Les deux infinis et l'esprit humain

[invitef93486bf]

Bonjour,
Roger Penrose expose dans son livre comment il voit le futur de la physique et celui des neurosciences et leurs apports reciproques.
On a souvent fait référence a ce livre sans vraiment jamais lui accorder un fil, je voudrais donc connaitre vos avis et j'ai notement quelques questions:
La seule physique peut elle étudier des systèmes biologiques complexes tel que le fonctionement du cerveau?
Que pensez vous de la position de Penrose face au "problème X" (la décohérence) où il soutient que la theorie quantique est incomplète, et que la solution se trouve dans une theorie globale introduisant des concepts "non-computables" (c'est à dire échappant au calcul)?

DrDn
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[JPL]

Mal placé en Lectures scientifiques. Je déplace à tout hasard vers Débats scientifiques.

[invite06fcc10b]

Bonjour,
Roger Penrose expose dans son livre comment il voit le futur de la physique et celui des neurosciences et leurs apports reciproques.
On a souvent fait référence a ce livre sans vraiment jamais lui accorder un fil, je voudrais donc connaitre vos avis et j'ai notement quelques questions:
La seule physique peut elle étudier des systèmes biologiques complexes tel que le fonctionement du cerveau?
Que pensez vous de la position de Penrose face au "problème X" (la décohérence) où il soutient que la theorie quantique est incomplète, et que la solution se trouve dans une theorie globale introduisant des concepts "non-computables" (c'est à dire échappant au calcul)?
DrDn

La position de Penrose a été fortement décriée par certains ténors de la communauté informatique. Voir par exemple le dernier chapitre du livre de Russel "Artificial Intelligence: A Modern Approach".
Sa référence au théorème de Gödel pour montrer les insuffisances de la calculabilité par rapport à un humain, par exemple, est contestée.
Sinon, est-ce que la physique peut étudier des systèmes biologiques complexes tel que le cerveau ? A priori, pourquoi pas, mais les informaticiens, les neuropsychologues et bien entendu les neurobiologistes pensent que ce n'est pas le niveau d'étude le plus pertinent pour étudier les processus cognitifs tels que la mémorisation, l'apprentissage, la perception, la prise de décision, l'attention, l'émotion etc.
Il est d'ailleurs remarquable que Penrose est un physicien / mathématicien, donc pas un spécialiste des sciences cognitives et qu'il s'oppose précisément à des spécialistes de ce domaine pour des questions dans ce domaine !

En ce qui concerne sa théorie globale, il y a eu des travaux concernant une sorte "d'hypercalcul", qui pourrait faire plus ou différemment que ce que peuvent faire les ordinateurs, mais ça reste encore théorique avec comme hypothèse forte que l'univers est continu d'une manière ou d'une autre, ce qui reste à prouver.
Quoi qu'il en soit, peu de scientifiques y voient un lien avec le fonctionnement du cerveau et les sciences cognitives.
En conclusion, la position de Penrose reste pour l'instant assez marginale.

[invite441ba8b9]

La seule physique peut elle étudier des systèmes biologiques complexes tel que le fonctionement du cerveau?

Ca je ne pense pas. Je ne suis pas réductionniste. Je pense plutot que le biologie est émergente de la physique et ne peut en aucun être réduit à elle: même en principe. Il y a un ancien dossier de Sciences et Avenir sur le thème de l'émergence (j'essaierais de le scanner). Hawking est réductionniste mais je crois bien que Penrose ne l'ai pas (un débat entre les deux scientifiques est présent à la fin de mon édition).

Que pensez vous de la position de Penrose face au "problème X" (la décohérence) où il soutient que la theorie quantique est incomplète, et que la solution se trouve dans une theorie globale introduisant des concepts "non-computables" (c'est à dire échappant au calcul)?

Penrose n'arrive pas à admettre que l'environnement et ses intéractions par rapport à un système puisse le "déchoérer" (bien que ca soit observable et observé): c'est à dire passer d'une superposition d'état à un état unique (réduction du paquet d'ondes. De ce fait, il croit qu'une toute nouvelle physique est nécessaire pour résoudre ce problème. Je crois que la non-computabilité est déduit de la thèse de Church(-Turing) et du théorème d'incomplétude de Gödel mais ces deux principes sont également utilisés par les opposants idéologiques à Penrose (Computationnalisme de Bruno Marchal par exemple).

http://iridia.ulb.ac.be/~marchal/lillethesis/CPC.pdf

[A voir en vidéo sur Futura]

[spi100]

En ce qui concerne sa théorie globale, il y a eu des travaux concernant une sorte "d'hypercalcul", qui pourrait faire plus ou différemment que ce que peuvent faire les ordinateurs, mais ça reste encore théorique avec comme hypothèse forte que l'univers est continu d'une manière ou d'une autre, ce qui reste à prouver.

Ce n'est pas du tout spéculatif, ça n'a pas grand chose à voir avec la physique :c'est de l'informatique théorique. C'est plutot assez vieux et ça date de l'époque de Turing, c'était même le sujet de sa thèse.

http://www.alanturing.net/turing_archive/pages/Reference%20Articles/Turing's%20O-Machines.html

[invite06fcc10b]

Ce n'est pas du tout spéculatif, ça n'a pas grand chose à voir avec la physique :c'est de l'informatique théorique. C'est plutot assez vieux et ça date de l'époque de Turing, c'était même le sujet de sa thèse.

Pas du tout spéculatif ? Je cite : "He (Turing) remarks that an oracle works by 'unspecified means' and says that we need 'not go any further into the nature of [these] oracle[s]'."

Lorsqu'on postule l'existence de quelque chose dont on n'a pas idée de comment ça pourrait fonctionner, pour moi ça s'appelle de la spéculation, pas pour toi ?
En fait, mathématiquement, personne n'a jamais réussi à trouver une quelconque procédure de calcul qui permette de calculer exactement Pi ou même simplement racine de 5 multiplié par racine de 3.
Par définition de la calculabilité, Pi n'est pas calculable puisque tous les algorithmes qui permettent de s'en approcher ne se terminent jamais.

[spi100]

Pas du tout spéculatif ? Je cite : "He (Turing) remarks that an oracle works by 'unspecified means' and says that we need 'not go any further into the nature of [these] oracle[s]'."

Lorsqu'on postule l'existence de quelque chose dont on n'a pas idée de comment ça pourrait fonctionner, pour moi ça s'appelle de la spéculation, pas pour toi ?
En fait, mathématiquement, personne n'a jamais réussi à trouver une quelconque procédure de calcul qui permette de calculer exactement Pi ou même simplement racine de 5 multiplié par racine de 3.
Par définition de la calculabilité, Pi n'est pas calculable puisque tous les algorithmes qui permettent de s'en approcher ne se terminent jamais.

Je t'ai déjà expliqué cent fois que ta définition de la calculabilité est fausse, la caculabilité est de pouvoir approcher pi avec une précision arbitrairement petite, en un temps fini. Si tu veux utiliser un autre concept que la calculabilité alors parle par exemple d'argyrabilité.
Si on ne spécifie pas l'oracle, c'est uniquement parce que l'on se fout de sa nature physique. Si tu veux, tu peux par exemple te représenter l'oracle comme une base de données.
Si tu peux définir mathématiquement quelque chose, c'est qu'il existe mathématiquement parlant bien sûr. Si une machine de Turing ne permet pas de définir tout les êtres mathématiques connus, il est normal d'en fabriquer des généralisations.

Regarde par exemple http://www.loria.fr/~bournez/load/PhD1999-04.pdf, les pages 5 et 7 te donneront les définitions d'une machine à oracle.

[invite06fcc10b]

Je t'ai déjà expliqué cent fois que ta définition de la calculabilité est fausse, la caculabilité est de pouvoir approcher pi avec une précision arbitrairement petite, en un temps fini.

Ma définition ???
Sur nombre de livres que j'ai lus, la calculabilité est définie par certaines propriétés dont :
1) Un nombre fini d'états possibles pour la machine qui effectue le calcul.
Remets tu en cause ce principe ?
2) Un nombre fini d'étapes de calcul.
Remets tu en cause ce principe ?
Ce n'est donc pas ma définition, c'est la définition habituelle. Turing lui-même définissait la calculabilité par un nombre fini d'étapes, c'est bien pour ça que le halting problem n'est pas calculable !

D'ailleurs, ça me parait très rationnel comme principe. Imaginons une procédure de calcul qui nécessite plusieurs étapes, comme par exemple l'addition de 3 nombres, d'abord les 2 premiers, puis le résultat de la première somme avec le 3ème.
Si on a 2 réels, il faut un nombre infini de calculs, qui en plus ne peuvent être effectués complètement en parallèle car il faut savoir s'il y a des retenues, il y a donc du séquentiel. Or, s'il y a un nombre infini de calculs, par définition même de ce que signifie infini, cela ne s'arrête jamais, donc on ne peut passer à l'étape suivante de la procédure de calcul et donc ce n'est pas calculable, quand bien même on disposerait d'une mémoire infinie.
En fait, c'est le principe de la séquentialité des calculs qui interdit qu'une certaine étape nécessite un temps infini.

[spi100]

Ma définition ???
Sur nombre de livres que j'ai lus, la calculabilité est définie par certaines propriétés dont :
1) Un nombre fini d'états possibles pour la machine qui effectue le calcul.
Remets tu en cause ce principe ?
2) Un nombre fini d'étapes de calcul.
Remets tu en cause ce principe ?

Je remets surtout en question ce que tu en as compris.
Pi et le nombre de chaitin sont deux nombres avec un nombre infini de décimales. Pi est dit calculable, Omega ne l'est pas, tu trouves ça compatible avec la définition que tu donnes ?

Lis cette article de Delahaye, sur les nombres incalculables, ça t'éclairera peut être un peu sur ce que je te raconte

http://www.cs.auckland.ac.nz/CDMTCS/docs/delahaye.html

Tu y trouveras aussi une définition d'un nombre calculable :

Par définition un nombre réel x (pris entre 0 et 1) est calculable s'il est la limite d'une suite croissante et calculable par programme de nombres rationnels xn=pn/qn, cette suite vérifiant de plus que pour tout entier n, |xn - x| < 1/2n.

[invite06fcc10b]

Je remets surtout en question ce que tu en as compris.
Pi et le nombre de chaitin sont deux nombres avec un nombre infini de décimales. Pi est dit calculable, Omega ne l'est pas, tu trouves ça compatible avec la définition que tu donnes ?

Lis cette article de Delahaye, sur les nombres incalculables, ça t'éclairera peut être un peu sur ce que je te raconte

http://www.cs.auckland.ac.nz/CDMTCS/docs/delahaye.html

Tu y trouveras aussi une définition d'un nombre calculable :

Monsieur Delahaye n'est pas particulièrement une référence à mes yeux, surtout après avoir lu certains de ces articles dans quelques revues de vulgarisation (et bien que d'autres de ses articles soient excellents).
Mais quoi qu'il en soit, peu importe la définition, discutons et raisonnons. Le cas de PI est effectivement limite, car on peut dire que PI est calculable en un nombre infini d'étapes, admettons le sans sourciller pour simplifier le débat.
Maintenant, je pose la question suivante : soit un algorithme qui commence par calculer PI, puis qui effectue d'autres opérations nécessitant la valeur exacte de ce nombre, par exemple PI*5.
Etant donné qu'il faut un nombre infini d'étapes pour calculer PI, il n'est pas possible de passer à l'opération suivante, non ?
En conséquence, à part peut-être l'algorithme qui permet de calculer PI qui représente un cas limite, tous ceux qui exploitent une valeur de PI ne sont pas calculables, car il existe une étape de l'algorithme qui ne peut être franchie.
En informatique, c'est ce qu'on appelle une boucle infinie et ce n'est pas en disposant d'un temps infini qu'on va pouvoir passer à l'étape suivante !
Démontre moi donc le contraire (et sans faire référence à untel a dit que, l'autre a défini que, etc.).

Note bien au passage qu'il s'agit là d'un résultat théorique, qui n'a aucun rapport avec la physique. Je suis simplement en train de montrer qu'il n'existe aucune procédure de calcul connue à ce jour permettant de faire des calculs sur des réels comme PI.

[spi100]

Mais quoi qu'il en soit, peu importe la définition, discutons et raisonnons. Le cas de PI est effectivement limite, car on peut dire que PI est calculable en un nombre infini d'étapes, admettons le sans sourciller pour simplifier le débat.
Maintenant, je pose la question suivante : soit un algorithme qui commence par calculer PI, puis qui effectue d'autres opérations nécessitant la valeur exacte de ce nombre, par exemple PI*5.
Etant donné qu'il faut un nombre infini d'étapes pour calculer PI, il n'est pas possible de passer à l'opération suivante, non ?
En conséquence, à part peut-être l'algorithme qui permet de calculer PI qui représente un cas limite, tous ceux qui exploitent une valeur de PI ne sont pas calculables, car il existe une étape de l'algorithme qui ne peut être franchie.
En informatique, c'est ce qu'on appelle une boucle infinie et ce n'est pas en disposant d'un temps infini qu'on va pouvoir passer à l'étape suivante !
Démontre moi donc le contraire (et sans faire référence à untel a dit que, l'autre a défini que, etc.).

Une définition doit être commune aux gens d'un domaine, ça aide à se faire comprendre. Tu peux ne pas aimer le terme Tomate, car il t'évoque le vert, et qu'une tomate est rouge. Alors tu décides de nommer les tomates, salades car bien que vertes, elles t'évoquent le rouge. Mais ça n'est pas très pratique pour ce faire comprendre.

Donc je te donne la définition de la calculabilité donné par les mathématiciens, les informaticiens et les logiciens, et c'est surement cette définition que tu as lue si tu t'es intéressé à ce sujet. Que ça te plaise ou non, si tu emploies ce terme face une personne de ces 3 catégories, il entendra ce que je t'ai déjà expliqué.
Maintenant, je suis d'accord avec ton exemple, mais l'informatique ne se réduit pas au problème de la réalisation pratique d'un ordinateur, il s'agit aussi de définir les limites de l'algorithmie et ses prolongements.

[invite06fcc10b]

Donc je te donne la définition de la calculabilité donné par les mathématiciens, les informaticiens et les logiciens,

Je viens de faire le tour de quelques sites, tu as raison et j'ai tort sur la définition commune de la calculabilité. J'ai tout de même relevé des définitions qui abondent dans l'autre sens.
Exemple et non des moindres : le site du Stanford encyclopedia of philosophy : http://plato.stanford.edu/entries/church-turing/

The Church-Turing thesis concerns the notion of an effective or mechanical method in logic and mathematics. ‘Effective’ and its synonym ‘mechanical’ are terms of art in these disciplines: they do not carry their everyday meaning. A method, or procedure, M, for achieving some desired result is called ‘effective’ or ‘mechanical’ just in case:
1) M is set out in terms of a finite number of exact instructions (each instruction being expressed by means of a finite number of symbols);
2) M will, if carried out without error, produce the desired result in a finite number of steps;
3) M can (in practice or in principle) be carried out by a human being unaided by any machinery save paper and pencil;
4) M demands no insight or ingenuity on the part of the human being carrying it out.

Note en particulier le point 2) ! Il me semble que c'est en contradiction avec la calculabilité de PI, non ?

[invite06fcc10b]

Maintenant, je suis d'accord avec ton exemple, mais l'informatique ne se réduit pas au problème de la réalisation pratique d'un ordinateur, il s'agit aussi de définir les limites de l'algorithmie et ses prolongements.

Où as-tu vu que je parlais de réalisation pratique ? C'est bien d'un résultat théorique qu'il s'agit ! Si le calcul de PI nous amène dans une boucle infinie, on ne peut ajouter d'autres étapes de calcul derrière, et ça n'a rien à voir avec une quelconque limite physique.

Et j'en reviens du coup à ma position initiale concernant la physique : si l'univers est un objet mathématique de type procédure de calcul, alors d'après nos connaissances actuelles sur la calculabilité, il ne peut manipuler des nombres réels (sauf de façon symbolique) et donc tout est discret et discontinu.
Et par voie de conséquence, il n'existerait rien au-delà de ce qui est Turing-calculable.

[spi100]

Note en particulier le point 2) ! Il me semble que c'est en contradiction avec la calculabilité de PI, non ?

Pas vraiment, si M est 'donner les N premières décimales de pi'. La calculabilité t'assure que tu peux choiser N arbitrairement grand, tu aboutiras en un temps fini.

[spi100]

Et j'en reviens du coup à ma position initiale concernant la physique : si l'univers est un objet mathématique de type procédure de calcul, alors d'après nos connaissances actuelles sur la calculabilité, il ne peut manipuler des nombres réels (sauf de façon symbolique) et donc tout est discret et discontinu.
Et par voie de conséquence, il n'existerait rien au-delà de ce qui est Turing-calculable.

La définition de la calculabilité est une chose, ta position en est une autre. Je ne peux pas te prouver le contraire et tu as peut être raison. Mais quand même, si je dessine un cercle, j'ai tracé une mesure de pi, et ça a pris le temps de dessiner le cercle.

Tu ne vois les nombres que du point de vu du calcul où tu dois procéder à une action de calcul, mais du point de vu de la géométrie, tout se passe plutot comme si les nombres te sont donnés.
Si nous étions encore à une époque où la géométrie était inconciliable avec la théorie des nombres, je me dirais pourquoi pas, mais là j'ai quand même du mal à adhérer à ton idée.

[invite06fcc10b]

Tu ne vois les nombres que du point de vu du calcul où tu dois procéder à une action de calcul, mais du point de vu de la géométrie, tout se passe plutot comme si les nombres te sont donnés.

Il y a 2 problèmes différents :
1) Si tu définis un cercle avec un certain centre et un certain rayon, pas de problème. Ton cercle existe bien dans le cadre de la géométrie et de l'exemple que tu prends. En revanche, tu ne peux pas "calculer" le périmètre exact de ce cercle par la formule 2*PI*R, puisque, on l'a vu, cela nécessite le calcul de PI qui part dans une boucle infinie.
On est donc bien d'accord, tant qu'il n'y a pas besoin de procéder à des calculs sur des nombres, tu peux définir tous les infinis que tu veux, avoir des cercles continus, des surfaces et des volumes continus et infinis, etc.

2) Si tu tentes de dessiner de façon précise le cercle en passant rigoureusement sur tous les points du périmètre et seulement ceux-là, tu adoptes une procédure de calcul liée à des mécanismes physiques tout comme une machine de Turing écrit sur un ruban. Si tu ne le fais pas, tu n'as aucune chance de réussir à passer exactement sur tous les points du cercle !
Maintenant, tu peux aussi utiliser un outil comme le compas, mais si on veut passer par tous les points de façon exacte, il faut se poser la question de l'erreur. Est-il possible de ne faire aucune erreur ? Un physicien dirait je pense que c'est impossible ...
Mais même, il faut déjà supposer que l'espace est continu, sinon, c'est fichu d'avance, le cercle étant continu, il ne pourrait exister dans un espace discret.
Mais s'il est continu (l'espace), et en supposant qu'on connaisse parfaitement les lois de la physique, y a t-il des calculs sur les propriétés des particules qui sont dans cet espace qui conduisent à des étapes nécessitant une infinité de calculs intermédiaires ? Si c'est le cas, c'est encore perdu d'avance, au moins pour celui qui veut dessiner un cercle.

Le problème de la physique, c'est qu'elle suggère qu'il y a des formules qui rendent compte de l'évolution des objets de l'univers et que certaines de ces formules manipulent peut-être des réels.
Mais si pour décrire l'évolution de l'univers il y a moyen de rester dans la géométrie sans faire de calcul sur les réels, alors ok.
Mais ça ne semble pas être le cas des théories actuelles.

[spi100]

Mais si pour décrire l'évolution de l'univers il y a moyen de rester dans la géométrie sans faire de calcul sur les réels, alors ok.
Mais ça ne semble pas être le cas des théories actuelles.

Comme il y a une correpondance parfaite entre l'algèbre et la géométrie, je dis oui tu peux rester uniquement dans la géométrie si tu le désires

[invite06fcc10b]

Comme il y a une correpondance parfaite entre l'algèbre et la géométrie, je dis oui tu peux rester uniquement dans la géométrie si tu le désires

Sauf que certains outils restent communs. Par exemple, je ne vois pas comment éviter les nombres réels dans une formule qui exprime une transformation géométrique dans un espace continu ? Et s'il y a composition de plusieurs transformations ...

Ou alors on passe dans la géométrie discrète et là je suis preneur !

[spi100]

Sauf que certains outils restent communs. Par exemple, je ne vois pas comment éviter les nombres réels dans une formule qui exprime une transformation géométrique dans un espace continu ? Et s'il y a composition de plusieurs transformations ...

Ou alors on passe dans la géométrie discrète et là je suis preneur !

La géométrie et l'algèbre sont tellement intriquées que ça en devient même difficile d'en parler séparemment.

La théorie des champs est par exemple une théorie géométrique, au sens où elle est basée sur les propriétés d'invariances de l'espace physique : groupe continu de Poincaré pour l'espace-temps, et d'autres groupes selon le type d'interaction modélisée (SU(1), U(1), etc).
Dans ces théories, les particules sont complètement définies par les groupes d'invariances, à chaque particule tu peux faire correspondre une représentation irréductible du groupe d'invariance.
En ce sens la définition même des particules élémentaires est géométrique.

[mtheory]

Il est d'ailleurs remarquable que Penrose est un physicien / mathématicien, donc pas un spécialiste des sciences cognitives et qu'il s'oppose précisément à des spécialistes de ce domaine pour des questions dans ce domaine !

Il y a au moins un exemple remarquable de physicien qui s'était opposé au courant vitaliste assez dominant en biologie ,Erwin Schroëndinger, or tout les créateurs de la biologie moléculaire reconnaissent l'importance que le livre 'Qu'est-ce que la vie ?' de celui-ci à eut pour leurs recherches.
Penrose pourrait fort bien avoir raison et que dire du cas Wegner dans les sciences de la Terre .

[invite441ba8b9]

Pas vraiment, si M est 'donner les N premières décimales de pi'. La calculabilité t'assure que tu peux choiser N arbitrairement grand, tu aboutiras en un temps fini.

Je suis résoluement nul en mathématiques mais votre débat m'intéresse Donc spi100 pour que pi soit calculable il faudrait tout d'abord définir le nombre de décimal que l'on souhaite calculer sur pi et donc aboutir le calcule en un temps fini. Donc un nombre irrationnel tel que pi n'est pas en soi calculable n'est-ce pas? Il faut lui soustraire une limite arbitraire... Ca semble tout à fait logique. Mais en mathématique théorique, procédons-nous comme cela?

[invite8bb88f80]

Bonjour,
Roger Penrose expose dans son livre comment il voit le futur de la physique et celui des neurosciences et leurs apports reciproques.
On a souvent fait référence a ce livre sans vraiment jamais lui accorder un fil, je voudrais donc connaitre vos avis et j'ai notement quelques questions:
La seule physique peut elle étudier des systèmes biologiques complexes tel que le fonctionement du cerveau?
Que pensez vous de la position de Penrose face au "problème X" (la décohérence) où il soutient que la theorie quantique est incomplète, et que la solution se trouve dans une theorie globale introduisant des concepts "non-computables" (c'est à dire échappant au calcul)?

DrDn

Bonjour,

La décohérence n'a pas de lien direct avec les neurosciences. Ou si c'est le cas, c'est délicat à discuter.

La théorie quantique semble complète pour le monde physique. Si on l'applique à la biologie, aux neurosciences, il faut sans doute faire entrer de nouveaux concepts. Non calculables ? Je pense que c'est une hypothèse faible. Je dis moi, calculables mais avec des ruses comme celle de la renormalisation dans la QED ou la QCD et donc, des infinis mathématiques

voilà, quelques pistes possibles

[spi100]

Je suis résoluement nul en mathématiques mais votre débat m'intéresse Donc spi100 pour que pi soit calculable il faudrait tout d'abord définir le nombre de décimal que l'on souhaite calculer sur pi et donc aboutir le calcule en un temps fini. Donc un nombre irrationnel tel que pi n'est pas en soi calculable n'est-ce pas? Il faut lui soustraire une limite arbitraire... Ca semble tout à fait logique. Mais en mathématique théorique, procédons-nous comme cela?

En informatique théorique, on va chercher à définir la calculabilité d'une quantité indépendamment de toute machine et du temps de calcul. Sinon, il faut remplacer le qualificatif "théorique" par "pratique".
Si je dis "Pi est calculable", je veux dire que quelque soit la précision que tu veuilles obtenir, tu l'auras en un temps fini, et que plus tu attends et plus la précision que tu obtiens est bonne.
Tu remarqueras qu'il ne s'agit pas d'obtenir pi dans son intégralité mais juste d'être assuré d'atteindre rapidement la précision que l'on s'est fixée à l'avance.

A contrario, si je dis qu'un nombre n'est pas calculable, cela peut vouloir dire que la précision du résultat que tu obtiens ne s'améliorera pas avec le temps de calcul, voir pire elle peut se dégrader.

[invite441ba8b9]

Ok Je pense avoir compris... Mais si un nombre incalculable est caractérisé par une précision qui ne s'améliore pas au fur et à mesure du calcule, alors peux-tu me donner un exemple? 1/3 est-t-il calculable?

[spi100]

Ok Je pense avoir compris... Mais si un nombre incalculable est caractérisé par une précision qui ne s'améliore pas au fur et à mesure du calcule, alors peux-tu me donner un exemple? 1/3 est-t-il calculable?

Oui,
1/3 est calculable, tu peux utiliser l'algorithme de la division euclidienne pour l'estimer avec la précision que tu veux. Et plus tu augmentes le nombre d'opérations est plus la précision que tu obtiens est bonne. Et tu es capables d'estimer finement l'erreur que tu commets sur ton calcul.

Les exemples de nombres non calculables ne sont pas intuitifs, ils sont souvent construits en se basant sur le problème de l'arrêt d'une machine de turing (http://forums.futura-sciences.com/th...90-turing.html). Il faut distinguer plusieurs niveaux.
Tout d'abord la définissabilité i.e. on donne une définition qui caractérise complètement un nombre.
On n'est en mathématique, et evidemment on ne s'intéresse qu'à ce qui est définissable.
Maintenant il y a parmi les nombres définissables, ceux qui sont calculables, ceux qui sont approchables.
Nous avons déjà parlé des nombres calculables.
Les nombres approchables sont la limite d'une suite de nombres rationnels mais l'on est pas capable de majorer finement l'erreur que l'on fait sur le calcul. On ne sait donc pas si on est loin, très loin ou très proche du bon résultat. C'est plus ou moins grave selon les nombres, pour certains c'est tellement catastrophique qu'ils en deviennent inconnaissables (les nombres de Solvay).

# correction du lien /Jiav

[invite06fcc10b]

Oui,
1/3 est calculable, tu peux utiliser l'algorithme de la division euclidienne pour l'estimer avec la précision que tu veux. Et plus tu augmentes le nombre d'opérations est plus la précision que tu obtiens est bonne. Et tu es capables d'estimer finement l'erreur que tu commets sur ton calcul.

Les exemples de nombres non calculables ne sont pas intuitifs, ils sont souvent construits en se basant sur le problème de l'arrêt d'une machine de turing (http://forums.futura-sciences.com/th...90-turing.html).

Tout d'abord une remarque pour le calcul de PI, tu dis qu'on peut prendre la précision que l'on veut et la machine s'arrêtera au bout d'un temps fini. Je ne suis pas d'accord. Je suis en droit de réclamer une précision infinie, ou une erreur d'approximation nulle, c'est comme tu veux, et dans ce cas, PI est peut-être calculable, mais en un temps infini. Si on s'autorise la notion d'infini, je ne comprendrai pas qu'on impose à la précision d'être finie.

Ou alors, ok, si la définition "commune" de la calculabilité se satisfait d'une précision finie (à vérifier ???)
Mais dans ce cas, il faudrait définir un autre terme (et on reste dans le théorique, car on n'est pas encore dans la pratique) pour exprimer que certains nombres sont calculables seulement à l'infini, ce qui est un cas particulier. Ceci me parait fondamental car les nombres réels sont quasiment inexploitables dans un algorithme séquentiel.
Exemple, l'algorithme suivant ne permet pas de calculer PI multiplié par racine de 5 :
X <-- PI(); // calcul de la fonction PI; boucle infinie
Y <-- Racine (5); // calcul de racine de 5, boucle infinie
Z <-- X*Y ; // N'est jamais appliqué, même si les 2 instructions
// précédentes sont exécutées en parallèle

Le fait que les réels soient tous inexploitables (y a t-il un seul réel exploitable ?) est quand même une limite sévère à toutes les théories qui ont comme éléments de base de tels nombres. Bizarrement, je n'ai jamais lu nulle part que les réels étaient "théoriquement" inexploitables dans les machines de Turing, même avec un ruban infini et un temps infini.
Quelqu'un a t-il plus d'infos là-dessus ?

# itou

[spi100]

Tout d'abord une remarque pour le calcul de PI, tu dis qu'on peut prendre la précision que l'on veut et la machine s'arrêtera au bout d'un temps fini. Je ne suis pas d'accord. Je suis en droit de réclamer une précision infinie, ou une erreur d'approximation nulle, c'est comme tu veux, et dans ce cas, PI est peut-être calculable, mais en un temps infini. Si on s'autorise la notion d'infini, je ne comprendrai pas qu'on impose à la précision d'être finie.

Comme tu l'as déjà fait remarquer, ça n'a pas de sens de réclamer une précision infinie puisque ça prend un temps infini. Il faut bien donc utiliser une définition de la calculabilité qui soit exploitable.

Ou alors, ok, si la définition "commune" de la calculabilité se satisfait d'une précision finie (à vérifier ???)

précision arbitrairement petite et estimable, c'est un peu plus fort que simplement "finie".

Mais dans ce cas, il faudrait définir un autre terme (et on reste dans le théorique, car on n'est pas encore dans la pratique) pour exprimer que certains nombres sont calculables seulement à l'infini, ce qui est un cas particulier. Ceci me parait fondamental car les nombres réels sont quasiment inexploitables dans un algorithme séquentiel.
Exemple, l'algorithme suivant ne permet pas de calculer PI multiplié par racine de 5 :
X <-- PI(); // calcul de la fonction PI; boucle infinie
Y <-- Racine (5); // calcul de racine de 5, boucle infinie
Z <-- X*Y ; // N'est jamais appliqué, même si les 2 instructions
// précédentes sont exécutées en parallèle

Le fait que les réels soient tous inexploitables (y a t-il un seul réel exploitable ?) est quand même une limite sévère à toutes les théories qui ont comme éléments de base de tels nombres. Bizarrement, je n'ai jamais lu nulle part que les réels étaient "théoriquement" inexploitables dans les machines de Turing, même avec un ruban infini et un temps infini.
Quelqu'un a t-il plus d'infos là-dessus ?

L'argument est très simple. L'ensemble des algoritmes ou ce qui est équivalent, l'ensemble des machines de Turing est dénombrable. Or l'ensemble des réels ne l'est pas, il est donc impossible de construire une bijection entre les machines de Turing et l'ensemble des réels.
En termes plus imagés, si tu tires au hasard un nombre réel, la probabilité qu'il soit calculable est nulle.

[invite06fcc10b]

En termes plus imagés, si tu tires au hasard un nombre réel, la probabilité qu'il soit calculable est nulle.

C'est beaucoup plus fort que ça : TOUS les nombres réels non rationnels sont inexploitables dans un algorithme séquentiel, alors que tous les rationnels sont calculables et exploitables.

Mais peu importe. Ce qui m'intéresse le plus dans tout ça, c'est l'impact sur les théories en physique. Le fait que les réels tels que PI ou racine de 2 soient inexploitables dans toute procédure de calcul mathématique est-il un argument pertinent pour douter de la continuité de l'espace temps et plus généralement de l'existence de quelque chose de continu dans l'univers ?

[mtheory]

Le fait que les réels tels que PI ou racine de 2 soient inexploitables dans toute procédure de calcul mathématique est-il un argument pertinent pour douter de la continuité de l'espace temps et plus généralement de l'existence de quelque chose de continu dans l'univers ?

Je ne vois pas en quoi.

[invite441ba8b9]

Mais peu importe. Ce qui m'intéresse le plus dans tout ça, c'est l'impact sur les théories en physique. Le fait que les réels tels que PI ou racine de 2 soient inexploitables dans toute procédure de calcul mathématique est-il un argument pertinent pour douter de la continuité de l'espace temps et plus généralement de l'existence de quelque chose de continu dans l'univers ?

Non je pense que c'est toujours un problème d'interprétation comme les paradoxes de Zenon. En physique, à l'inverse des mathématiques, je pense que l'on se doit de quantifier la plupart des phénomènes observés d'où a priori l'utilité (et la création) de la physique quantique (et de l'atomisme entre autre).