bonjour,
j'ai une fonction defini sur R+, continue, décroissante et qui tend vers 0 en + l'infini
cette fonction est positive, je dois le démontrer.. pour l'instant je pensais le démontrer par l'absurde mais C'est bancalle, pouvez vous m'aider
Merci d'avance
Salut.
On peut l'étudier pour faire un tableau de signes/variations non ?
non on sait juste que c'est une fonction definie de R+ ds R
Par l'absurde c'est une bonne idée. Peut-être que le problème deviendra plus clair si tu te rends compte qu'ici la continuité ne sert à rien. Le fait que la fonction soit décroissante et tende vers 0 en + l'infini est suffisant.
eh bien oui je comprend mais laz probleme c'est que j'en ai absolument besoin pour la suite de mon probleme
j'avais penser à dire que x>=y g(x)<=g(y) < o or en plus l'infini g(x) tend vers o , donc par encardement g(y) = 0 absurde puisque g(y) <0 donc pour tout x g(x) >= 0
qu'en pensez vous??
Matthias, je pense que la continuité est ici indispensable.
La fonction peut être décroissante et tendre vers - l'infini quand x tend vers a par valeurs négatives et ensuite tendre vers + l'infini quand x tend vers a par valeurs positives. La fonction restera décroissante mais aura des valeurs négatives et elle pourra tendre vers 0+ quand x tend vers + l'infini.
Quel est ton niveau, Corinne ? Peut-être que le théorème des valeurs intermédiaires pourrait t'aider.
Hanuman
La fonction f(x) = 1/(x-2) est un contre-exemple : la continuité est indispensable. Donc il faut l'utiliser.
Cette fonction n'est pas définie sur R+, elle est de plus décroissante sur [0;2[ et sur ]2;+infini[ mais pas sur R+, puisque f(1) < f(3) !Envoyé par Hanuman
La continuité n'est pas nécessaire.
Je ne dis pas que tu n'as pas besin de la continuité pour le reste du problème, mais pas pour cette question.
Suppose qu'il existe x0 tel que f(x0) < 0, il te suffit maintenant de montrer qu'il existe x1 > x0 tel que f(x1) > f(x0) en utilisant le fait que la fonction tend vers 0 en + infini. La fonction ne peut donc pas être décroissante.
Oui, Matthias, tu as raison ; mon contre-exemple est foireux car je n'avais pas tenu compte du fait que la fonction est définie sur R+ ; si l'on ne tient pas compte de la continuité, l'exo est facile, il suffit d'écrire la définition de la limite et de supposer qu'il existe une valeur f(x0) négative. Contradiction avec le fait que f est décroissante. Mais je persiste à croire que la continuité joue un rôle (pour éviter certaines fonctions biscornues ?).
D'un côté tu me dis qu'on peut démontrer la propriété sans utiliser la continuité, et de l'autre qu'elle doit jouer un rôle ?
De toute façon la fonction ne peut pas être complètement biscornue, une fonction définie sur R+ et monotone admet un ensemble de points de discontinuité au plus dénombrable, il me semble.
par l'absurde, c'est très bien
la définition et la monotonie suffisent, la continuité est inutile
