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produits infinis



  1. #1
    benjgru

    produits infinis


    ------

    Bonjour,

    comment étudie-t-on (convergence...) et calcule-t-on les produits infinis ?

    autant les séries je vois, autant les produits non !!

    merci .

    -----

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  3. #2
    jobherzt

    Re : produits infinis

    suffit de prendre le log et tu passes a l'etude d'une somme...

    sinon, ben c'est comme pour les series, il existe des criteres de convergence.

  4. #3
    Ksilver

    Re : produits infinis

    Salut !


    un résultat fondamental est que si an est une serie à terme postif, alors il y a équivalence entre le produit des (1+an) converge, et la somme des an converge.

    malheuresement, je ne me rapelle plus comment ceci ce généralise au serie pas à termes positif.

    (si la serie des an est absoluement convergente, est que tous les an sont différents de -1, alors le produit des 1+an converge vers une limite non nul sa c'est sur... mais je ne sais plus ce qu'il en est si la serie des an est seulement semi-convergente...)

  5. #4
    benjgru

    Re : produits infinis

    ah oui les log bien sûr !!

    et sinon il se démontre comment ton théorème Quiksilver?

    parce que je vois pas trop le rapport entre la série et le produit des An...

  6. #5
    jobherzt

    Re : produits infinis

    Citation Envoyé par Ksilver Voir le message
    si la serie des an est absoluement convergente, est que tous les an sont différents de -1, alors le produit des 1+an converge vers une limite non nul sa c'est sur...
    euh, tu es sur de ce que tu racontes, la ? les an ne sont pas du tout forcement different de -1, et quand bien meme ca serait vrai ca ne coule pas de source que le produit des 1+an converge...

    benjgru : justement, ca se demontre par passage au log. si la suite est a terme positif, alors 1+an est superieur a 1, donc le log existe est est positif.

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    IceDL

    Re : produits infinis

    Citation Envoyé par benjgru Voir le message
    ah oui les log bien sûr !!

    et sinon il se démontre comment ton théorème Quiksilver?

    parce que je vois pas trop le rapport entre la série et le produit des An...
    Bonjour,

    Il faut utiliser l'inégalité

    Attention, la démonstration ne marche que dans le cas où est réel. Dans le cas complexe, il faut ruser.

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  10. #7
    benjgru

    Re : produits infinis

    merci !

    j'ai trouvé ça

    http://mathworld.wolfram.com/InfiniteProduct.html


    par contre y a une ligne avec factorielle l'infini...un peu space pour moi

  11. #8
    IceDL

    Re : produits infinis

    Citation Envoyé par benjgru Voir le message
    merci !

    j'ai trouvé ça

    http://mathworld.wolfram.com/InfiniteProduct.html


    par contre y a une ligne avec factorielle l'infini...un peu space pour moi
    C'est juste une notation, comme , hé hé

    Mais l'égalité avec j'ai pas compris (Stirling, peut-être ?) , quelqu'un pour expliquer ?

  12. #9
    benjgru

    Re : produits infinis

    faudrait déjà savoir ce qu'est un "regularized product" !!

  13. #10
    benjgru

    Re : produits infinis

    c'est pas possible ça diverge forcément un truc pareil ??!!

  14. #11
    Ksilver

    Re : produits infinis

    Citation Envoyé par jobherzt Voir le message
    euh, tu es sur de ce que tu racontes, la ? les an ne sont pas du tout forcement different de -1, et quand bien meme ca serait vrai ca ne coule pas de source que le produit des 1+an converge...

    non j'ai dit :

    Si la serie des a est absoluement convergente Et que tous les an sont différents de (-1),
    Alors le produit des (1+an) converge vers une limite non nul.

    l'hypothese "tous les an sont différents de -1" c'est une hypothese, qui permet de rajouter le fait que la limite est non nul. (parceque pour un produit infinit, tendre vers 0, c'est quasiement comme diverger...)

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