Les infinis

[Bleyblue]

Bonjour,

La démonstration nous a été donnée récemment que le cardinal de l'ensemble IN (des nombres naturels) et celui de l'ensemble Z (des entiers), étaient égaux.

Cela veut il dire qu'il y a autant de naturels que de nombre entiers ?
Je ne sais pas si ce que je viens de dire a un sens étant donné qu'on travaille avec des ensemble infinis ...

Qu'en pensez vous ?

merci
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[doryphore]

J'en dis que tu t'es posé la bonne question ...

Compter (dans la vraie vie) consiste à mettre chaque élément de ton ensemble en relation avec un et un seul nombre de N*:

1 carotte, 2 carottes, 3 carottes,...

Si tu arrives à faire la même chose avec l'ensemble Z et que tu t'aperçois que tu as besoin de tous les nombres de N, c'est qu'ils ont le même cardinal...

Or comme on ne peut pas énumérer tous les nombres, on utilise une application décrite d'une manière indirecte pour établir la correspondance. Si elle est bijective, c'est qu'on a réussi à énumérer tous les éléments de Z et Z est alors dit dénombrable.

[enderalartic]

salut
si tu as la demonstration, c est que tu ne l a pas comprise, normalement tout est dedans alors tu peux te replonger et te replonger dedans

[doryphore]

Bah non... la démonstration ne répond pas à sa question car c'est une question métamathématique. La démonstration se contente d'utiliser la definition de cardinal et de construire une bijection entre N et Z, rien de très intuitif

[A voir en vidéo sur Futura]

[Coincoin]

Salut,
Bleyblue, pour répondre à ta question, pose-toi une autre question : qu'est-ce que ça veut dire "autant" ?
Pour répondre clairement à cette question, il faut parler de bijection et de cardinal...

[Sephi]

Cela veut il dire qu'il y a autant de naturels que de nombre entiers ?

Exactement
De même, il y a autant de réels dans l'intervalle ]0,1[, que dans lR tout entier.

[GuYem]

Voilà.

Attention à la notion de "autant" que l'on ne peut pas appréhender mathématiquement autrement qu'avec la notion de bijection.

De même, dans N par exemple, il y a "autant" de nombre pairs que de nombres tout court.

[doryphore]

Un exemple intéressant pour appréhender la notion de cardinal:

Comme f: N*->N qui à n associe n-1 est une bijection donc il y a "autant" de nombres dans N que dans N privé de 0.

[Bleyblue]

Compter (dans la vraie vie) consiste à mettre chaque élément de ton ensemble en relation avec un et un seul nombre de N*:

1 carotte, 2 carottes, 3 carottes,...

Si tu arrives à faire la même chose avec l'ensemble Z et que tu t'aperçois que tu as besoin de tous les nombres de N, c'est qu'ils ont le même cardinal...

Or comme on ne peut pas énumérer tous les nombres, on utilise une application décrite d'une manière indirecte pour établir la correspondance. Si elle est bijective, c'est qu'on a réussi à énumérer tous les éléments de Z et Z est alors dit dénombrable.

Oui, c'est sous cette forme (d'ailleurs c'est peut être la seule ?) que le professeur nous a donné la démonstration.

Mais comme il a conclut : "Et donc les cardinaux des ensemble IN et Z sont égaux" j'ai hésité à traduire ça en "il y a autant de naturels que d'entier" étant donné qu'avec l'infini, il faut être prudent ...

si tu as la demonstration, c est que tu ne l a pas comprise, normalement tout est dedans alors tu peux te replonger et te replonger dedans

Si je l'ai comprise, cf. mon message ci dessus

De même, il y a autant de réels dans l'intervalle ]0,1[, que dans lR tout entier.

Oui ça aussi le professeur l'à démontrer

f: N*->N qui à n associe n-1 est une bijection donc il y a "autant" de nombres dans N que dans N privé de 0.

Oui ça on l'a vu aussi

En fait je n'ai pas été précis dans ma question, je voulais simplement savoir si "avoir même cardinal" peut être interprété comme "avoir le même nombre d'élements" étant donné qu'ici les ensembles sont infinis et non pas finis

merci à tous !

[doryphore]

La réponse est simplement non car l'infini n'est pas un nombre tel qu'on l'entend quand on parle de "nombre de quelque chose..."

[invité576543]

Pas si simple. En fait, on inverse la proposition. On appelle "nombre cardinal" une classe d'équivalence entre ensembles selon la relation "il existe une bijection entre les deux".

Le premier cardinal non entier est appelé aleph0, noté : c'est celui des ensembles dénombrables. Le suivant, surprise c'est aleph1, mais il y a un problème avec celui-là: il est indécidable de dire si c'est le cardinal de R ou non.

L'autre difficulté conceptuelle est qu'il existe aussi des "nombres ordinaux". Pour les entiers, ces nombres correspondent 1 à 1 avec les nombres cardinaux, mais après c'est complétement différent...

En bref, ce sont des domaines où il faut faire attention... Plus simple de se contenter des entiers comme nombres pour compter des choses...

Cordialement,

[doryphore]

D'ailleurs, les cardianux de N et de R étant différents, on voit toute la difficulté à s'exprimer ainsi. L'infini de N n'est pas l'infini de R...

croisement avec mmy dont la réponse est plus complète

[Bleyblue]

Mais alors comment dois-je comprendre la notion "d'avoir le même cardinal" ?

Deux ensembles ont même cardinal si on peut établir une bijection d'un ensemble vers l'autre, point à la ligne?

[GuYem]

Mais alors comment dois-je comprendre la notion "d'avoir le même cardinal" ?

Deux ensembles ont même cardinal si on peut établir une bijection d'un ensemble vers l'autre, point à la ligne?

Exactement.

[doryphore]

L'égalité des cardinaux n'est pas définie comme une égalité de nombres réels: elle est liée à l'existence d'une bijection entre les deux ensembles ce qui permet de prendre en compte les ensembles de dimensions infinis.

Card(A) = Card(B) ssi il existe une bijection entre A et B.

Ce égal n"est pas le même que celui de 2 = 1+1.

[Bleyblue]

Bon, en y rélféchissant un peu ça me parait plus logique que de dire que deux ensembles INFINI ont même nombre d'élement (comme l'infini n'est pas un nombre)

Mais au fait, il existe une définition parfaitement rigoureuse de ce qu'est l'infini ?

[invité576543]

Bon, en y rélféchissant un peu ça me parait plus logique que de dire que deux ensembles INFINI ont même nombre d'élement (comme l'infini n'est pas un nombre)

Mais au fait, il existe une définition parfaitement rigoureuse de ce qu'est l'infini ?

Il y en a pas mal. Une très simple, un cardinal est infini si un ensemble de ce cardinal peut être mis en bijection avec l'union de cet ensemble et un ensemble réduit à un élément qui n'appartient pas à l'ensemble...

[doryphore]

Un ensemble est infini s'il est en bijection avec une de ses parties strictes.

N* est une partie stricte de N,
N et N* sont en bijection donc N est un ensemble infini.

Pour d'autres définitions 'cf wikipedia infini' by Google

croisement: sorry ...

[GillesH38a]

ou si il existe une bijection entre cet ensemble et une partie de lui-même qui ne lui est pas égale...

[Bleyblue]

Ok merci.
Mais je voulais dire : existe il une définition précise de l'infini lui même ?

[tariq_qui]

D'ailleurs, les cardianux de N et de R étant différents, on voit toute la difficulté à s'exprimer ainsi. L'infini de N n'est pas l'infini de R...

slt
je pense pas car nous avons des bijections entre IN et IR comme exemple A: IN ----> IR
n ----> sqrt(n) - a ou a appartient à IN
Donc le cardinale de IR est celui de IN

[Coincoin]

Non, ce n'est pas une bijection... La preuve : appartient à R et n'a pas d'antécédent.

[doryphore]

Exactement car les images de ta fonction sont nécessairement algébriques, ce qui ne représente qu'une sous partie stricte de R.
Les nombres transcendants comme Pi ne peuvent être atteints.

[Bleyblue]

Donc le cardinale de IR est celui de IN

Ah non ça je suis sûr que ce n'est pas le cas, j'ai la démonstration ici (tu la veux ?)

Sinon pour ton exemple c'est comme coincoin dit, il suffit d'exiber un réel qui n'est la racine d'aucun naturel (ex : 0.0008710244 ...).
Ca contredit la surjectivité de ton application et donc aussi sa bijectivité

[tariq_qui]

Sinon pour ton exemple c'est comme coincoin dit, il suffit d'exiber un réel qui n'est la racine d'aucun naturel (ex : 0.0008710244 ...).
Ca contredit la surjectivité de ton application et donc aussi sa bijectivité

slt
donc je vais chercher une autre application comme
f: IN* ---> IR
n --->sqrt(a/n) - b ou a et b sont des nombres naturels
vous dis quoi c'est un bijection entre IN* et IR

[enderalartic]

salut
je ne crois pas que ce soit une bijection, peux tu ecrire pi de la sorte? e?

[tariq_qui]

pour n=47
on a A(47)= sqrt(a/47) - b
il suffit de poser a=484 et b=0
on obtient
A(47) = sqrt(484/47) = 22/7 = Pi

[tariq_qui]

Ah non ça je suis sûr que ce n'est pas le cas, j'ai la démonstration ici (tu la veux ?)
bijectivité

oui c'est un plaisir d'avoir la demonstration
donne moi ton démonstration stp

[Bleyblue]

Voici :

Dabord on remarque que |]0, 1[| = |IR| (|A| désigne le cardinal de l'ensemble A) étant donné que :

f(x) = pour x variant de est une bijection de ]-pi/2, pi/2[ vers IR (tg(x) est bien une fonction injective et surjective)

Si au lien de prendre f(x) = tg(x) on prend :

f(x) = on a bien une bijection de ]0, 1[ vers IR

Bon. Raisonnons par l'absurde et supposons qu'il existe une bijection de IN vers ]0, 1[ , appelons la f
On peut donc imaginer le résultat :

k --> f(k)
1 --> 0,84444
2 --> 0,57
3 --> 0,1111111....
4 --> 0,45454545 ...

"Fabriquons" maintenant un réel compris entre 0 et 1 : 0,X1X2X3X4 ...Xn tels que Xn soit diffrent de la nième décimale de f(n).

Par exemple X1 doit être différent du premier chiffre de f(1) c'est à dire 8.

On a donc 0,X1X2X3X4 ...Xn différent de f(n) pour tout n appartenant à IN.
Ca contredit la surjectivité de f

Donc une bijection de IN vers IR ne peut pas exister.

[doryphore]

pour n=47
on a A(47)= sqrt(a/47) - b
il suffit de poser a=484 et b=0
on obtient
A(47) = sqrt(484/47) = 22/7 = Pi

22/7 est une valeur approchée rationnelle de Pi mais n'est pas égale à Pi.

!LA nouvelle fonction que tu propose à exactement les mêmes carctéristiques que la précédente: seuls des nombres algébriques sont atteints, mais les nombres transcendants n'ont pas d'antécédents.