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Matrices semblables (suite)



  1. #1
    Eric78

    Matrices semblables (suite)


    ------

    Bonjour,

    Cette fois je dois déterminer les classes d'équivalences des matrices semblable dans l'ensemble des matrices inversibles semblables à leur inverse. Les matrices sont d'ordre 2 dans le corps des complexes.

    On prend donc une matrice A inversible, qui est semblable à une matrice triangulaire (a,b;0,c). En égalant le déterminant de A et de son inverse, on obtient c=1/a. On forme le polynôme caractéristique: C(X)=X^2 -(a+1/a)X+1. Si on a des racines simples (c'est à dire a différent de +-1), alors A est diagonalisable et donc semblable à (a,0;0,1/a).
    Sinon, si a=+-1, bah je suis bloqué, car ce n'est pas diagonalisable... J'aimerais bien montrer que (1,b,0,1) n'est pas semblable à (1,b',0,1) si b'<>b, mais je n'y arrive pas :S

    Si quelqu'un a des idées...

    Eric

    -----
    Pour un TPE sur la cryptographie ou les trous noirs, allez voir mon profil.

  2. Publicité
  3. #2
    matthias

    Re : Matrices semblables (suite)

    Citation Envoyé par Eric78
    J'aimerais bien montrer que (1,b,0,1) n'est pas semblable à (1,b',0,1) si b'<>b, mais je n'y arrive pas :S
    un contre-exemple:
    A = (1,1,0,1)
    B = (1,2,0,1)
    P = (1,0,0,2)
    B = P-1AP

  4. #3
    Eric78

    Re : Matrices semblables (suite)

    Ok merci, mais dans ce cas, comment faire pour trouver les classes d'équivalence des matrices du type (1,b,0,1) ou (-1,b,0,-1)?
    Pour un TPE sur la cryptographie ou les trous noirs, allez voir mon profil.

  5. #4
    Eric78

    Re : Matrices semblables (suite)

    Ca n'inspire personne?
    Pour un TPE sur la cryptographie ou les trous noirs, allez voir mon profil.

  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    rvz

    Re : Matrices semblables (suite)

    Et si cette famille de matrices était dans une seule classe de conjugaison...

    Hint : Changer le deuxième vecteur de base, cf premier post...

    __
    rvz

  8. #6
    matthias

    Re : Matrices semblables (suite)

    Citation Envoyé par rvz
    Et si cette famille de matrices était dans une seule classe de conjugaison...
    Je suppose que tu parles des matrices de la forme (1,b,0,1) .

    Citation Envoyé par rvz
    Hint : Changer le deuxième vecteur de base, cf premier post...
    Oui je supposais que mon contre-exemple indiquait la voie à suivre, mais visiblement ce n'était pas clair.

    Eric essaie un changement de base tu type (1,0,0,a)

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  10. #7
    Eric78

    Re : Matrices semblables (suite)

    Merci!! Effectivement, j'aurais du penser à généraliser à partir de ton exemple...

    Mais pourquoi cette matrice de passage? C'est juste du feeling, ou alors il y a une méthode plus générale caché derrière tout ca?

    Eric
    Pour un TPE sur la cryptographie ou les trous noirs, allez voir mon profil.

  11. #8
    rvz

    Re : Matrices semblables (suite)

    En fait, on sait qu'une matrice 2*2 dont la seule valeur propre est 1 est semblable (dans C) à
    (1,1;0,1) ou à l'identité. Cela vient par exemple de la décomposition canonique en bloc de Jordan. Cf par exemple le Gourdon d'algèbre. Or toute matrice semblable à l'identité est l'identité elle même. Après, je dirais que le chngement de base proposé est visible.
    En effet, dans ton ancienne base.
    u(e1) = e1
    u(e2) = e2 + b *e1, b non nul
    Donc u(e2) -e2 = b*e1
    Donc u(e2/b) -e2/b= e1
    Donc on pose juste f2 = e2/b.

    __
    rvz

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