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Les infinis



  1. #1
    Deeprod

    Les infinis


    ------

    Bonjour à tous,

    Je sais qu'il existe diffèrent infinis, des infinis dénombrables ou pas, et des indénombrables "plus grand" que d'autre indénombrable. Comme R et R².

    Comment on mathématise cela ?

    Merci

    -----

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  3. #2
    martini_bird

    Re : Les infinis

    Salut,

    la notion fondamentale est la bijection : c'est celle que Cantor a utilisée pour construire sa théorie. Grosso modo, la notion de bijection permet d'identifier les ensembles qui ont le même "nombre" d'éléments.

    Cordialement.

    PS :
    Comme R et R².
    Note que et ont le même cardinal (ce qui revient exactement à dire qu'il existe une bijection entre les deux).
    « Angle éternel, la terre et le ciel, pour bissectrice, le vent. » Garcia Lorca

  4. #3
    Gwyddon

    Re : Les infinis

    Au passage, il existe un théorème (que je trouve) fondamental, dû à Cantor :

    Soit E un ensemble quelconque donné, et P(E) l'ensemble des parties de E. Alors il n'existe pas de surjection de E dans P(E).

    L'ensemble des parties d'un ensemble E est l'ensemble dont les éléments sont des sous-ensembles de E.

    Une surjection est une application f : E -> F telle que tout élément de F admet au moins un antécédent.
    A quitté FuturaSciences. Merci de ne PAS me contacter par MP.

  5. #4
    Médiat

    Re : Les infinis

    Je suis pleinement d'accord avec Gwyddon sur l'intérêt de ce théorème, dont une conséquence immédiate est qu'il existe une "infinité" de cardinaux infinis (l'axiome des parties assurant que l'ensemble des parties d'un ensemble existe), et ce résultat n'est pas anodin.
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    Ledescat

    Re : Les infinis

    Il y a autant d'éléments dans ]0;1] que dans [1;+infini[ car la fonction inverse y établit une bijection .
    Cogito ergo sum.

  8. #6
    Médiat

    Re : Les infinis

    Citation Envoyé par Ledescat Voir le message
    Il y a autant d'éléments dans ]0;1] que dans [1;+infini[ car la fonction inverse y établit une bijection .
    Je suppose que tes intervalles sont pris dans , parce que dans c'est faux
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

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  10. #7
    prgasp77

    Re : Les infinis

    Citation Envoyé par Gwyddon Voir le message
    Au passage, il existe un théorème (que je trouve) fondamental, dû à Cantor :

    Soit E un ensemble quelconque donné, et P(E) l'ensemble des parties de E. Alors il n'existe pas de surjection de E dans P(E).

    L'ensemble des parties d'un ensemble E est l'ensemble dont les éléments sont des sous-ensembles de E.

    Une surjection est une application f : E -> F telle que tout élément de F admet au moins un antécédent.
    Ca m'étonne ça ... N'y a-t-il pas de bijection entre et ? Tout ensemble d'entiers naturels est associable à un unique nombre

    Ainsi l'ensemble vide est E0 = {}, E15 = {0,1,2,3}, ...


    Edit : j'y pense, est-ce que cette bijection est valable pour les ensenbles tels que ou celui des entiers pairs ?

  11. #8
    Médiat

    Re : Les infinis

    Salut prgasp77 : tu ne considères que les sous-ensembles finis de

    (Et ta fonction, telle qu'elle est écrite, n'est pas très juste, il me semble)
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  12. #9
    Médiat

    Re : Les infinis

    La démonstration n'est pas très compliquée :

    Supposons qu'il existe f une surjection de .
    Soit l'ensemble défini par
    Puisque f est une surjection, il existe a tel que .
    Or : contradiction
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  13. #10
    Gwyddon

    Re : Les infinis

    Soit E un ensemble quelconque.

    Supposons qu'il existe une surjection de E dans P(E), notons la f.

    Soit A = { x dans E tel que x n'appartienne pas à f(x) }

    f étant surjective, il existe m tel que A=f(m).

    Quid de l'appartenance de m à A ?

    Si m appartient à A, m appartient à f(m)=A. Mais de part la définition de A, m n'appartient pas à f(m)... Donc m n'appartient pas à A... Contradiction !

    Donc nécessairement m n'appartient pas à A=f(m). Mais alors, de part la définition de A, m appartient à A


    Bilan : l'hypothèse initiale, qui était l'existence de la surjection f, aboutit à une contradiction. Donc cette hypothèse est fausse.

    Conclusion (principe du tiers-exclu) : il n'existe pas de surjection de E dans P(E).


    EDIT : euh.. Médiat a tout dit, j'ai juste un peu francisé
    A quitté FuturaSciences. Merci de ne PAS me contacter par MP.

  14. #11
    jobherzt

    Re : Les infinis

    pour completer un peu : Si E est un ensemble infini, alors

    - le cardinal de E est egal au cardinal de l'ensemble des parties finies de E
    - le cardinal de E est egal a tout nombre fini de produits cartesiens succesifs : ExExE.....xE

    - le cardinal de E n'est pas egal au cardinal de P(E)

    - le cardinal de P(E) est aussi de meme cardinal que l'ensemble des suites qu'on peut construire avec des elements de E.

    -si E est denombrable (de meme cardinal de N), alors meme l'ensemble des suites que l'on peut construire avec une partie finie quelconque de E est de meme cardinal que P(E)

    par exemple, en considerant les reels de [0,1] comme des suites de chiffres entre 0 et 9, on trouve que [0,1] a meme cardinal que P(N).

  15. #12
    Médiat

    Re : Les infinis

    jobherzt >> Si par suite de E, tu veux bien dire application de dans E, j'ai un doute sur :
    Citation Envoyé par jobherzt Voir le message
    - le cardinal de P(E) est aussi de meme cardinal que l'ensemble des suites qu'on peut construire avec des elements de E.
    Est-ce que cela ne revient pas à dire que

    et il me semble que ceci est faux pour

    Ton avis ?
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

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  17. #13
    jobherzt

    Re : Les infinis

    oui, je pense que tu as raison, j'ai pense a ajouter "si E est denombrable" pour le dernier mais pas pour l'avant dernier.

  18. #14
    Deeprod

    Re : Les infinis

    Bien merci, c'est exactement ce que je voulais savoir.
    Et un petit théorème très interressant démontré en prime

    Merci

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