Les infinis

[invite89e47f89]

donc on peut jamais atteint le pi
d'ou il y a pas une application surjective de in vers ir
d'ou il s'ont pas le meme cardinal
merci
-----

[invite3bc71fae]

En fait, on pourrait créer artificiellement une fonction qui atteint Pi, mais dans ce cas, il y a d'autres nombres qu'on ne pourrait pas atteindre.

[invité576543]

Bonjour,

Si on veut vraiment s'amuser, on peut créer une fonction qui à partir de |N atteint:

- tous les algébriques,

- tous les résultats obtenus en appliquant à e, pi, 1/e et 1/pi un polynome quelconque de degré fini à coefficients algébriques et quatre inconnues.

Mais on atteint toujours pas tous les réels!

Pire, si on y avait accès, on pourrait faire une fonction qui de N donne tous les réels spécifiques mentionnés oralement ou par écrit par un humain quelconque dans toute l'histoire passée et future de l'humanité!

Mais cela n'atteint toujours pas tous les réels...

Cordialement,

[invitedf667161]

Bonjour,

Si on veut vraiment s'amuser, on peut créer une fonction qui à partir de |N atteint:

- tous les algébriques,

- tous les résultats obtenus en appliquant à e, pi, 1/e et 1/pi un polynome quelconque de degré fini à coefficients algébriques et quatre inconnues.

Mais on atteint toujours pas tous les réels!

Pire, si on y avait accès, on pourrait faire une fonction qui de N donne tous les réels spécifiques mentionnés oralement ou par écrit par un humain quelconque dans toute l'histoire passée et future de l'humanité!

Mais cela n'atteint toujours pas tous les réels...

Cordialement,

C'est ça qui est beau ; nous pauvres matheux on dit : R est le complété de Q, on fait vingt lignes de démo pour démontrer qu'on fait des trucs corrects et on construit un truc (R) que l'humanité entière, en utilisant tous le temps qui lui est donné, ne pourra pas décrire élément par élement

[Bleyblue]

Oui.

Tiens pour ce qui est de l'ensemble IN² = N * N j'ai ici un bijection de IN vers IN² qui prouve (en fait non car je n'ai pas démontré rigoureusement qu'il s'agit bien d'une bijection mais bon ...) qu'il est dénombrable.

Pensez vous que je puisse généraliser ça à IN^k avec k naturel ?

merci

[invitedf667161]

Oui puisque N^k est dénombrable aussi

[Bleyblue]

Oui puisque N^k est dénombrable

Ah, je ne savais pas ...
Tu as une idée de comment je pourrais faire pour exhiber une bijection de IN vers IN^k ?

merci

[invite88ef51f0]

Il doit suffir d'adapter ta bijection de N dans N²...
Et sinon, en utilisant ta bijection plusieurs fois, on peut facilement faire une bijection de N² dans N⁴, dans N⁸, etc... Et pour les autres k, ça marche aussi.

[invitec314d025]

Voici :

Dabord on remarque que |]0, 1[| = |IR| (|A| désigne le cardinal de l'ensemble A) étant donné que :

f(x) = pour x variant de est une bijection de ]-pi/2, pi/2[ vers IR (tg(x) est bien une fonction injective et surjective)

Si au lien de prendre f(x) = tg(x) on prend :

f(x) = on a bien une bijection de ]0, 1[ vers IR

Bon. Raisonnons par l'absurde et supposons qu'il existe une bijection de IN vers ]0, 1[ , appelons la f
On peut donc imaginer le résultat :

k --> f(k)
1 --> 0,84444
2 --> 0,57
3 --> 0,1111111....
4 --> 0,45454545 ...

"Fabriquons" maintenant un réel compris entre 0 et 1 : 0,X1X2X3X4 ...Xn tels que Xn soit diffrent de la nième décimale de f(n).

Par exemple X1 doit être différent du premier chiffre de f(1) c'est à dire 8.

On a donc 0,X1X2X3X4 ...Xn différent de f(n) pour tout n appartenant à IN.
Ca contredit la surjectivité de f

Donc une bijection de IN vers IR ne peut pas exister.

Pour que cette démonstration soit parfaitement rigoureuse, il faut faire attention aux écritures décimales qui se terminent par une infinité de 9 car comme tout le monde le sait 1 = 0,999999999...

[Bleyblue]

Il doit suffir d'adapter ta bijection de N dans N²...
Et sinon, en utilisant ta bijection plusieurs fois, on peut facilement faire une bijection de N² dans N4, dans N8, etc... Et pour les autres k, ça marche aussi.

Ok merci

car comme tout le monde le sait 1 = 0,999999999...

Ah oui. Ca pose de gros problèmes ? Pour les bornes de ]0, 1[ sans doute mais je sais pas si c'est si important ...

merci

[invite3bc71fae]

Voyons voir quels problèmes peuvent apparaître du fait des deux développements décilmaux possibles des nombres décimaux:

Imaginons que f(5)=0,84444, qu'on a obtenu x_1=8 et x_2 ... x_4=4

Ensuite on choisi x_5=3, ce qui est cohérent car 3<>4.

Et enfin par un hasard infiniment peu probable, on peut choisir x_n=9 pour tout n, supérieur à 5 et on le fait.

On a créé le réel 0,844439999999999999999999.... ce qui ne contredit pas le fait que f soit bijectif car il est atteint par f(5).

En fait, il suffit de dire qu'on ne prend pas 9 chaque fois que c'est possible pour régler le problème... (il y a de l'axiome du choix là-dessous.)

[Bleyblue]

Ah oui, c'est malin ... je vais aller dire ça au professeur, voir un peu ce qu'il va me répondre

[Bleyblue]

J'ai ici quelques ensembles et je dois déterminer ceux qui sont infinis dénombrables :

A = IN, B = [0,1], C = {10ⁿ | n}, D = P(IN), E = {0,1}^IN , F = IN^{0,1}, G = IR^{0,1} , H = {x IR | x³ - 6x² + 11x - 6 = 0}

Bon alors pour moi A et C sont bien infinis dénombrables, D,B et H ne le sont pas mais je doute pour les 3 autres

J'aurais tendance à dire que E et F le sont mais G pas. Pensez vous que ce soit juste ?

merci

[invite4793db90]

Salut,

pour H: combien de racines peut admettre un polynôme de degré 3?

D: fait une recherche rapide sur le forum ou sur google.

F et G: combien de choix possibles pour l'image de 0 et l'image de 1?

Cordialement.

[Bleyblue]

pour H: combien de racines peut admettre un polynôme de degré 3?

Eh bien trois racines (éventuellement complexes) donc H n'est pas infini non ?

D: fait une recherche rapide sur le forum ou sur google

Mais le professeur nous a démontré au cours que l'ensemble des parties de IN était non dénombrable ...

merci

[invite4793db90]

Eh bien trois racines (éventuellement complexes) donc H n'est pas infini non ?

Tout simplement.

Mais le professeur nous a démontré au cours que l'ensemble des parties de IN était non dénombrable ...

Oups pardon, je croyais que tu ne savais pas pour ce cas. C'est ok donc.

[invite4793db90]

Bon je me rends compte que j'étais à côté de la plaque dans toute ces lettres...

Pour être utile: E peut être vu comme l'ensemble des fonctions caractéristiques des parties de IN.

Cordialement.

[Bleyblue]

F et G: combien de choix possibles pour l'image de 0 et l'image de 1?

Une infinité. Cela contredit ce que j'ai dit ci dessus ?

EDIT : Croisement entre tes derniers post et celui ci

merci

[invite4793db90]

Un infinité. Cela contredit ce que j'ai dit ci dessus ?

merci

Non, mais il s'agit de quantifier: infinité dénombrable ou non?

[Bleyblue]

Non, mais il s'agit de quantifier: infinité dénombrable ou non?

Eh bien pour E c'est dénombrable mais pour G pas.

Pour E :

IN ---------> {0,1}
0 ----------> 0
0 ----------> 1
1----------->0
1----------->1
2----------->0
2----------->1

etc. et si je continue comme ça j'ai bien toutes les applications possibles.

Ah oui ... mais tiens maintenant que j'y pense, l'ensemble des applic. vers {0,1} de IN me semble bien infini donc F n'est pas dénombrable ....

merci

[Bleyblue]

J'hésite quand même pour F parceque si je fait :

{0,1} ----> IN
0 --------> 0
0 --------->1
0 --------->2
...

1 -------->0
1--------->1
1---------->2
...

J'ai bien dénombré l'ensemble non ?

merci

[invite2ec8adb6]

Il doit suffir d'adapter ta bijection de N dans N2...
Et sinon, en utilisant ta bijection plusieurs fois, on peut facilement faire une bijection de N2 dans N⁴, dans N⁸, etc... Et pour les autres k, ça marche aussi.

pourquoi ne pas faire directement pour tous les k dans N*?
par récurrence,
si N^k est en bijection avec N, alors
N^k+1=N^k$N
est en bijection avec N$N qui est en bijection avec N

N.B. $ désigne ici le produit cartésien de deux ensembles

[invite88ef51f0]

Oui, tu as raison, c'est plus élégant comme ça...

[Bleyblue]

Je dois démontrer que l'ensemble A de toutes les fonctions injectives de Z vers Z n'est pas dénombrable.
Alors j'ai une proposition, même si a mon avis il a une assez grande probabilité pour que ce soit faux :

Supposons qu'il existe une bijection F : IN -> A : n -> F_n
Choisissons une fonction g: Z -> Z en posant :

* g(z) = z pour z Z | z < 0 et

* g(n) = F_n(n) + 1 pour n IN

Alors g de Z vers Z n'est pas atteinte par F ce qui contredit la surjectivité de celle ci. Donc A n'est pas dénombrable.

Qu'en pensez vous ?

merci