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Les infinis



  1. #1
    Bleyblue

    Les infinis


    ------

    Bonjour,

    La démonstration nous a été donnée récemment que le cardinal de l'ensemble IN (des nombres naturels) et celui de l'ensemble Z (des entiers), étaient égaux.

    Cela veut il dire qu'il y a autant de naturels que de nombre entiers ?
    Je ne sais pas si ce que je viens de dire a un sens étant donné qu'on travaille avec des ensemble infinis ...

    Qu'en pensez vous ?

    merci

    -----

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  3. #2
    doryphore

    Smile Re : Les infinis

    J'en dis que tu t'es posé la bonne question ...

    Compter (dans la vraie vie) consiste à mettre chaque élément de ton ensemble en relation avec un et un seul nombre de N*:

    1 carotte, 2 carottes, 3 carottes,...

    Si tu arrives à faire la même chose avec l'ensemble Z et que tu t'aperçois que tu as besoin de tous les nombres de N, c'est qu'ils ont le même cardinal...

    Or comme on ne peut pas énumérer tous les nombres, on utilise une application décrite d'une manière indirecte pour établir la correspondance. Si elle est bijective, c'est qu'on a réussi à énumérer tous les éléments de Z et Z est alors dit dénombrable.
    "Plus les choses changent et plus elles restent les mêmes..." Snake Plisskein

  4. #3
    enderalartic

    Re : Les infinis

    salut
    si tu as la demonstration, c est que tu ne l a pas comprise, normalement tout est dedans alors tu peux te replonger et te replonger dedans

  5. #4
    doryphore

    Smile Re : Les infinis

    Bah non... la démonstration ne répond pas à sa question car c'est une question métamathématique. La démonstration se contente d'utiliser la definition de cardinal et de construire une bijection entre N et Z, rien de très intuitif
    "Plus les choses changent et plus elles restent les mêmes..." Snake Plisskein

  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    Coincoin

    Re : Les infinis

    Salut,
    Bleyblue, pour répondre à ta question, pose-toi une autre question : qu'est-ce que ça veut dire "autant" ?
    Pour répondre clairement à cette question, il faut parler de bijection et de cardinal...
    Encore une victoire de Canard !

  8. #6
    Sephi

    Re : Les infinis

    Citation Envoyé par Bleyblue
    Cela veut il dire qu'il y a autant de naturels que de nombre entiers ?
    Exactement
    De même, il y a autant de réels dans l'intervalle ]0,1[, que dans lR tout entier.

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  10. #7
    GuYem

    Re : Les infinis

    Voilà.

    Attention à la notion de "autant" que l'on ne peut pas appréhender mathématiquement autrement qu'avec la notion de bijection.

    De même, dans N par exemple, il y a "autant" de nombre pairs que de nombres tout court.
    Bravo jolie Ln, tu as trouvé : l'armée de l'air c'est là où on peut te tenir par la main.

  11. #8
    doryphore

    Smile Re : Les infinis

    Un exemple intéressant pour appréhender la notion de cardinal:

    Comme f: N*->N qui à n associe n-1 est une bijection donc il y a "autant" de nombres dans N que dans N privé de 0.
    "Plus les choses changent et plus elles restent les mêmes..." Snake Plisskein

  12. #9
    Bleyblue

    Re : Les infinis

    Citation Envoyé par Doriphore
    Compter (dans la vraie vie) consiste à mettre chaque élément de ton ensemble en relation avec un et un seul nombre de N*:

    1 carotte, 2 carottes, 3 carottes,...

    Si tu arrives à faire la même chose avec l'ensemble Z et que tu t'aperçois que tu as besoin de tous les nombres de N, c'est qu'ils ont le même cardinal...

    Or comme on ne peut pas énumérer tous les nombres, on utilise une application décrite d'une manière indirecte pour établir la correspondance. Si elle est bijective, c'est qu'on a réussi à énumérer tous les éléments de Z et Z est alors dit dénombrable.
    Oui, c'est sous cette forme (d'ailleurs c'est peut être la seule ?) que le professeur nous a donné la démonstration.

    Mais comme il a conclut : "Et donc les cardinaux des ensemble IN et Z sont égaux" j'ai hésité à traduire ça en "il y a autant de naturels que d'entier" étant donné qu'avec l'infini, il faut être prudent ...

    Citation Envoyé par enderalartic
    si tu as la demonstration, c est que tu ne l a pas comprise, normalement tout est dedans alors tu peux te replonger et te replonger dedans
    Si je l'ai comprise, cf. mon message ci dessus

    Citation Envoyé par Sephi
    De même, il y a autant de réels dans l'intervalle ]0,1[, que dans lR tout entier.
    Oui ça aussi le professeur l'à démontrer

    Citation Envoyé par doryphore
    f: N*->N qui à n associe n-1 est une bijection donc il y a "autant" de nombres dans N que dans N privé de 0.
    Oui ça on l'a vu aussi

    En fait je n'ai pas été précis dans ma question, je voulais simplement savoir si "avoir même cardinal" peut être interprété comme "avoir le même nombre d'élements" étant donné qu'ici les ensembles sont infinis et non pas finis

    merci à tous !

  13. #10
    doryphore

    Smile Re : Les infinis

    La réponse est simplement non car l'infini n'est pas un nombre tel qu'on l'entend quand on parle de "nombre de quelque chose..."
    "Plus les choses changent et plus elles restent les mêmes..." Snake Plisskein

  14. #11
    invité576543
    Invité

    Re : Les infinis

    Pas si simple. En fait, on inverse la proposition. On appelle "nombre cardinal" une classe d'équivalence entre ensembles selon la relation "il existe une bijection entre les deux".

    Le premier cardinal non entier est appelé aleph0, noté : c'est celui des ensembles dénombrables. Le suivant, surprise c'est aleph1, mais il y a un problème avec celui-là: il est indécidable de dire si c'est le cardinal de R ou non.

    L'autre difficulté conceptuelle est qu'il existe aussi des "nombres ordinaux". Pour les entiers, ces nombres correspondent 1 à 1 avec les nombres cardinaux, mais après c'est complétement différent...

    En bref, ce sont des domaines où il faut faire attention... Plus simple de se contenter des entiers comme nombres pour compter des choses...

    Cordialement,
    Dernière modification par Coincoin ; 13/10/2005 à 20h58.

  15. #12
    doryphore

    Smile Re : Les infinis

    D'ailleurs, les cardianux de N et de R étant différents, on voit toute la difficulté à s'exprimer ainsi. L'infini de N n'est pas l'infini de R...

    croisement avec mmy dont la réponse est plus complète
    Dernière modification par doryphore ; 13/10/2005 à 20h59.
    "Plus les choses changent et plus elles restent les mêmes..." Snake Plisskein

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  17. #13
    Bleyblue

    Re : Les infinis

    Mais alors comment dois-je comprendre la notion "d'avoir le même cardinal" ?

    Deux ensembles ont même cardinal si on peut établir une bijection d'un ensemble vers l'autre, point à la ligne?

  18. #14
    GuYem

    Re : Les infinis

    Citation Envoyé par Bleyblue
    Mais alors comment dois-je comprendre la notion "d'avoir le même cardinal" ?

    Deux ensembles ont même cardinal si on peut établir une bijection d'un ensemble vers l'autre, point à la ligne?
    Exactement.
    Bravo jolie Ln, tu as trouvé : l'armée de l'air c'est là où on peut te tenir par la main.

  19. #15
    doryphore

    Smile Re : Les infinis

    L'égalité des cardinaux n'est pas définie comme une égalité de nombres réels: elle est liée à l'existence d'une bijection entre les deux ensembles ce qui permet de prendre en compte les ensembles de dimensions infinis.

    Card(A) = Card(B) ssi il existe une bijection entre A et B.

    Ce égal n"est pas le même que celui de 2 = 1+1.
    "Plus les choses changent et plus elles restent les mêmes..." Snake Plisskein

  20. #16
    Bleyblue

    Re : Les infinis

    Bon, en y rélféchissant un peu ça me parait plus logique que de dire que deux ensembles INFINI ont même nombre d'élement (comme l'infini n'est pas un nombre)

    Mais au fait, il existe une définition parfaitement rigoureuse de ce qu'est l'infini ?

  21. #17
    invité576543
    Invité

    Re : Les infinis

    Citation Envoyé par Bleyblue
    Bon, en y rélféchissant un peu ça me parait plus logique que de dire que deux ensembles INFINI ont même nombre d'élement (comme l'infini n'est pas un nombre)

    Mais au fait, il existe une définition parfaitement rigoureuse de ce qu'est l'infini ?
    Il y en a pas mal. Une très simple, un cardinal est infini si un ensemble de ce cardinal peut être mis en bijection avec l'union de cet ensemble et un ensemble réduit à un élément qui n'appartient pas à l'ensemble...

  22. #18
    doryphore

    Re : Les infinis

    Un ensemble est infini s'il est en bijection avec une de ses parties strictes.

    N* est une partie stricte de N,
    N et N* sont en bijection donc N est un ensemble infini.

    Pour d'autres définitions 'cf wikipedia infini' by Google

    croisement: sorry ...
    "Plus les choses changent et plus elles restent les mêmes..." Snake Plisskein

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  24. #19
    GillesH38a

    Re : Les infinis

    ou si il existe une bijection entre cet ensemble et une partie de lui-même qui ne lui est pas égale...

  25. #20
    Bleyblue

    Re : Les infinis

    Ok merci.
    Mais je voulais dire : existe il une définition précise de l'infini lui même ?

  26. #21
    tariq_qui

    Re : Les infinis

    Citation Envoyé par doryphore
    D'ailleurs, les cardianux de N et de R étant différents, on voit toute la difficulté à s'exprimer ainsi. L'infini de N n'est pas l'infini de R...
    slt
    je pense pas car nous avons des bijections entre IN et IR comme exemple A: IN ----> IR
    n ----> sqrt(n) - a ou a appartient à IN
    Donc le cardinale de IR est celui de IN

  27. #22
    Coincoin

    Re : Les infinis

    Non, ce n'est pas une bijection... La preuve : appartient à R et n'a pas d'antécédent.
    Encore une victoire de Canard !

  28. #23
    doryphore

    Smile Re : Les infinis

    Exactement car les images de ta fonction sont nécessairement algébriques, ce qui ne représente qu'une sous partie stricte de R.
    Les nombres transcendants comme Pi ne peuvent être atteints.
    "Plus les choses changent et plus elles restent les mêmes..." Snake Plisskein

  29. #24
    Bleyblue

    Re : Les infinis

    Citation Envoyé par tariq_qui
    Donc le cardinale de IR est celui de IN
    Ah non ça je suis sûr que ce n'est pas le cas, j'ai la démonstration ici (tu la veux ?)

    Sinon pour ton exemple c'est comme coincoin dit, il suffit d'exiber un réel qui n'est la racine d'aucun naturel (ex : 0.0008710244 ...).
    Ca contredit la surjectivité de ton application et donc aussi sa bijectivité

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  31. #25
    tariq_qui

    Re : Les infinis

    Citation Envoyé par Bleyblue
    Sinon pour ton exemple c'est comme coincoin dit, il suffit d'exiber un réel qui n'est la racine d'aucun naturel (ex : 0.0008710244 ...).
    Ca contredit la surjectivité de ton application et donc aussi sa bijectivité
    slt
    donc je vais chercher une autre application comme
    f: IN* ---> IR
    n --->sqrt(a/n) - b ou a et b sont des nombres naturels
    vous dis quoi c'est un bijection entre IN* et IR

  32. #26
    enderalartic

    Re : Les infinis

    salut
    je ne crois pas que ce soit une bijection, peux tu ecrire pi de la sorte? e?

  33. #27
    tariq_qui

    Re : Les infinis

    pour n=47
    on a A(47)= sqrt(a/47) - b
    il suffit de poser a=484 et b=0
    on obtient
    A(47) = sqrt(484/47) = 22/7 = Pi

  34. #28
    tariq_qui

    Re : Les infinis

    Citation Envoyé par Bleyblue
    Ah non ça je suis sûr que ce n'est pas le cas, j'ai la démonstration ici (tu la veux ?)
    bijectivité
    oui c'est un plaisir d'avoir la demonstration
    donne moi ton démonstration stp

  35. #29
    Bleyblue

    Re : Les infinis

    Voici :

    Dabord on remarque que |]0, 1[| = |IR| (|A| désigne le cardinal de l'ensemble A) étant donné que :

    f(x) = pour x variant de est une bijection de ]-pi/2, pi/2[ vers IR (tg(x) est bien une fonction injective et surjective)

    Si au lien de prendre f(x) = tg(x) on prend :

    f(x) = on a bien une bijection de ]0, 1[ vers IR

    Bon. Raisonnons par l'absurde et supposons qu'il existe une bijection de IN vers ]0, 1[ , appelons la f
    On peut donc imaginer le résultat :

    k --> f(k)
    1 --> 0,84444
    2 --> 0,57
    3 --> 0,1111111....
    4 --> 0,45454545 ...

    "Fabriquons" maintenant un réel compris entre 0 et 1 : 0,X1X2X3X4 ...Xn tels que Xn soit diffrent de la nième décimale de f(n).

    Par exemple X1 doit être différent du premier chiffre de f(1) c'est à dire 8.

    On a donc 0,X1X2X3X4 ...Xn différent de f(n) pour tout n appartenant à IN.
    Ca contredit la surjectivité de f

    Donc une bijection de IN vers IR ne peut pas exister.

  36. #30
    doryphore

    Re : Les infinis

    Citation Envoyé par tariq_qui
    pour n=47
    on a A(47)= sqrt(a/47) - b
    il suffit de poser a=484 et b=0
    on obtient
    A(47) = sqrt(484/47) = 22/7 = Pi
    22/7 est une valeur approchée rationnelle de Pi mais n'est pas égale à Pi.

    !LA nouvelle fonction que tu propose à exactement les mêmes carctéristiques que la précédente: seuls des nombres algébriques sont atteints, mais les nombres transcendants n'ont pas d'antécédents.
    "Plus les choses changent et plus elles restent les mêmes..." Snake Plisskein

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