Applications, ensembles infinis et conjecture ...

[Bleyblue]

Bonjour,

J'ai ici trois ensembles :

A = {0,1}^IN (l'ensembles des applications de IN vers {0,1} )
B = IN^{0,1}
C = IR^{0,1}

Je sais que le seul qui soit infini dénombrable est l'ensemble B

De ce résultat j'aimerais bien tirer une règle concernant la dénombrabilité des ensembles d'applications d'un ensemble vers un autre (je sais qu'on ne pourra jamais tout faire avec des recettes mais vous trouvez ça simple de déterminer comme ça en un coup d'oeil si un tel ensemble est ou n'est pas infini dénombrable vous ?)

A) Les fonctions (IN -> {0,1})sont surjectives et non injectives.
Le domaine est infini dénombrable

B) Les fonctions ( {0,1} -> IN) ne sont ni injectives ni surjectives
L'ensemble d'arrivé (qui est différent de l'ensemble image) est infini dénombrable

C) Les fonctions ({0,1} -> IR) ne sont si injectives ni surjectives .
L'ensemble de d'arrivé est infini non dénombrable

Pensez vous que je puisse conjecturer qu'un ensemble de fonctions (A -> B) n'est infini dénombrable que si A est fini et B fini OU infini dénombrable ?

Je serai bien incapable de le démontrer mais pensez vous que ma conjecture soit juste ?
Ou bien je suis à côté (ça ne m'étonnerait pas ...) ?

merci !
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[Bleyblue]

Pensez vous que je puisse conjecturer qu'un ensemble de fonctions (A -> B) n'est infini dénombrable que si A est fini et B fini OU infini dénombrable ?

On peut déja écarter le cas B fini sinon l'ensemble des applications A -> B est fini lui aussi.

[matthias]

A) Les fonctions (IN -> {0,1})sont surjectives et non injectives.
Le domaine est infini dénombrable

Elles ne sont pas nécessairement surjectives (fonctions constantes).

B) Les fonctions ( {0,1} -> IN) ne sont ni injectives ni surjectives
L'ensemble d'arrivé (qui est différent de l'ensemble image) est infini dénombrable

Elles peuvent être injectives (fonctions non constantes).

C) Les fonctions ({0,1} -> IR) ne sont si injectives ni surjectives .

Elles peuvent être injectives (fonctions non constantes).

[martini_bird]

Salut,

ta conjecture est correcte (mis à part qu'il faudrait éliminer les cas pathologiques comme celui où A ou B sont des singletons) et tu as les éléments pour la démontrer: un ensemble infini dénombrable est équipotent à IN; IN^{0,1} et par récurrence IN^A, où A est fini, est dénombrable; si A est infini, B^A contient une partie équipotente à {0,1}^A donc n'est pas dénombrable.

Cordialement.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Bleyblue]

Elles ne sont pas nécessairement surjectives (fonctions constantes).
Elles peuvent être injectives (fonctions non constantes).
Elles peuvent être injectives (fonctions non constantes).

Ouille, même la je me suis trompé, ça promet ...

et tu as les éléments pour la démontrer:

Je vais essayer mais lorsqu'il s'agit de raisonner je suis d'une médiocrité incroyable

merci !