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— infinis



  1. #1
    Naoli
    Bonsoir

    Il y a quelque chose que je n'arrive pas à comprendre...

    dans l'intervalle [0,1] il y a une infinité de nombre, ainsi que dans l'intervalle [0,2]. Pourtant, on me dit que le "nombre" d'éléments dans le premier intervalle est égal à celui du second, étant donné que tous deux sont infinis. Pourtant, ne peut -on pas mettre absolument tous les éléments de [0,1] en bijection avec leur égal dans [0,2] ??? Dans ce cas, tous les éléments de ]1,2] n'ont pas d'antécédents et alors alef([0,2] > alef[0,1]

    Non ? Pourquoi est-ce faux ?

    Merci de votre aide

    Naoli

    -----


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  3. #2
    juan
    Pourtant, ne peut -on pas mettre absolument tous les éléments de [0,1] en bijection avec leur égal dans [0,2] ??? Dans ce cas, tous les éléments de ]1,2] n'ont pas d'antécédents et alors alef([0,2] > alef[0,1]
    tu t'emmeles un peu les pinceaux,là.
    Pour montrer que 2 ensembles sont équipotents,tu peux essayer de construire une application bijective(surjective + injective) de l'un des 2 vers l'autre.

    Le raisonnement généralement utilisé est le suivant :
    on montre que A=B si A inclus dans B ET B inclus dans A.
    Donc quand tu dis "ne peut -on pas mettre absolument tous les éléments de [0,1] en bijection avec leur égal dans [0,2] ??? ",tu viens de montrer A inclus dans B avec B = [0,2].
    Il faudrait trouver une construction qui à tout élément de [0,2] associe
    1 élément de [0 1] (unique).
    J'avais donné un exemple entre ]0,1[ et le carré ]0,1[x]0,1[ dans un topic récent.(euh.."devinette" je crois)

    Il y a d'ailleurs un théorème qui dit que lR est équipotent à toute puissance de lR (lR^2,lR^3,etc...)
    on dit aussi que lR a la "puissance du continu" et son "cardinal" est noté aleph.
    Q (les rationnels) est équipotent à lN (beaucoup d'exemples de bijections entre lN et Q sur le net,je pense...)
    cardinal(lN)<cardinal(lR)
    cardinal(parties de lN) = cardinalde lR < cardinal(Parties de lR)
    bref...mes connaissances sont assez limitées sur le sujet ("moins on en a plus on l'étale"...),donc je m'arrête là...
    @+

  4. #3
    monnoliv
    Voilà une bijection:
    [code:1:0243414835]y = 2.x[/code:1:0243414835]
    avec x € [0,1] et y € [0.2]
    Bàt,
    Ne soldez pas grand mère, elle brosse encore.

  5. #4
    Naoli
    Ce que je veux dire, c'est que si on utilise la bijection de [0,1] dans [0,1], avec y=x, il reste tous les éléments de ]1,2] qui n'ont pas de copains, donc pourquoi ne peut-on pas dire que aleph(A) < aleph (B) ?

    Est-ce à cause de la bijection donnée par monnoliv par exemple ? Qui tendrait à montrer que si on peux mettre ces 2 éléments en bijection alors aleph(A) =aleph(B) ?

    ++

  6. #5
    monnoliv
    Il faut faire attention à ne pas utiliser les égalités avec l'infini, ça ne veut rien dire. De plus tout ensemble est bijectif avec lui même (il me semble, mais y a peut-être un matheux qui va trouver un exemple tordu), donc écrire y = x est évident. Que penses-tu de y=x.x avec x €[0,1] et y € [0,1] ? -> Bijectif aussi.
    De plus il serait intéressant de rappeler les notions d'infini dénombrable et d'infini non dénombrable. Si quelqu'un peut s'y mettre ?
    Bàv,
    Ne soldez pas grand mère, elle brosse encore.

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    Naoli
    Je sais que tout ceci est au programme de l'an prochain pour moi, mais je ne peux pas attendre ! Je veux savoir

    ++

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  10. #7
    monnoliv
    Tiens, voilà ce que j'ai trouvé
    On dit qu'un ensemble E est dénombrable, s'il est équipotent à N. C'est à dire s'il existe une bijection de N sur E :
    ici:
    http://www.sciences-en-ligne.com/mom...denombr_q.html

    Et ici la démonstration de la non dénombrabilité de |R:
    http://www.sciences-en-ligne.com/mom...ag_cantor.html

    A+
    Ne soldez pas grand mère, elle brosse encore.

  11. #8
    Naoli
    -

    Merci

    ++

  12. #9
    dupo
    c'est des maths de second cycle ?

  13. #10
    Quinto
    Oui attention à ce que tu dis, ce n'est pas parce que [0,1] est infini mais parce qu'il est infini indénombrable.
    Et en fait ce n'est pas suffisant non plus, c'est nécessaire:

    L'ensemble des fonctions de [0,1] dans [0,1] est infini indénombrable aussi et pourtant tu ne pourras pas créer de bijection de l'un dans l'autre ...

    Tu peux créer une surjection de l'un dans l'autre:
    soit g la fonction définie par
    g de [0,1]<sup>[0,1]</sup> dans [0,1]
    g(f)=f(0) par exemple

    Là tu as une surjection, mais tu ne peux pas trouver de bijection en fait.

    En fait ce qui est très fort c'est que si tu te donnes un sous ensemble indénombrable de [0,1], alors tu pourras encore le mettre en bijection avec [0,1] par exemple
    R- ([0,1] inter Q) est encore équipotent à [0,1]

  14. #11
    Naoli
    Ouille ouille ouille

    Merci pour ces explications. j'en demanderai un peu plus à ma prof de maths, en fait ce sont des maths de 2° année de premier cycle (maths spé) je ne suis qu'en maths sup

    ++

  15. #12
    Jedeki
    c'est quoi le 2ème cycle et c'est quoi les math sup en france ?
    2+2=4.17985

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  17. #13
    Quinto
    le 2e cycle c'est ce qui correspond à un master je crois: licence/matrise

    La mathsup c'est une classe préparatoire aux grandes écoles, spécialisée dans les maths, et il y'en a plusieurs (plus ou moins spécialisées dans les maths ou la physique ou la chimie ou ...)
    C'est une 1e année postbac et la 2e année s'appelle la mathspé.
    Sur 2ans y'as pas mieux pour avoir une formation béton en maths en France, mais c'est pas mal du gavage et dans des domaines assez pratiques (il faut faire des futurs ingénieur en 2ans) à l'inverse de la fac qui est plus pepère, et qui prend plus le temps de faire des activités pratiques.
    En fait c'est pas vraiment comparable, parce que les programmes ne sont pas identique.

  18. #14
    Jedeki
    c'est bien triste... et tout ceux qui n'ont pas envire de faire des maths d'ingénieur vont à la fa donc ?
    2+2=4.17985

  19. #15
    Quinto
    Qu'est ce qui est triste?
    Moi je trouve ca très bien.
    Non moi je n'ai pas eu envie de faire des maths d'ingénieur et je suis allé en prépa quand même, ensuite je suis allé à la fac, c'est assez complémentaire, à la fac on appronfondi moins mais on en voit plus, et on fait aussi plus d'exo sur un sujet donné (ca peut parraitre contradictoire mais c'est vrai en fait)

  20. #16
    Jedeki
    je trouve gavant de devoir faire l'ingénieure avant de pouvoir attaquer les vraies maths...

    J'ai un cours de pros/stats et en moins de trois semaines c'était devenu ennuyeux à mourir.
    2+2=4.17985

  21. #17
    Quinto
    Mais non, les maths ne sont pas des maths d'ingénieur, ce sont des maths théoriques générales, et quelque soit la branche que tu vas choisir tu les feras, mais tu ne feras rien d'autre.
    Par exemple, en fac j'ai fait les meme en moins poussé que celles de prépa, mais en plus, je faisais de la théorie des graphes, de la théorie des jeux, de la logique booléenne, de la combinatoire, et des probas. L'intégration n'est plus limitée aux fonctions continues, mais aux fonctions mesurables ou je ne sais pas, bref, en fac on voit une classe différente de théorie que l'on pousse moins, en prépa on voit moins de théorie mais on les pousse à fond, ou du moins le plus possible et le plus vite possible.
    En gros on fait en 2ans ce que l'on fait en 3 à la fac, mais à la fac en 3ans on aura vu d'autres théories aussi, et qu'aucune prépa ne fera ... (les programmes de prépa sont nationaux, par contre les fac ont leur propre programme)

  22. #18
    Jedeki
    la préparatoire fais mieux les choses mais dans moins de domaines ?

    donc un type qui sort de la fac, au final, il sait un peu de tout, mais rien en particulier si ce n'est ce qu'il lui reste de la prepa ? ça me paraît bien étrange comme système...
    2+2=4.17985

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  24. #19
    Quinto
    Bein un gars qui sort de la fac peut sortir de DEUG LICENCE MAITRISE DEA-DESS ou doctorat donc d'un bac+2 à un bac+8
    Un gars qui sort de prépa n'a fait lui que 2ans, donc ca n'a rien à voir.

    Mais après 2ans c'est en effet à peu près ce qui se passe.

  25. #20
    Yoyo
    Citation Envoyé par Jedeki
    la préparatoire fais mieux les choses mais dans moins de domaines ?

    donc un type qui sort de la fac, au final, il sait un peu de tout, mais rien en particulier si ce n'est ce qu'il lui reste de la prepa ? ça me paraît bien étrange comme système...
    Non la fac est tres generaliste dans les premieres années, mais on se specialise fortement a partir de la maitrise.

    Yoyo

  26. #21
    Evil.Saien
    Par définition, si tu dit que tu fais une bijéction de [A, B] vers [C, D] ca implique qu'a chaque point de [A, B] est associé un point de [C, D] différent pour chaque x E [A, B], et qu'a chaque y E [C, D] est associé un point de [A, B] (il n'éxiste aucun point de [C, D] qui n'a pas d'antecedent).
    Donc, pour chaque fonction bijective, il existe la fonction bijective inverse.

    Ainsi, si tu dit que tu fait une bijection de [0,1] vers [0,2] mais que des points de [0,2] n'ont pas de copains, alors c'est pas une bijection que tu fais.

    Ceci dit c'est vrai que ca peut paraitre choquant de se dire qu'il y a autant de nombre dans [0, 000000000000000.1] que dans [0, 9999999999999999] ! Mais après il y a différents niveaux d'infinis qui sont définis, et n'étant pas un expert en la matière je ne m'avancerai pas trop sur le sujet.

  27. #22
    Evil.Saien
    La grosse différence entre la fac et les ecoles d'ingé, c'est les methodes de travail.
    Dans une ecole d'ingé (j'y suis), on apprend principalement des méthodes, avec un poil de theorie autour histoire de comprendre d'ou sortent les methodes.
    Alors qu'a la fac c'est beaucoup plus theorique, et ils sont capables de retrouver les methodes utilisés par les ingénieurs, mais aussi d'en faire de nouvelles.
    D'ailleurs si on regarde bien, le débouché apres une ecole d'ingé c'est l'industrie, donc tres appliqué, alors que la grande majorité des chercheurs sortent d'un enseignement universitaire.
    Soit dit en passant, c'est vraiment pas dur d'avoir un diplome d'ingé pour peu qu'on sache a peu près appliquer des formules et avoir de temps en temps de bonnes idées, alors que pour avoir des diplomes universitaires d'autres qualités (en plus de celles-ci) sont requises.
    Donc si quelqu'un veut faire beaucoup de theorie des nombres, il vaut mieux aller a la fac...

  28. #23
    Evil.Saien
    Qu'entend-je ? pas de bijection possible de [0,1] vers [0,1] ?!!!
    Alors prends la fonction e(X-1) et la fonction x^3 !
    Paf, deux bijections de [0,1] dans [0,1]...

  29. #24
    monnoliv
    Citation Envoyé par Evil.Saien
    Qu'entend-je ? pas de bijection possible de [0,1] vers [0,1] ?!!!
    Alors prends la fonction e(X-1) et la fonction x^3 !
    Paf, deux bijections de [0,1] dans [0,1]...
    T'as pas raté un épisode ?
    Ne soldez pas grand mère, elle brosse encore.

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  31. #25
    Jedeki
    oui, je crois

    sinon, y'en a une autre de bonne bijection de [0,1] dans [0,1], c'est f(x)=x

    PS: Merci Quinto, Yoyo, Evil.Saien pour ces précisions concernant le système français. Je trouve d'ailleur assez drôle cette idée de bac+n, je trouve plus classe de dire: j'ai fait un doctorat que je suis bac+8...
    Mais j'imagine que bientôt, la réforme de Bologne nous donnera un PhD à tous, à l'americaine...
    2+2=4.17985

  32. #26
    Quinto
    Citation Envoyé par Evil.Saien
    Qu'entend-je ? pas de bijection possible de [0,1] vers [0,1] ?!!!
    Alors prends la fonction e(X-1) et la fonction x^3 !
    Paf, deux bijections de [0,1] dans [0,1]...
    Qui diable a dit ca?
    Je ne veux pas enfoncer le clou mais je crois en effet que t'as raté un épisode, il suffit de prendre l'injection canonique x->x et les ensembles étant égaux on voit que l'application est bijective.

  33. #27
    Evil.Saien
    pourtant le clou est bel et bien enfoncé...
    désolé... ops:
    Mais le pire, c'est que e(x-1) n'est pas une bijectio de [0,1] vers [0,1] !
    Doublement désolé... ops: ops:

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