résoudre une intégrale très compliquée

[invitea6a4d7cd]

bonjour, je chercherai à résoudre cette intégrale. malgré tous mes essais je n'y suis pas arrivé. sauriez vous m'aider. merci d'avance

I=e exposant x²
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[invite6de5f0ac]

bonjour, je chercherai à résoudre cette intégrale. malgré tous mes essais je n'y suis pas arrivé. sauriez vous m'aider. merci d'avance

I=e exposant x²

Bonjour,

Elle est très connue pour ne pas avoir de primitive analytique simple.
Désolé...

-- françois

[invite986312212]

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[invitea6a4d7cd]

Bonjour,

Elle est très connue pour ne pas avoir de primitive analytique simple.
Désolé...

-- françois

vous l'avez déja vu sur d'autres cites???

[A voir en vidéo sur Futura]

[inviteaf1870ed]

Par contre on connait bien l'intégrale de 0 à +inf de cette fonction

[invite455504f8]

à condition de mettre un signe -
....
euh
enfin sinon on connaît aussi l'intégrale....

[inviteaf1870ed]

Oui, il y avait un piège

[invitec053041c]

C'est fou ces fonctions ultra simples qui n'ont pas de primitive exprimable avec les fonctions usuelles.
Remarque, on a du inventer le logarithme népérien pour désigner une primitive de la fonction inverse.

[invitec053041c]

ericcc, c'est x-> exp(-x²) dont on connaît l'intégrale de 0 à +infini.

[invite455504f8]

Oui, il y avait un piège

canaillou va

[inviteaf1870ed]

ericcc, c'est x-> exp(-x²) dont on connaît l'intégrale de 0 à +infini.

Non, non on connait aussi x-> exp(x²)

[invitec053041c]

Excusez moi de poster à nouveau, mais j'ai demandé à maple de calculer cette primitive, et forcément il me sort une nouvelle fonction, qui s'appelle erf o_O
En la traçant, on voit qu'elle converge très rapidement vers 1 lorsque x>0 et vers -1 lorsque x<0. Elle ressemble à la fonction d'heaviside descendue et dilatée.
Quelque'un pourrait m'en dire plus sur cette fonction "erf" ???

[inviteaf1870ed]

erf c'est la 'fonction d'erreur', la primitive de exp (-x²).
voir ce lien : http://mathworld.wolfram.com/Erf.html

Noter en passant que la primitive de exp(x²) s'appelle erfi

[invite986312212]

erf = error function, c'est parce que si tu normalises exp(-x^2), tu as la densité de la loi normale. Sa primitive est la fonction de répartition de la loi normale, qui intervient dans les calculs d'erreur de mesure, d'où le nom.

autrement, on connaît l'intégrale de exp(x^2) entre 0 et +inf, et même entre a et +inf, quel que soit a.

[invitec053041c]

merci pour toutes ces réponses!

[invitea6a4d7cd]

merci pour toute vos recherches.
'Ambrosio', sauriez vous me dire qu'elle est l'intégrale de exp(x^2) prise entre o et +inf

[invite88ef51f0]

Ca diverge...
Mais

[invitea6a4d7cd]

merci pour le lien du site "ericcc". un site très complet et détaillé.

[invite986312212]

'Ambrosio', sauriez vous me dire qu'elle est l'intégrale de exp(x^2) prise entre o et +inf

c'est +inf bien sûr.

[invitea6a4d7cd]

voilà j'ai trouvé sur internet une réponse. sauriez vous me la confirmer ou l'infirmer. merci

intégrale de e(x^²)dx = x e(x^²) - ( e(x^²)/(P^0,5))

c'est une intégrale sans borne.

[inviteaf1870ed]

Non ce n'est pas exact. Comme on te l'a dit plus haut, ton intégrale ne peut s'exprimer à l'aide des fonctions usuelles. Tu ne trouveras donc jamais de formule simple.
C'est pour cela que l'on a inventé les fonctions erf, erfi ...
Cependant la forme que tu présentes vient peut être d'une intégration par parties qui te donnerait



Mais cette formule ne t'avancera à rien.

[invite7d436771]

Ca diverge...
Mais

Bonjour !

Je m'incruste dans ce sujet (aies-je bien fait ? - sinon je m'excuse auprès des modos) pour savoir justement comment ce calcule cette intégrale. Sachant que je suis en maths spé actuellement ... Mon prof de maths nous dit à l'oral ca fait toujours mieux de le savoir mais si on me demande de le démontrer ... Je comptais lui demander mais j'ai oublié ...

En vous remerciant par avance,

Nox

[invited9d78a37]

plusieurs facon, mais une assez rapide:

soit et vu que x et y sont independants

en coordonnées cylindriques on a



on a finalement



on a donc

[invite88ef51f0]

Il n'y a pas de méthode directe à ton niveau, mais il y en a une simple et pratique.
Soit
Alors
(théorème de Fubini...)
On passe en polaire :


Et là, magie ! On pose u=r² :


Donc (car I>0)

Vite fait, bien fait...

[invite7fcbff32]

euh pas trop le temps de regarder mais sans être sur de ma méthode (on vient juste de les voir) je dirais avec un DL, non?

[invite3e5ede0a]

Je m'incruste dans ce sujet (aies-je bien fait ? - sinon je m'excuse auprès des modos) pour savoir justement comment ce calcule cette intégrale. Sachant que je suis en maths spé actuellement ... Mon prof de maths nous dit à l'oral ca fait toujours mieux de le savoir mais si on me demande de le démontrer ...

Pour une démonstration complète, cf Wikipédia, "Intégrale de Gauss"(c'est son petit nom)
http://fr.wikipedia.org/wiki/Int%C3%A9grale_de_Gauss

Une astuce démontrée sur cette page, est en fait de résoudre une intégrale double, puis par un changement de variable, revenir au problème de cette intégrale simple. Il existe d'autres méthodes.

[invite7d436771]

Bonjour !

Merci à tous ! méthode auquelle je n'avais pas pensé (même si la racine sur le Pi aurait du m'y faire penser ...) mais efficace (l'astuce du passe en polaires est assez fine je trouve ...)

Cordialement,

Nox

[invited9d78a37]

on peut aussi resoudre avec des série entières mais la ca devient tout de suite plus sportif

[invite7d436771]

Bonjour !

Je ne fais les séries entières que dans 2 semaines .. Mais je retiens l'idée !

Cordialement,

Nox