produits infinis

[benjgru]

Bonjour,

comment étudie-t-on (convergence...) et calcule-t-on les produits infinis ?

autant les séries je vois, autant les produits non !!

merci .
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[invitebe0cd90e]

suffit de prendre le log et tu passes a l'etude d'une somme...

sinon, ben c'est comme pour les series, il existe des criteres de convergence.

[invite4ef352d8]

Salut !


un résultat fondamental est que si an est une serie à terme postif, alors il y a équivalence entre le produit des (1+an) converge, et la somme des an converge.

malheuresement, je ne me rapelle plus comment ceci ce généralise au serie pas à termes positif.

(si la serie des an est absoluement convergente, est que tous les an sont différents de -1, alors le produit des 1+an converge vers une limite non nul sa c'est sur... mais je ne sais plus ce qu'il en est si la serie des an est seulement semi-convergente...)

[benjgru]

ah oui les log bien sûr !!

et sinon il se démontre comment ton théorème Quiksilver?

parce que je vois pas trop le rapport entre la série et le produit des An...

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitebe0cd90e]

si la serie des an est absoluement convergente, est que tous les an sont différents de -1, alors le produit des 1+an converge vers une limite non nul sa c'est sur...

euh, tu es sur de ce que tu racontes, la ? les an ne sont pas du tout forcement different de -1, et quand bien meme ca serait vrai ca ne coule pas de source que le produit des 1+an converge...

benjgru : justement, ca se demontre par passage au log. si la suite est a terme positif, alors 1+an est superieur a 1, donc le log existe est est positif.

[invitedef78796]

ah oui les log bien sûr !!

et sinon il se démontre comment ton théorème Quiksilver?

parce que je vois pas trop le rapport entre la série et le produit des An...

Bonjour,

Il faut utiliser l'inégalité

Attention, la démonstration ne marche que dans le cas où est réel. Dans le cas complexe, il faut ruser.

[benjgru]

merci !

j'ai trouvé ça

http://mathworld.wolfram.com/InfiniteProduct.html


par contre y a une ligne avec factorielle l'infini...un peu space pour moi

[invitedef78796]

merci !

j'ai trouvé ça

http://mathworld.wolfram.com/InfiniteProduct.html


par contre y a une ligne avec factorielle l'infini...un peu space pour moi

C'est juste une notation, comme , hé hé

Mais l'égalité avec j'ai pas compris (Stirling, peut-être ?) , quelqu'un pour expliquer ?

[benjgru]

faudrait déjà savoir ce qu'est un "regularized product" !!

[benjgru]

c'est pas possible ça diverge forcément un truc pareil ??!!

[invite4ef352d8]

euh, tu es sur de ce que tu racontes, la ? les an ne sont pas du tout forcement different de -1, et quand bien meme ca serait vrai ca ne coule pas de source que le produit des 1+an converge...

non j'ai dit :

Si la serie des a est absoluement convergente Et que tous les an sont différents de (-1),
Alors le produit des (1+an) converge vers une limite non nul.

l'hypothese "tous les an sont différents de -1" c'est une hypothese, qui permet de rajouter le fait que la limite est non nul. (parceque pour un produit infinit, tendre vers 0, c'est quasiement comme diverger...)