.
    A^2(u)=A(ku)=kA(u)=k^2u
    mais A^2=id d'où k^2u=u et k^2=1

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  24. #19
    matthias

    Re : Matrices semblables

    Citation Envoyé par eirtemoeg
    Trigonalisation ? plutôt triangulation..non ?
    Les deux. Et aussi "triangularisation". On trouve un peu de tout.
    Perso je préfère trigonalisation. Pour une fois qu'on a le choix ...

  25. #20
    rvz

    Re : Matrices semblables

    L'identité et la matrice (1,1;0,1) ne sont pas semblables mais ont même déterminant et même trace.

    Effectivemnt, j'ai mis diagonalisable à la première ligne de mon poste, ce qui est faux. Il fallait lire trigonalisable.

    __
    rvz

  26. #21
    Quinto

    Re : Matrices semblables

    Citation Envoyé par rvz
    L'identité et la matrice (1,1;0,1) ne sont pas semblables mais ont même déterminant et même trace.

    Effectivemnt, j'ai mis diagonalisable à la première ligne de mon poste, ce qui est faux. Il fallait lire trigonalisable.

    __
    rvz
    Oui tu as totalement raison, j'ai malheureusement confondu avec
    même polynôme caractéristique et minimal
    ce qui n'a vous en conviendrz, qu'un maigre rapport...

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