Ensembles et Applications

[invite06353434]

Bonjour j'ai quelques petits problemes concernant des exercices sur les applications et la notion d'ensembles, voici les questions :

- quelle est la condition faut il imposer a un ensemble E pour pouvoir affirmer que toute application surjective de E dans E est bijective ? Meme question avec une application injective ?

- comment montrer que :
E\A U E\B = E\(A inter B) ?
sachant que A et B sont deux sous ensembles de E.
j'essaie de montrer que (E\A U E\B ) C (E\(A inter B)) puis l'inverse donc je fais :
soit x € E\A U E\B donc (x € E et x n'appartient pas a A) ou (x € E et x n'appartient pas a B) mais je ne sais pas s'il est correct de dire ensuite que cela corresponds a :
(x€E) et (x n'appartient pas A inter B)

merci d'avance pour votre aide.
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[invite836a0f72]

Hello !

- quelle est la condition faut il imposer a un ensemble E pour pouvoir affirmer que toute application surjective de E dans E est bijective ? Meme question avec une application injective ?

Que se passe-t-il si ton ensemble est de cardinal fini ?

- comment montrer que :
E\A U E\B = E\(A inter B) ?
sachant que A et B sont deux sous ensembles de E.
j'essaie de montrer que (E\A U E\B ) C (E\(A inter B)) puis l'inverse donc je fais :
soit x € E\A U E\B donc (x € E et x n'appartient pas a A) ou (x € E et x n'appartient pas a B) mais je ne sais pas s'il est correct de dire ensuite que cela corresponds a :
(x€E) et (x n'appartient pas A inter B)

Essaie de procéder à l'envers. Quelle est la condition pour que x ne soit pas dans F = E\A U E\B ?

Déjà il faut que x soit dans A.

S'il est dans A et pas dans B, alors x est dans E\B donc
dans F. Donc la condition "x n'est pas dans F" implique que "x est dans A inter B". Donc "x n'est pas dans G=E\(A inter B)"

Inversement, si x n'est pas dans G, ie pas dans A inter B, alors il n'est pas dans F (puisqu'il n'est ni dans E\A ni dans E\B)

Donc "x n'appartient pas à F" <=> "x n'appartient pas à G" donc complémentaire de F = complémentaire de G
donc F = G.

Ca te paraît plus clair ?

A+

JJ

[invite06353434]

Merci beaucoup pour la deuxieme partie je n'avais pas penser a faire comme cela, mais en cours on n'a pas parler de cardinal donc pourrais tu me reexpliquer la premiere partie ? merci

[invite554bd987]

bas en fait si elle est surjective il faut kel soit injective
, et vice versa

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite554bd987]

et ensuite il faut dire que E est en bijection avec[|1,n|] ou n est un entier naturel non nul

[invite554bd987]

ce ki revient a dire que ton ensemble est de cardinal fini comme disait jjf

[invite836a0f72]

Le cardinal d'un ensemble est le nombre d'élément de cet ensemble.

Il est assez facile de voir que si une application est surjective sur un ensemble fini, alors elle est aussi injective, donc bijective.

D'autre part, il est facile de construire un contre-exemple pour un ensemble de taille infini, par exemple l'application qui à n associe 2*n sur . Creuse un peu de ce côté là.

A+

JJ