Bonjour ,
mercredi je commence les oraux de CCP et j'ai un petit problème je me souviens pas comment on peut montrer que le produit de 2 matrices diagonalisables est diagonalisable.
De plus , Soit A dans Mn (R), A diagonalisable et
B=[ A A ] dans M2n( R) et je dois montrer que B est
4A A diagonalisable.
Et enfin comment on trouve la matrice inversible P pour montrer que deux matrices sont semblables par exemple : A= 1/4 [ 3 1 -1 0
0 2 0 0
Merci beaucoup
euh la suite de mon message est:
A= 1/4 [ 3 1 -1 0 ]
0 2 0 0
1 -1 1 0
0 0 0 2
et B = 1/4 [ a 1 -1 x ]
0 b 0 y
0 0 c z
0 0 0 d
merci
A et B diagonalisables :
il existe P et P' inversibles tels que :
A = P^-1DP
B = P'^-1D'P'
ou D et D' diagonales.
exprime AB de sorte à trouver une expression qui te permette de conclure
Je passe la suivante mais pour la dernière n'oublie pas que :
A = P-1BP <=> PA = BP et dét(P) <> 0
ah pardon pour la dernière (je n'avais pas vu ton post)
j'essairais directement de trigonaliser A en choisissant une base telle que l'on tombe directement sur B regarde bien c'est pas très difficile tu peux y arriver rapidement sans trop de mal
ne pas lire avant d'avoir réfléchis.
réponse à la 1 :
A diagonalisable
B diagonalisable
P, P' inversible D et D' diagonales telles que :
D = P^-1AP
D' = P'^-1BP'
On a :
DD' = P^-1APP'^-1BP'
Soit P" = PP'^-1 inversible car dét P et dét P' non nul
d'où P"^-1 = P'P^-1
DD' = P^-1AP"BP' (c'est juste la réécriture avec l'introduction de P")
PDD'P^-1 = AP"BP"^-1
Soit C semblable à B tel que C = P"BP"^-1 B est diagonalisable donc C l'est également
de plus DD' est le produit de 2 matrices diagonales donc D"=DD' est diagonale
finalement On a AC=PD"P^-1 le produit de 2 matrices diagonalisables est diagonalisable.
PS : Note que contrairement à ce que je t'ai indiqué avant, il paraît plus facile de travailler sur le produit des matrices diagonales DD' et non AB mais ça doit surement marcher. essaie plusieurs fois et trouve ta méthode.
AC est en effet diagonalisable, mais ça ne prouve pas que AB est diagonalisable!Envoyé par Romain BERTOUY
Je commence à douter de cette affirmation d'ailleurs.. Si les matrices A et B commutent, effectivement leur produit est diagonalisable, mais je ne suis pas certain que ce soit vrai dans le cas général.
Salut !
C'est normal que tu ne t'en souviennes pas puisque c'est faux ! Par exemple, on a
La première est diagonale, la seconde diagonalisable (2 valeurs propres distinctes) et pourtant le produit n'est pas diagonalisble (il est nilpotent, donc s'l était diagonalisable, ce serait la matrice nulle).
C'est un cas particulier d'une situation plus générale : la matrice B s'obtient par "support et motif"
N est le motif (ce qui est répété) et M est le support. La matrice obtenue s'appelle "produit tensoriel de M par N".
Essaie de montrer que. Ceci te permettra de montrer facilement que si les deux matrices M et N sont diagonlisables, alors
Merci doudache, je cherchais un contre-exemple à base de nilpotent et je partais un peu dans les étoiles
Et pour ce qui est de la 2e, très jolie démonstration
Merci ! Mais ça n'est sûrement pas de moi!
doudache>pour le produit tensoriel, pour que l'égalité (MxN)(M'xN')=(MM')x(NN') soit vraie, il faut pas aussi que les matrices commutent entre elles ? Je sais que c'est le cas ici mais c'est pour être sûr d'avoir compris, parce que quand on essaie de le démontrer ça marche si les matrices commutent mais sinon :s...
doudache>sinon j'arrive pas à voir en quoi le fait de montrer l'égalité avec le produit tensoriel ça va aider à prouver la diagonalisabilité de B, tu peux développer un peu s'il te plait ?
Non, ce n'est pas nécessaire. Une des façons de le montrer est la suivante :
- l'application (M,N) -> M¤N est bilinéaire, donc il suffit de montrer le résultat pour les matrices canoniques Ei,j, qui sont les matrices nulles partout sauf en i,j où le coefficient vaut 1.
- Ei,j¤Ek,l est aussi une matrice qui a tous ses coefficients non nuls sauf 1. Plus précisément, si la première matrice est de taille p et la seconde de taille n, alors
Donc, si je ne me trompe pas dans les indices, j'ai
(la dernière égalité se déduit du fait que (n-1)j+l = (n-1)i'+k' ssi j=i' et l=k' car l,k'<= n force |l-k'|<n)
D'autre part, j'ai
donc on trouve bien la même chose.
Cette démonstration est à oublier : si tu fais un peux d'algèbre plus tard, tu verras des démonstrations intrinsèques de ses choses là, et beaucoup plus parlantes !
Pour ce qui est du résultat de diagonalisabilité, commence par montrer que si P et Q sont inversibles (P¤Q)-1 = P-1¤Q-1. Cela devrait te mettre sur la voie pour la suite. Si tu as d'autres questions, n'hésite pas !
