[Maths spé] Définitions de l'exponentielle et positivité

[invite7d436771]

Bonjour à tous !

Toujours en maths spé, toujours avec mes questions tordues, voilà un problème récurrent dans mon esprit.
La question est double. Je orends comme définition de l'exp au choix l'unique solution de y'=y prenant la valeur 1 en 0 , la bijection réciproque du ln défini comme la primitive de la fonction inverse s'annulant en 1 ou la définition avec les séries. Comment montrer que exp(x) est positif pour tout réel x ? Et par la même occasion comment montrer que les définitions de l'exp correspondent à la même fonction ( quelques implications sont ok pour moi mais d'autres non)

Cordialement,

Nox
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[invite4ef352d8]

Salut !


par unicité de la solution de l'équation différentielle : si exp s'anullait alors exp serait nul pour tous x. donc exp ne s'anule pas, elle ne change donc pas de signe et est donc positive.

pour l'équivalence des définition, et bien par exemple, apres tu en déduit que exp est strictement croissante, tu en déduis qu'elle est injective, et tu calcule la dérivé de ca réciproque avec la formule habituelle et tu trouve 1/x

[invite7d436771]

par unicité de la solution de l'équation différentielle : si exp s'anullait alors exp serait nul pour tous x. donc exp ne s'anule pas, elle ne change donc pas de signe et est donc positive.

Bonjour !

Pourrasi-tu détailler s'il te plaît je n'ai pas tout compris ... (je dois être fatigué mais bon ...) Si j'ai compris, si exp s'annulait elle serait toujours nulle car on aurait y(x)=0 donc y'(x)=0 donc la fonction est constante et comme elle vaut 0 en un x donné, elle est nulle. Mais je ne comprends pas pourquoi ce qui se passe en ce x donné permet de conclure sur R (par exemple la fonction carré est nulle en 0, sa dérivée est nulle en 0 et elle n'est pas constante nulle !). Dans ton explication j'ai l'impression que tu utilises plus ou moins le fait que les solutions d'une telle équadiff sont soit nulles soit ne s'annulent pas mais la démonstartion de cette propriété utilise le fait que exp ne s'annule pas ...

Cordialement,

Nox

[invite5e1117d5]

En fait, il utilise le théorème de Cauchy-Lipschitz sur les equations differentielles, qui donne l'existence et l'unicité d'une solution au probleme y'=y et y(0)=1.

Plus généralement, le théorème donne l'existence et l'unicité d'une solution au problème y'=y et y(a)=b. Avec a et b deux réels.

Maintenant, si tu considères l'exponentielle, elle vérifie y'=y et y(0)=1. Si tu supposes qu'elle s'annule quelque part, mettons en un point a, elle vérifierait alors également y'=y et y(a)=0. Mais la fonction identiquement nulle vérifie également y'=y et y(a)=0. Par unicité, l'exponentielle serait la fonction nulle, ce qui est absurde.

Donc l'exponentielle ne s'annule pas, donc par continuité, elle ne change pas de signe, donc elle est strictement positive.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite69d38f86]

bonjour,

la fonction nulle verifie y' = y pour tout x comme exp(x)

si exp s'annule en x0 on a 2 solutions différentes de l'equa diff en x0
bon week end

(c'est mieux expliqué par chromomaxwell 1 mn plus tot)

[invite7d436771]

Rebonjour !

Merci à vous deux ! (il faut vraiment que je dorme un de ces jours ... - j'ai moi-même expliqué cette méthode d'utilisation de C-L à qqun certes dans un autre cas mais quand même ...)

Cordialement,

Nox