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Ensembles infinis indénombrables



  1. #1
    Seirios

    Ensembles infinis indénombrables


    ------

    Bonjour à tous,

    Je ne comprends pas comment un ensemble infini pourrait être indénombrable...Car par définition, un ensemble indénombrable est un ensemble qui n'est pas dénombrable (), c'est-à-dire qui n'a pas le même cardinal que N.

    Pourtant N est infini, donc je ne vois pas comment un ensemble infini pourrait avoir un cardinal différent de celui de N...

    Quelqu'un pourrait-il m'aider ?

    Merci d'avance
    Phys2

    -----
    If your method does not solve the problem, change the problem.

  2. Publicité
  3. #2
    Médiat

    Re : Ensembles infinis indénombrables

    Citation Envoyé par Phys2 Voir le message
    Pourtant N est infini, donc je ne vois pas comment un ensemble infini pourrait avoir un cardinal différent de celui de N...
    En ayant le cardinal de l'ensemble des parties de N, par exemple (il y a plusieurs démonstrations du théorème de Cantor qui dit qu'un ensemble n'a jamais le même cardinal que l'ensemble de ses parties).

    Je te laisse imaginer P(P(P(N)))... et pourquoi s'arrêter à 3 étages ...
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  4. #3
    Gunman

    Re : Ensembles infinis indénombrables

    Tiens, jette un oeil ici, c'est très bien expliqué
    http://fr.wikipedia.org/wiki/Infini#...dinaux_infinis

  5. #4
    invite986312212
    Invité

    Re : Ensembles infinis indénombrables

    il y a une très jolie démonstration, due à Cantor, de l'existence d'un ensemble infini de cardinal strictement supérieur à celui de N. Il considère l'ensemble des suites infinies à valeurs dans N, en d'autres termes, l'ensemble des applications de N dans N. Dire que cet ensemble est dénombrable, c'est dire qu'on peut numéroter les applications $s_1$, $s_2$,... Cantor construit alors une application qui est différente de toutes les applications $s_n$: l'application t telle que sa valeur en k, t(k) est différent de la valeur en k de $s_k$ (c'est-à-dire s_k(k)).

  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    Ledescat

    Re : Ensembles infinis indénombrables

    Bonjour.

    Il y a des infinis plus grands que d'autres. Le cardinal de IN est le plus petit des infinis, noté .

    Cantor a montré que l'ensemble des parties d'un ensemble a un cardinal strictement supérieur au cardinal de cet ensemble.
    Donc
    Donc l'ensemble des parties de IN n'est pas dénombrale (comme l'a dit Médiat au post 2).
    Cogito ergo sum.

  8. #6
    Seirios

    Re : Ensembles infinis indénombrables

    Citation Envoyé par Ledescat Voir le message
    Il y a des infinis plus grands que d'autres. Le cardinal de IN est le plus petit des infinis, noté .
    Donc si le cardinal de IN est le plus petit des infinis, n'importe quel ensemble infini est non dénombrable ? (ce qui est faux il me semble...)

    Sinon, l'ensemble IR est-il indénombrable ?
    If your method does not solve the problem, change the problem.

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  10. #7
    Médiat

    Re : Ensembles infinis indénombrables

    Citation Envoyé par Phys2 Voir le message
    Donc si le cardinal de IN est le plus petit des infinis, n'importe quel ensemble infini est non dénombrable ? (ce qui est faux il me semble...)

    Sinon, l'ensemble IR est-il indénombrable ?
    Non (soit dénombrable (comme N, Z, Q, Z² etc.) soit non dénombrable) et oui

    Sinon j'ai retrouvé le fil : http://forums.futura-sciences.com/sh...d.php?t=150980 , en particulier les messages 9 et 10
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  11. #8
    Seirios

    Re : Ensembles infinis indénombrables

    D'accord, merci à tous, c'est déjà un peu plus clair dans mon esprit :bravo1: (il faut juste laisser décanter, mais je reviendrais si j'ai d'autres questions )
    If your method does not solve the problem, change the problem.

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