bornes (encore)

[The Artist]

Salut à tous !

Soient A et B deux parties non vide de R (les réels) telles que pour tout x de A et tout y de B on ait x<=y
Démontrer que sup A et inf B existent et que sup A<= inf B

Ma réponse partielle :

A est majoré par tout y de B donc sup A existe. Pareil, B est minoré par tout x de A donc inf B existe.
Mais pour la suite je bloque...
sup A >= max A (le plus grand élément de A)
inf B <= min B (le plus petit élément de B)
On sait aussi que max A <= min B mais comment peut on démontrer sup A<= inf B avec ça ??
-----

[invitea8d97425]

Pourquoi pas des passages à la borne sup et inf dans l'inégalité de départ ?

En gros, A "minore" tous les éléments de B, donc sa borne inférieure aussi... Pareil dans l'autre sens (mais avec inf B). Ca doit marcher avec les inégalités larges.

[The Artist]

salut,
On a effectivement inf A <= x <= sup A et inf B <= y <= sup B mais qu'est ce qui prouve que sup A <= inf B ? Je ne le vois pas, peux tu m'expliquer stp ?

[taladris]

Salut l'artiste!

sup A >= max A (le plus grand élément de A)
inf B <= min B (le plus petit élément de B)

Il n'y a aucune raison que max A et min B existent (par exemple, A= [0,1[ et B=]1,2[)

Sinon, il me semble qu'une démo par l'absurde en supposant sup A > inf B pourrait marcher (j'ai pas testé)

Cordialement

[A voir en vidéo sur Futura]

[taladris]

je confirme: ça marche par l'absurde.
Et fais des dessins pour bien voir ce qu'il se passe (c'est toujours utile en topologie.)

A+

[Gwyddon]

Il n'y a aucune raison de passer par un raisonnement par l'absurde, ce que donne Ithilian marche très très bien, et je redonne le raisonnement :

Soit y0 fixé dans B, mais quelconque. Pour tout x dans A, on a donc A est une partie non vide majorée : sup A existe, et par définition .

De même, en fixant x0 dans A, le même type de raisonnement s'applique pour justifier l'existence de inf B.

Si on reprend mon premier paragraphe, on a pour tout y0 dans B . Donc sup A est un minorant de l'ensemble B, par conséquent la définition de inf B impose que .

Et comme l'ont rappelé les autres, max A et inf B n'existent pas toujours, donc tout raisonnement s'appuyant sur ces notions est incorrect (puisque il n'est pas précisé dans l'énoncé de départ que max A et inf B existent).

[The Artist]

sup A existe, et par définition sup A<= y0

De quelle définition fais tu référence ? Peux tu m'expliquer stp ?

Sinon pour le reste je te remerçie car j'ai bien compris.

[Gwyddon]

Le fait que sup A existe vient de l'axiome de la borne supérieure : toute partie non-vide et majorée de R admet un sup.

Ensuite, l'inégalité qui vient après est issue directement de la définition du sup :

"soit A un ensemble inclu dans H. On note X l'ensemble de tous les majorants de A (ie l'ensemble des x de H tels que pour tout a dans A, ). sup A, s'il existe, est le minimum de l'ensemble X"

Dis autrement, "sup A est le plus petit des majorants". Donc si y0 majore A, nécessairement .

[The Artist]

Très très clair !! Merci !!