Matrices semblables (suite)

[invite3f53d719]

Bonjour,

Cette fois je dois déterminer les classes d'équivalences des matrices semblable dans l'ensemble des matrices inversibles semblables à leur inverse. Les matrices sont d'ordre 2 dans le corps des complexes.

On prend donc une matrice A inversible, qui est semblable à une matrice triangulaire (a,b;0,c). En égalant le déterminant de A et de son inverse, on obtient c=1/a. On forme le polynôme caractéristique: C(X)=X^2 -(a+1/a)X+1. Si on a des racines simples (c'est à dire a différent de +-1), alors A est diagonalisable et donc semblable à (a,0;0,1/a).
Sinon, si a=+-1, bah je suis bloqué, car ce n'est pas diagonalisable... J'aimerais bien montrer que (1,b,0,1) n'est pas semblable à (1,b',0,1) si b'<>b, mais je n'y arrive pas :S

Si quelqu'un a des idées...

Eric
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[invitec314d025]

J'aimerais bien montrer que (1,b,0,1) n'est pas semblable à (1,b',0,1) si b'<>b, mais je n'y arrive pas :S

un contre-exemple:
A = (1,1,0,1)
B = (1,2,0,1)
P = (1,0,0,2)
B = P^-1AP

[invite3f53d719]

Ok merci, mais dans ce cas, comment faire pour trouver les classes d'équivalence des matrices du type (1,b,0,1) ou (-1,b,0,-1)?

[invite3f53d719]

Ca n'inspire personne?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite6b1e2c2e]

Et si cette famille de matrices était dans une seule classe de conjugaison...

Hint : Changer le deuxième vecteur de base, cf premier post...

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rvz

[invitec314d025]

Et si cette famille de matrices était dans une seule classe de conjugaison...

Je suppose que tu parles des matrices de la forme (1,b,0,1) .

Hint : Changer le deuxième vecteur de base, cf premier post...

Oui je supposais que mon contre-exemple indiquait la voie à suivre, mais visiblement ce n'était pas clair.

Eric essaie un changement de base tu type (1,0,0,a)

[invite3f53d719]

Merci!! Effectivement, j'aurais du penser à généraliser à partir de ton exemple...

Mais pourquoi cette matrice de passage? C'est juste du feeling, ou alors il y a une méthode plus générale caché derrière tout ca?

Eric

[invite6b1e2c2e]

En fait, on sait qu'une matrice 2*2 dont la seule valeur propre est 1 est semblable (dans C) à
(1,1;0,1) ou à l'identité. Cela vient par exemple de la décomposition canonique en bloc de Jordan. Cf par exemple le Gourdon d'algèbre. Or toute matrice semblable à l'identité est l'identité elle même. Après, je dirais que le chngement de base proposé est visible.
En effet, dans ton ancienne base.
u(e1) = e1
u(e2) = e2 + b *e1, b non nul
Donc u(e2) -e2 = b*e1
Donc u(e2/b) -e2/b= e1
Donc on pose juste f2 = e2/b.

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rvz