Ensembles et sous ensembles

[invité576543]

Pour mettre mon grain de sel, je livre ces quelques petites réflexions personnelles sur la notion de classe d'équivalence.

Ce que Lédescat a présenté est la formalisation de la notion. Mais ça ne suffit pas pour en faire comprendre le sens.

D'une certaine manière, la relation d'équivalence a une place fondamentale dans notre manière de pensée, et par voie de conséquence dans les mathématiques des humains.

Elle est derrière la simple notion de "pareil", de "même".

Il est d'usage courant de parler de "même" ou "pareil" pour des objets différents. Par exemple, "nous avons la même voiture, mais de couleur différente" . On peut dire "Deux objets différents sont pareils"; au sens littéral c'est un oxymore direct. Plus subtil, dire "deux objets sont pareils", ou "deux objets sont identiques" sont aussi des oxymores: le "deux" n'est pas compatible, à un certain sens, avec "identique".

Dans un petit bouquin de la Mensa, on voit deux images de panda, et on demande de trouver les trois différences. Tout le monde voit immédiatement (sans Médiat?) deux différences, et peu pensent à la troisième, qui est simplement qu'il y en a deux (par exemple ils ne sont pas à la même place dans la page).

Tout ça pour dire quoi? Qu'au sens strict parler du "même", de "pareil" ou de "identique", ne devrait être applicable qu'à l'identité absolue, une seul et même chose (comme dans "nous habitons sur la même planète"). Les autres usages font implicitement référence à une relation d'équivalence.

En gros, quand on compare deux choses, le seul fait qu'on parle de deux choses implique qu'il y a des différences. Mais si on choisit parmi toutes les propriétés de ces deux choses uniquement certaines d'entre ces propriétés, on va dire qu'elles sont "pareilles" quand ces propriétés coïncident. Formellement, cela correspond à décrire une relation d'équivalence (en allant plus loin la notion même de propriété, d'attribut, est en rapport avec une relation d'équivalence).

Vu ainsi, une partie immense du vocabulaire (dont le "rouge" de Médiat) s'interprète comme des relations d'équivalence.

Juste une illustration: en astronomie on écrit le Soleil, la Lune, avec une majuscule. Cela représente une seule chose (un pseudo aussi, et ça fait un bout de temps que je regrette d'avoir choisit mmy et non MMy; Médiat, Lédescat, Gwyddon et bien d'autres ont fait attention à ce petit détail). Par contre on parlera de lunes pour parler de satellites de planètes, comme "les lunes de Jupiter). L'absence de majuscule signe une classe d'équivalence, i.e., les objets astronomiques partageant (entre autres) l'attribut de "satellite de planète".

Ainsi, bien comprendre la notion de classe d'équivalence revient à bien comprendre comment deux choses peuvent être à la fois différentes et identiques.

Un dernier point (plutôt pour la confusion, et pour faire sursauter Médiat), le signe "=" en mathématique est toujours un signe d'équivalence et non pas d'identité. Dans 2=1+1 c'est évident puisque l'expression de droite à trois caractères alors que celle de gauche en a un seul. Dans 1=1, c'est plus subtil; mais, comme dans le cas des pandas, les deux "1" ne sont pas au même endroit sur la page...

Cordialement,
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[Médiat]

Un dernier point (plutôt pour la confusion, et pour faire sursauter Médiat),

Tu veux dire que tu viens de me coller au plafond ...

le signe "=" en mathématique est toujours un signe d'équivalence et non pas d'identité.

L'égalité étant défini comme une relation d'équivalence (plus quelques autres propriétés ), cette phrase ne me choque pas trop, d'autant plus que la relation d'équivalence sur un ensemble se transforme canoniquement en égalité dans l'ensemble quotient, par exemple avec la relation évoquée pour définir les rationnels dans` mais dans le quotient.

Dans 2=1+1 c'est évident puisque l'expression de droite à trois caractères alors que celle de gauche en a un seul. Dans 1=1, c'est plus subtil; mais, comme dans le cas des pandas, les deux "1" ne sont pas au même endroit sur la page...

Là par contre ...
L'égalité ne porte pas sur la représentation (j'avais posté dans science ludique une petite énigme basée là-dessus), quant à la notion de "écrit à un endroit sur une page", j'ai peur que cela ne soit pas suffisament "ontologique" pour être pris en compte par les mathématiques.
Pour illustrer : je suppose que ta première égalité concerne les symboles standards de constantes du modèle bien connu muni de son addition habituelle, dans cette hypothèse "1+1" n'existe pas dans ce modèle, ce qui existe c'est 1, 2, ainsi que la relation ternaire habituellement notée +, et tu affirmes que (et je confirme) +(1,1,2), il n'y a pas besoin de l'égalité pour l'écrire.

Tu t'attendais à ma réaction, espèce de provocateur

[invitec053041c]

C'est ce que j'appelle une belle joute mathématique .

Ce que Lédescat a présenté est la formalisation de la notion. Mais ça ne suffit pas pour en faire comprendre le sens.

Tu as complètement raison, je n'ai de toutes les manières pas le recul nécéssaire pour faire autre chose que formaliser.

D'une certaine manière, la relation d'équivalence a une place fondamentale dans notre manière de pensée, et par voie de conséquence dans les mathématiques des humains.

Elle est derrière la simple notion de "pareil", de "même".

Oui c'est vrai, sans notion d'équivalence, tout deviendrait très vite chaotique: mon frère me conseille d'acheter le CD de Manu Chao, j'arrive au magasin et je me retrouve devant une montagne de CDs , non pas identiques mais équivalents. Sans cette dernière relation, je rentrerais chez moi, déçu de n'avoir pas trouvé le CD de Manu Chao.

L'égalité étant défini comme une relation d'équivalence (plus quelques autres propriétés ), cette phrase ne me choque pas trop, d'autant plus que la relation d'équivalence sur un ensemble se transforme canoniquement en égalité dans l'ensemble quotient

Je commence à saisir cette notion de quotient, c'est pas si évident !


François