ouverts-boules

[invitefa636c3d]

bonsoir à tous;

j'ai une question de topologie:

on m'a dit en cours que deux métriques sont topologiquement équivalentes si elles définissent la même topologie ie les mêmes ouverts mais pas nécessairement les mêmes boules ;

c'est ce dernier point (pas les mêmes boules) qui me pose problème
en fait j'ai un peu de mal avec les ouverts et les boules...


bref comme vous pouvez le voir je ne suis pas au clair avec les ouverts, boules,voisinages...(même si je connais bien les définitions)

alors si quelqu'un peut "m'éclaircir" les idées, ça m'aiderait à avancer.

amicalement
jameso
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[inviteca3a9be7]

C'est pô compliqué tu vas voir, dans un espace métrique A est ouvert si pour tout élément x de A il existe r > 0 tel que B(x,r) est dans A. On dit rien sur la forme de B(x,r).

Un exemple extrême : sur IR, prends d1(x,y)=|x-y| et d2(x,y)=min(1,d1(x,y))
d1 et d2 sont 2 distances, d1 et d2 sont topologiquement équivalentes (mais pas équivalentes vu qu'y'en a une qui est bornée).

Méh : B_2(0,2) = IR != B_1(0,2)


Moins tordu, regarde aussi la tronche des boules dans IR^n suivant que tu prends les normes ||1, ||2 ou ||+oo : c'est des "vraies" boules, des hyper-pavés , des hyper-losanges, ....

[invitefa636c3d]

salut µµtt;
une seule chose me gène un peu au début de ta réponse sinon j'ai compris le reste.

je précise en te citant: "On dit rien sur la forme de B(x,r)" ;veux-tu dire qu'on ne parle pas encore de boules ouvertes...

en fait tant qu'on reste dans un espace métrique ça va mais quand on passe à l'espace topologique j'ai plus de mal...

je te remercie (c'est la moindre des choses que je puisse faire)
jameso

[inviteca3a9be7]

Salut James,

je précise en te citant: "On dit rien sur la forme de B(x,r)" ;veux-tu dire qu'on ne parle pas encore de boules ouvertes...

Ce que je voulais dire c'est que il suffit qu'il y ait une boule ouverte (son rayon importe peu) et que (pour parler dans IR²) les boules peuvent être carrées, rondes, ou des trucs impossibles à imaginer (style distances ultramétriques) si on les dessine sur une feuille, ça n'a pas d'importance non plus.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite51f4efbf]

bonsoir à tous;

j'ai une question de topologie:

on m'a dit en cours que deux métriques sont topologiquement équivalentes si elles définissent la même topologie ie les mêmes ouverts mais pas nécessairement les mêmes boules ;

Boule c'est au sens métrique : l'ensemble des points dont la distance à un point est plus petite qu'un rayon r. Change la métrique, tu changes la gueule des boules. Tu peux avoir des boules carrées, ou cubiques. C'est toujours une boule.

Ensuite, tu peux te poser la question de l'équivalence des topologies associées. Si les métriques sont équivalentes (il existe tels que , alors dans toute boule de la métrique tu peux mettre une boule de la métrique et vice-versa. Les deux topologies sont donc les mêmes. En effet, en tout point d'une boule , tu peux mettre une boule (caractérisation d'un ouvert), et donc une boule (par ce qui précède). Les boules sont donc ouvertes pour , et ainsi la topologie est contenue dans la topologie . Fais l'argument symétrique, et c'est goal.

En supprimant une des inégalités, l'une des topologies est plus grossière que l'autre.

Si tu n'as pas de métrique, tu n'as pas de boules : plus que de la topologie.