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Calcul intégral par les Résidus



  1. #1
    Goh

    Calcul intégral par les Résidus


    ------

    Bonjour,
    voilà mon problème. Il y a quelques jours j'ai eu un examen de "variable complexe". Malheureusement, tout le monde s'est planté à cause d'un cours magistral des plus incompréhensible (Un prof qui chaque année doit partir à la retraite et qui préfère rester au grand désespoir des étudiants visant la réussite) et c'est aussi du au fait que l'examen n'avait rien à voir avec ce que l'on faisait en TD. Le prof de cours n'a pas semblé s'interresser à ce que faisaient les profs de TD.

    N'aimant pas rester dans l'incertitude, voici un exercice que je n'ai pu faire :

    Soient a et b deux réels strictements positifs distincts.
    1. Calculer par la méthode des résidus l'intégrale :

    J(a,b)=int({ 1/((x²+a²)(x²+b²)) }, x, -inf, +inf).

    2. Calculer de même

    I(a)=int({ 1/(x²+a²)² }, x, -inf, +inf).

    et vérifier que I(a)-->J(a,b) quand (a-->b)


    Si quelqu'un pouvait m'expliquer comment calculer au moins une de ces intégrales, ça serait vraiment sympa. Le probleme est qu'en TD on a toujours calculé des intégrales de fonctions complexes sur un chemin complexe fermé donné et que l'on a aucune idée de comment cela fonctionne avec ce type d'intégrales.

    Merci d'avance.
    Au revoir.

    -----

  2. #2
    GuYem

    Re : Calcul intégral par les Résidus

    Salut,

    Pour la première intégrale, je te conseille de considérer le lacet en forme de demi-cercle de rayon R centré en 0.
    Quand R est assez grand, ce lacet englobe deux des poles qui sont , tu dois donc pouvoir calculer l'intégrale sur ce lacet.

    Ensuite, il faudrait faire tendre R vers l'infini et montrer que l'intégrale sur la partie courbée du demi cercle tend vers 0 et conclure.

    En espérant être clair.
    Bravo jolie Ln, tu as trouvé : l'armée de l'air c'est là où on peut te tenir par la main.

  3. #3
    invite986312212
    Invité

    Re : Calcul intégral par les Résidus

    il faudrait faire un dessin, mais en gros l'idée c'est d'intégrer la fonction sur un chemin fermé qui comporte deux partie:
    - l'intervalle [-A,+A] de l'axe réel
    - un demi-cercle de rayon A et de centre 0 tel que les pôles de ta fonction sont dans l'intérieur du contour.

    l'intégrale est donc la somme de deux termes, l'un est l'intégrale sur [-A,A] de ta fonction, l'autre ne t'intéresse pas, parce que quand tu vas faire tendre A vers l'infini, la norme de la fonction va décroître suffisament vite pour que cette intégrale tende vers zéro (tu la bornes par max|f|*pi A)
    donc finalement l'intégrale sur le contour tend vers l'intégrale de -inf à +inf.
    Reste à évaluer les résidus (il faut connaître le théorème de même nom).

    edit: pris de vitesse par GuYem

  4. #4
    Goh

    Re : Calcul intégral par les Résidus

    Ok, merci pour ces réponses très rapides. Je vais essayer de faire ça dès que je peux et je vous dirai ce que j'obtient.

    Encore merci.

  5. A voir en vidéo sur Futura

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