Les infinis

[Deeprod]

Bonjour à tous,

Je sais qu'il existe diffèrent infinis, des infinis dénombrables ou pas, et des indénombrables "plus grand" que d'autre indénombrable. Comme R et R².

Comment on mathématise cela ?

Merci
-----

[martini_bird]

Salut,

la notion fondamentale est la bijection : c'est celle que Cantor a utilisée pour construire sa théorie. Grosso modo, la notion de bijection permet d'identifier les ensembles qui ont le même "nombre" d'éléments.

Cordialement.

PS :

Comme R et R².

Note que et ont le même cardinal (ce qui revient exactement à dire qu'il existe une bijection entre les deux).

[Gwyddon]

Au passage, il existe un théorème (que je trouve) fondamental, dû à Cantor :

Soit E un ensemble quelconque donné, et P(E) l'ensemble des parties de E. Alors il n'existe pas de surjection de E dans P(E).

L'ensemble des parties d'un ensemble E est l'ensemble dont les éléments sont des sous-ensembles de E.

Une surjection est une application f : E -> F telle que tout élément de F admet au moins un antécédent.

[Médiat]

Je suis pleinement d'accord avec Gwyddon sur l'intérêt de ce théorème, dont une conséquence immédiate est qu'il existe une "infinité" de cardinaux infinis (l'axiome des parties assurant que l'ensemble des parties d'un ensemble existe), et ce résultat n'est pas anodin.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitec053041c]

Il y a autant d'éléments dans ]0;1] que dans [1;+infini[ car la fonction inverse y établit une bijection .

[Médiat]

Il y a autant d'éléments dans ]0;1] que dans [1;+infini[ car la fonction inverse y établit une bijection .

Je suppose que tes intervalles sont pris dans , parce que dans c'est faux

[prgasp77]

Au passage, il existe un théorème (que je trouve) fondamental, dû à Cantor :

Soit E un ensemble quelconque donné, et P(E) l'ensemble des parties de E. Alors il n'existe pas de surjection de E dans P(E).

L'ensemble des parties d'un ensemble E est l'ensemble dont les éléments sont des sous-ensembles de E.

Une surjection est une application f : E -> F telle que tout élément de F admet au moins un antécédent.

Ca m'étonne ça ... N'y a-t-il pas de bijection entre et ? Tout ensemble d'entiers naturels est associable à un unique nombre

Ainsi l'ensemble vide est E₀ = {}, E₁₅ = {0,1,2,3}, ...


Edit : j'y pense, est-ce que cette bijection est valable pour les ensenbles tels que ou celui des entiers pairs ?

[Médiat]

Salut prgasp77 : tu ne considères que les sous-ensembles finis de

(Et ta fonction, telle qu'elle est écrite, n'est pas très juste, il me semble)

[Médiat]

La démonstration n'est pas très compliquée :

Supposons qu'il existe f une surjection de .
Soit l'ensemble défini par
Puisque f est une surjection, il existe a tel que .
Or : contradiction

[Gwyddon]

Soit E un ensemble quelconque.

Supposons qu'il existe une surjection de E dans P(E), notons la f.

Soit A = { x dans E tel que x n'appartienne pas à f(x) }

f étant surjective, il existe m tel que A=f(m).

Quid de l'appartenance de m à A ?

Si m appartient à A, m appartient à f(m)=A. Mais de part la définition de A, m n'appartient pas à f(m)... Donc m n'appartient pas à A... Contradiction !

Donc nécessairement m n'appartient pas à A=f(m). Mais alors, de part la définition de A, m appartient à A


Bilan : l'hypothèse initiale, qui était l'existence de la surjection f, aboutit à une contradiction. Donc cette hypothèse est fausse.

Conclusion (principe du tiers-exclu) : il n'existe pas de surjection de E dans P(E).


EDIT : euh.. Médiat a tout dit, j'ai juste un peu francisé

[invitebe0cd90e]

pour completer un peu : Si E est un ensemble infini, alors

- le cardinal de E est egal au cardinal de l'ensemble des parties finies de E
- le cardinal de E est egal a tout nombre fini de produits cartesiens succesifs : ExExE.....xE

- le cardinal de E n'est pas egal au cardinal de P(E)

- le cardinal de P(E) est aussi de meme cardinal que l'ensemble des suites qu'on peut construire avec des elements de E.

-si E est denombrable (de meme cardinal de N), alors meme l'ensemble des suites que l'on peut construire avec une partie finie quelconque de E est de meme cardinal que P(E)

par exemple, en considerant les reels de [0,1] comme des suites de chiffres entre 0 et 9, on trouve que [0,1] a meme cardinal que P(N).

[Médiat]

jobherzt >> Si par suite de E, tu veux bien dire application de dans E, j'ai un doute sur :

- le cardinal de P(E) est aussi de meme cardinal que l'ensemble des suites qu'on peut construire avec des elements de E.

Est-ce que cela ne revient pas à dire que

et il me semble que ceci est faux pour

Ton avis ?

[invitebe0cd90e]

oui, je pense que tu as raison, j'ai pense a ajouter "si E est denombrable" pour le dernier mais pas pour l'avant dernier.

[Deeprod]

Bien merci, c'est exactement ce que je voulais savoir.
Et un petit théorème très interressant démontré en prime

Merci