Calcul intégral par les Résidus

[invited3a12771]

Bonjour,
voilà mon problème. Il y a quelques jours j'ai eu un examen de "variable complexe". Malheureusement, tout le monde s'est planté à cause d'un cours magistral des plus incompréhensible (Un prof qui chaque année doit partir à la retraite et qui préfère rester au grand désespoir des étudiants visant la réussite) et c'est aussi du au fait que l'examen n'avait rien à voir avec ce que l'on faisait en TD. Le prof de cours n'a pas semblé s'interresser à ce que faisaient les profs de TD.

N'aimant pas rester dans l'incertitude, voici un exercice que je n'ai pu faire :

Soient a et b deux réels strictements positifs distincts.
1. Calculer par la méthode des résidus l'intégrale :

J(a,b)=int({ 1/((x²+a²)(x²+b²)) }, x, -inf, +inf).

2. Calculer de même

I(a)=int({ 1/(x²+a²)² }, x, -inf, +inf).

et vérifier que I(a)-->J(a,b) quand (a-->b)


Si quelqu'un pouvait m'expliquer comment calculer au moins une de ces intégrales, ça serait vraiment sympa. Le probleme est qu'en TD on a toujours calculé des intégrales de fonctions complexes sur un chemin complexe fermé donné et que l'on a aucune idée de comment cela fonctionne avec ce type d'intégrales.

Merci d'avance.
Au revoir.
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[GuYem]

Salut,

Pour la première intégrale, je te conseille de considérer le lacet en forme de demi-cercle de rayon R centré en 0.
Quand R est assez grand, ce lacet englobe deux des poles qui sont , tu dois donc pouvoir calculer l'intégrale sur ce lacet.

Ensuite, il faudrait faire tendre R vers l'infini et montrer que l'intégrale sur la partie courbée du demi cercle tend vers 0 et conclure.

En espérant être clair.

[invite986312212]

il faudrait faire un dessin, mais en gros l'idée c'est d'intégrer la fonction sur un chemin fermé qui comporte deux partie:
- l'intervalle [-A,+A] de l'axe réel
- un demi-cercle de rayon A et de centre 0 tel que les pôles de ta fonction sont dans l'intérieur du contour.

l'intégrale est donc la somme de deux termes, l'un est l'intégrale sur [-A,A] de ta fonction, l'autre ne t'intéresse pas, parce que quand tu vas faire tendre A vers l'infini, la norme de la fonction va décroître suffisament vite pour que cette intégrale tende vers zéro (tu la bornes par max|f|*pi A)
donc finalement l'intégrale sur le contour tend vers l'intégrale de -inf à +inf.
Reste à évaluer les résidus (il faut connaître le théorème de même nom).

edit: pris de vitesse par GuYem

[invited3a12771]

Ok, merci pour ces réponses très rapides. Je vais essayer de faire ça dès que je peux et je vous dirai ce que j'obtient.

Encore merci.

[A voir en vidéo sur Futura]