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partie de Q non vide majorée et sans borne supérieur!!



  1. #1
    Thorgall

    voila le problème:
    On note par Q+ l'ensemble des nombres rationnels positifs cad Q+={x appartient a Q et x>=0}
    soit A={x appartient a Q+ telque x²=<2}
    1) démontrer que A est non vide et majorée de Q
    ceci est facil et suffit juste de prendre 1/1 qui appartient a Q+ et (1/1)²=<2
    et pour une partie majorée il suffit de montrer qu'il existe un rationnel au carré qui soit supérieur a 2 (ex (3/2)²)

    2) demontrons par l'absurde que A ne possede pas de borne superieur dans Q
    supposons que A possede une borne supérieur et notons r cette borne
    a) demontrer que r²=2 est impossible
    en effet r=racine (2) or racine de 2 n'appartient aps a Q donc c'est impossible..

    b) supposons r²<2
    demontrer quand choissisant un h rationnel strictement possitif suffisament petit ; le rationnel a=r+h est tel que a²<2.. [il fo exhiber un h convenable]

    Voila c a cet question que je bloque et que j'arrive pas a demontrer..
    donc si une personne pourrais expliquer comment on demontre cela ce serai bien!!


    Merci d'avance

    -----

  2. #2
    Quinto

    Bien sur que ton ensemble possède une borne supérieure, ce n'est pas un maximum, mais c'est une borne superieure.

    Toue partie non vide et majorée de R possède une borne superieure, à fortiori c'est encore vrai pour Q puisque Q est une partie de R et que c'est vrai pour TOUTE partie de R.

    C'est juste qu'elle n'est pas dans Q, mais ca c'est pas tellement surprenant...

  3. #3
    curieux

    b) supposons r²<2
    demontrer quand choissisant un h rationnel strictement possitif suffisament petit ; le rationnel a=r+h est tel que a²<2.. [il fo exhiber un h convenable]
    Prends donc h = 1/k. Il te faut trouver un entier k tel que
    (r+1/k)² < 2 c'est-à-dire tel que 2r/k + 1/k² < 2 - r²
    Or 2r/k + 1/k² a pour limite 0 quand k tend vers oo. D'autre part 2-r² > 0. Donc tu peux toujours trouver un entier k tel que 2r/k + 1/k² < 2 - r²


    Pour le fun: si tu prends h = (4 - 2r²)/(2r+3) , ça marche aussi mais c'est plus magique....

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