Ensembles fermés, ouverts, parfaits et bornés

[Seirios]

Bonjour à tous,

Je suis en train de lire un petit cours de topologie élémentaire, et plus particulièrement sur les ensembles fermés, ouverts, parfaits et bornés.

Une fois lu la partie théorique, je suis passé à la partie pratique, mais je me suis alors aperçu que je ne maîtrisais pas du tout ces notions...

Par exemple, je vois dans un exemple de mon cours que l'ensemble des complexes tels que est fermé, parfait, borné et n'est pas ouvert, mais je ne vois pas pourquoi...

Quelqu'un pourrait-il m'expliquer ?

Merci d'avance
Phys2
-----

[invited5b2473a]

Dans le cas de ce disque D, il est ouvert si pour tout point de ce disque z, tu peux trouver un rayon r tel que l'ensemble {z | |z-z|<r} soit inclus dans D. Or, pour le point (1,0), tu ne peux pas trouver un tel r. Donc D n'est pas ouvert. (Il est fermé en fait, i.e, son complémentaire est ouvert).

[invitebb921944]

Tu devrais dessiner ton ensemble sur le plan complexe !
Tu obtiens un disque (la frontière qui est le cercle de rayon 1 est comprise dans ton ensemble).

On dit qu'une partie A incluse dans E est un ouvert de (E,d) si pour tout a appartenant à A, il existe epsilon>0 tel que la boule ouverte de centre a et de rayon epsilon (munie de la distance d) est incluse dans A.

Ici, puisque le cercle de rayon 1 est inclu dans ton ensemble, il suffit de prendre un point quelconque de ce cercle et il n'existe pas de epsilon verifiant la propriété suivante.
Ton ensemble n'est donc pas ouvert.

Le complémentaire de ton ensemble dans le plan complexe est quant à lui ouvert, ton ensemble est donc fermé.

Ton ensemble est evidemment borné.

Je ne sais pas ce qu'est un ensemble parfait

[inviteab2b41c6]

Donc D n'est pas ouvert. (Il est fermé en fait, i.e, son complémentaire est ouvert).

Oui attention tout de même, ce n'est pas parce qu'il est fermé qu'il ne peut pas être ouvert.

[A voir en vidéo sur Futura]

[FonKy-]

Oui attention tout de même, ce n'est pas parce qu'il est fermé qu'il ne peut pas être ouvert.

un ouvert peut etre fermé ? ah bon exemple ?

[invite9c9b9968]

L'ensemble vide, ou l'ensemble IR pour toute topologie sur IR.

On dira d'ailleurs d'un ensemble E qu'il est connexe pour la topologie considérée lorsque les seuls sous-ensembles ouverts et fermés à la fois sont l'ensemble vide et E.

[Seirios]

On dit qu'une partie A incluse dans E est un ouvert de (E,d) si pour tout a appartenant à A, il existe epsilon>0 tel que la boule ouverte de centre a et de rayon epsilon (munie de la distance d) est incluse dans A.

Faut-il que epsilon appartienne à A ?

Je ne sais pas ce qu'est un ensemble parfait

E est un ensemble parfait s'il est fermé et qu'il ne contient aucun point isolé.

[Flyingsquirrel]

Faut-il que epsilon appartienne à A ?

Non epsilon est un réel strictement positif. (d'ailleurs si A est un ensemble complexe et que l'on prend epsilon dans A, "la boule de rayon espilon" n'a aucun sens: une boule de rayon epsilon et de centre M est l'ensemble des points P tels que |PM| <= epsilon et comme toutes les normes sont à valeurs réelles positives... tu compares un complexe et un réel)

[invitebb921944]

Ton ensemble est donc evidemment parfait, ca se voit sans problème en faisant un dessin !
J'ai effectivement oublier de préciser que epsilon est un réel.

[inviteab2b41c6]

Ton ensemble est donc evidemment parfait, ca se voit sans problème en faisant un dessin !
J'ai effectivement oublier de préciser que epsilon est un réel.

Oui bien sur mais il faut le montrer.
En utilisant la convexité je pense que c'est clairement sans point isolé.

a+

[invitebb921944]

La connexité par arcs fonctionne bien ici aussi il me semble.

[inviteab2b41c6]

Bien sur, mais autant aller au plus simple.