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suite majorée et bornes



  1. #1
    sensor

    suite majorée et bornes


    ------

    Bonjour.
    Je dois montrer que la suite suivante est majorée mais je ne sais pas comment commencer :
    u(n)= 3n/(n+1).

    Je dois aussi étudier les bornes de deux suites suivantes ;
    u(n)= (1/n)-(1/racine de n).
    et u(n) = n²+10n-3 et j'ai trouvé comme réponse (un) est str croissante à partir du rang 6.


    Merci de bien vouloir me répondre et confirmer la réponse.

    -----

  2. Publicité
  3. #2
    sensor

    Re : suite majorée et bornes

    Rebonjour.
    Je dois montrer par récurrence que 2 =<un=<3 :
    u0 = 3
    u(n+1) = 2+(1/un).
    Merci de bien vouloir me répondre.

  4. #3
    Romain BERTOUY

    Re : suite majorée et bornes

    salut voici quelques pistes :

    pour 1, Un = 3n/(n+1) mets le sous la forme 3/(1 + 1/n) cela t'éclaireras un peu plus.

    pour le 3, Un = n² + 10n - 3, tu peux étudier dans un premier temps le polynome correspondant dans lR (P(x) = X² + 10 X -3) tu peux ensuite faire un graph et chercher le sommet d'une parabole à partir de formule que tu connais.
    Romain

  5. #4
    sensor

    Re : suite majorée et bornes

    Salut Romain.
    Je pense que je réussirais les deux premiers sans problème mais par conter pour le raisonnement par récurrence je ne vois pas comment démarrer.
    Merci de m'aider.

  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    Romain BERTOUY

    Re : suite majorée et bornes

    Resalut,

    alors la récurrence, c'est simple :
    1ère étape, on vérifie la proposition au 1er rang

    ici la proposition c'est 2=<Un=<3 et le 1er rang c'est Uo

    Uo = 3 donc 2=<Uo=<3 : la Proposition est vraie au premier rang

    2ème étape, on suppose la proposition vraie au rang n (2=<Un=<3) et on la démontre au rang n+1 ( en fait on montre que 2=<Un+1=<3)

    Bon, alors d'une part que peux tu dire avec 2=< Un =<3 ?

    Est ce que tu sais encadre 1/Un à partir de cette formule ?
    Romain

  8. #6
    sensor

    Re : suite majorée et bornes

    On peut dire que un est str croissant avec 2=<un=<3.

    Encadrement :

    (1/2)=<(1/un)=<(1/3)

    Et je n'ai pas compris :
    démontre au rang n+1 ( en fait on montre que 2=<Un+1=<3)
    ça ne serait pas : en fait on montre que 2+1=<Un+1=<3+1 ????

  9. Publicité
  10. #7
    sensor

    Re : suite majorée et bornes

    Tu es là Romain ????

  11. #8
    Romain BERTOUY

    Re : suite majorée et bornes

    "(1/2)=<(1/un)=<(1/3)"


    en écrivant ça, tu affirmes que 1/2 est plus petit que 1/3 regarde bien c'est louche.

    En fait quand on inverse, il faut intervertir les bornes (cela vient de la décroissance de la fonction 1/x)

    donc :

    1/3 =< 1/Un =< 1/2.

    " 2+1=<Un+1=<3+1 ????"

    non non, c'est bien 2 =< Un+1 =< 3 on met pas des +1 partout, on met des n+1 à la place des n c'est tout.

    la pour la récurrence, tu doit montrer que c'est valable pour n+1 si on suppose que c'est vrai pour le rang n donc :

    On suppose : 2 =< Un =< 3, cela implique que 1/3 =< 1/Un =< 1/2

    d'où dans la définition de Un, on a Un+1 = 2 + 1/Un et gràce à l'encadrement de 1/Un tu peux écrire : 2 + 1/3 =< Un+1 =< 2 + 1/2
    (tu remplaces Un+1 par sa formule 2 + 1/Un, il suffit donc de rajouter 2 dans chaque membre de l'inégalité pour retrouver un encadrement de Un+1)

    or 2 =< 2 + 1/3 et 2 + 1/2 =< 3 donc on a bien 2 =< Un+1 =< 3
    Romain

  12. #9
    Moma

    Re : suite majorée et bornes

    Salut,

    je crois qu'il n'est pas là .

    Mais par contre, je veux bien te donner un aute petit coup de main : revérifie la double inégalité que tu viens d'écrire. Moi je lis a peu près .

    Le problème viens peut-être de là.... Tu as oublié d'inverser le sens des inégalités en passant à l'inverse (car est décroissante sur ]0,+infini[ ) .

    Une fois ce ceci reglé, ton problème l'est presque également (essai de bien cerner de que tu cherches)

    Amicalement
    Moma


    EDIT : petit croisement, et double réponse

  13. #10
    sensor

    Re : suite majorée et bornes

    Merci moma.

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