déterminant de matrices semblables

[invitee75a2d43]

bonjour,

j´ai encore une question à propos de matrices. Dans mon cours je lis:

"Deux matrices semblables on même déterminant"

bon, c´est á dire que je peux faire des opérations élementaires sur ma matrice sans changer le déterminant.

Pourtant si j´effectue l´opération élémentaire d´échange de deux lignes je n´optiens pas le même déterminant, par exemple dans une matrice carrée d´ordre 2, dans un cas j´obtiens ad-bc, dans l´autre bc-ad

Est-ce que quand j´échange 2 lignes, ma matrice n´est plus semblable?
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[invite4793db90]

Salut,

attention deux matrices M et M' sont semblables si M'=PMP^-1 donc ça:

c´est á dire que je peux faire des opérations élementaires sur ma matrice sans changer le déterminant.

c'est faux.

Par contre tu devrais savoir qu'une permutation des lignes ou colonnes change le signe du déterminant en fonction de sa signature.

Cordialement.

[invitee75a2d43]

merci martin_bird, tu m´as fait éviter une grossière erreur

cordialement

[invite35452583]

Au début, il vaut mieux (du moins au brouillon) voir ces opérations explicitement avec des matrices. C évited'apprendre de nombreuses règles "bêtement" avec un risque important de confusion.
Le changement de colonnes correspond dans ton exemple à multiplier à gauche par la matrice :

de déterminant -1.
(Pour un changement de colonnes dans en plus grande dimension, il y a une diagonale de 1 avec deux "trous" et deux 1hors diagonale situés symétriquement)

Pour obtenir une matrice semblable, il faudrait multiplier à droite par ce qui correspond à un changement de lignes.
Pour ces opérations élémentaires c'est le changement de base

[A voir en vidéo sur Futura]